基于模型構建與應用能力培養的離散數學教學研究

張賽男，張婷婷，劉艷云，蔣園園

（中國人民解放軍陸軍工程大學指揮信息系統學院，江蘇南京210007）

離散數學是信息技術相關學科領域最重要的基礎課程之一。文章提出結合探究式教學模式，在教學過程中培養學生離散結構模型的構建能力及利用構建的模型解決實際問題的應用能力。

離散數學；教學目標；探究式教學模式；離散結構模型構建；應用能力

0 引言

離散數學隸屬自然科學類別，它的主要研究對象為離散結構及其相互間的關系，該課程集成了研究離散對象性質及其結構的若干數學專題。專題涉及集合論、邏輯學、數論、圖論、代數系統等重要數學分支[1]。離散數學在信息技術相關學科領域，特別是在計算機科學與技術領域，得到了廣泛的應用。

離散數學每個模塊概念多、內容散、模塊之間知識點聯系少，理論、原理及證明具有極強的理論性和高度的抽象性。在教學過程中，教師只重視概念、定義和定理的證明以及理論知識的完整性，會使學生錯誤地認為這是一門純理論課或者是一門數學課，學生會感覺學習這門課程沒有任何用處。如何讓學生感覺離散數學有用，如何能夠把抽象的定理證明轉化為解決實際問題的手段，這就需要將教學的重點放在基本的概念、理論和方法的應用上。

1 離散數學是計算機學科的理論基礎

離散數學課程內容由計算機科學與工程實踐中所需的數學理論和方法構成，具有重要的應用背景，是數字邏輯電路、數據結構、數據庫原理、計算機網絡等專業課程的基礎，這些專業課程的基本概念、基本方法和基本原理都和離散數學密不可分。例如邏輯電路的設計需要邏輯學的支撐；集成電路的布線和網絡線路的鋪設過程中如何最優最快需要圖論模塊的支撐，密碼學則需要代數知識的支撐，數據庫的管理則需要組合論的支撐，等等。離散數學和這些課程有千絲萬縷的聯系，并且在計算機學科發展過程中起著重要作用，如圖1所示[2]。

圖1 離散數學知識模塊和各專業課程之間的關系

2 離散結構的建模是離散數學用于解決計算機學科實際問題的重要手段

模型是人們為了某種目的，運用一定的手段對某種事物或過程所作的一種既突出其特點和規律，而又比較簡化的表現形式，這種描述可以是定性的，也可以是定量的。模型的建立主要是為了方便問題的解決。

如何讓離散數學的理論知識應用于各專業課程實際問題的解決是體現離散數學價值所在的關鍵。這時對離散對象及其關系的建模就起到非常重要的作用。對于待解決的實際應用問題，可首先將涉及的離散對象以及之間的相互關系梳理清楚，然后抓住關鍵要素和關鍵關系抽象為離散數據結構及其關系的模型，再用離散數學的方法對離散模型求解。由此可見，離散結構的建模是離散數學的理論方法用于解決問題的重要手段。離散結構的模型構建過程是對客觀世界事物的數學抽象，不僅是培養學生抽象思維能力的有效方法，而且對模型的求解更是對學生抽象思維與邏輯思維能力的綜合訓練[3]。

因此，培養學生對于離散結構模型的構建以及應用能力是離散數學的教學目標。

3 基于離散結構模型的構建與應用能力培養的教與學環節的組織

為了培養學生模型的構建能力和應用能力，筆者提出將具有實際應用背景的問題貫穿整個教學過程的探究式和問題驅動相結合的教學模式，整個教學環節按照“實際應用背景問題提出—知識點的切入—模型構建與理論驗證—實驗驗證求解—知識點的延伸”過程來展開。

首先以一個有實際應用背景的問題作為教學的主線，在問題的討論中切入相關知識點的概念以及性質，然后對實際問題展開分析討論，教師發揮引導作用，在與學員的多次交流互動中，引導學生抓住問題的關鍵要素，完成模型的分析與構建過程，并通過實驗環節完成驗證求解，最后回到相關知識點概念以及性質，討論知識點在其他方面的應用，讓學生分組查閱資料分析解決。在教學組織環節中要注重如下幾個方面。

3.1 注重引入問題的重要性

離散數學內容抽象，有很多定理公式，教學的重點應該在基本概念、基本理論與方法的應用上，因此，引入的問題就顯得非常重要。問題一定要結合實際，關聯已有的知識且有趣味性，能夠吸引學生討論，激發學生的興趣和好奇心。在現有知識解決不了的情況下引出新知識。例如，數理邏輯中包含兩部分命題演算和謂詞演算，講完命題演算要進入謂詞演算的學習，兩個內容之間如何過渡，如何設問引出謂詞演算的知識點。教師可通過蘇格拉底三段論經典邏輯推理案例引入，這個推理的正確性是人們所共知的。教師可提出能否用命題邏輯解決？針對學生在解決問題中出現的矛盾和對立觀點，引導學生分析討論發現用命題演算并不能證明其正確性，從而切入謂詞的基本概念以及推理準則，即謂詞演算邏輯等價式以及邏輯蘊涵式等知識點。

引入問題應該易于學生模型的構建，體現模型構建的過程。蘇格拉底三段論符號化形成命題公式并不能證明其正確性，必須在有了謂詞演算知識的儲備下，重新進行模型的構建，即符號化為謂詞公式，再利用推理準則，即離散數學的方法，去證明其正確性。整個教學以問題為驅動，以問題為主線，構建授課內容的結構框架。

3.2 教學過程中充分體現“雙主”地位

教學過程的中要注重學生和教師的“雙主”地位。所謂“雙主”就是在發揮教師的主導性作用的同時也要發揮學生的主體性作用。教師在教學過程中應注重施教策略，優化教學過程，激發學生的求知欲，開展多種形式的互動調動學生學習的熱情。教與學的互動方式包括教師與學生分析討論、實驗環節、學生與學生之間的交流等一切利于教學的互動。教師在發揮主導作用的同時需適時指導學生并給予學生必要的協作和幫助，強調學生的主體地位并不是放任學生不管，教師還需適度調控把握教學節奏，做到“收”和“放”并重。學生作為學習主體，需要積極參與教學組織過程中的多種互動，并且要投入學習熱情。學生既要交流思想，也要動手實驗；不僅要關心問題的答案，更要關心解決問題的過程[4]。

3.3 強調離散結構模型的構建以及應用能力的培養

離散結構模型的構建就是要將實際問題進行抽象，抓住問題的關鍵點以及關鍵要素，利用離散數學理論知識進行符號化、形式化，抽象出問題的本質，建立問題的模型，并給予求解和驗證。我們以一個經典案例——中國郵政問題[1]來說明離散結構模型的構建過程。

案例：中國郵政問題。一個郵遞員從郵局出發，到所管轄的街道投遞郵件，最后返回郵局，若必須走遍所管轄街道中每一條街至少一次，則怎樣選擇投遞路線可以使得所走的路程最短？

將經典案例作為整個課程的主線，給出實際街道圖以及相關的數據，和學生一起分析。想要解決問題首要任務就必須進行抽象，也就是建模。建模過程按照4個步驟進行，首先，模型準備。要了解問題的實際背景，搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征。郵政問題涉及的對象包括郵遞員、街道、投遞點、郵件。各個對象的特征，例如，街道的名字、街道的長度是街道的特征。第二步，模型假設。根據對象的特征，對問題進行必要的、合理的簡化，抓住關鍵對象和關鍵特征，是建模至關重要的一步。從實際問題出發，關注的焦點應該在郵局、街道以及街道的長度。第三步，模型構成。根據各個對象之間的關系以及對象的特征規律，構造模型關系結構。根據圖論前面知識的探討，必定要將街道轉為圖中的邊，街道與街道之間轉為圖中的點，形成了一個關于邊的賦權圖（為了說明問題方便，假設每條街道權值為1），如圖2（a）所示。因此，整個郵政問題就轉化為圖論的問題。用圖論的語言來描述：在這個邊賦權圖中，能否找到一條閉的擬路徑C，使C包含圖中的每條邊最少一次且C的權值最小？

離散結構的模型構建好以后，最后一步，利用離散數學方法模型求解。根據用圖論的語言描述郵政問題，聯想到應該用歐拉圖知識來解決。如果圖中一條經過所有頂點、所有邊的閉路徑即為歐拉圖。判斷歐拉圖的充分必要條件所有頂點的度均為偶數。如果街道賦權圖是歐拉圖那么問題迎刃而解。如果圖2（a）不是歐拉圖，則必然有些街道要被重復走過才能回到原點。解決問題的思路并不復雜：在奇數度的頂點間加邊或者路徑（表示重復走原圖上的邊或者路徑），使其成為歐拉圖。為達到使C權值最小的目的，應當選擇權值盡可能小的添加邊或路徑，如圖2（b）所示。如何使得所加邊的長度最小，歸結為求奇數度之間的最小匹配。

基于上述的分析，解決郵政問題的基本步驟是：

（1）判斷街區是否為歐拉圖，若是，則問題迎刃而解；

（2）若不是歐拉圖，則找出所有奇數度的頂點（由握手定理知奇數度的頂點必為偶數個），令其集合為X；

（3）對X中的頂點兩兩作檢查，計算兩頂點之間最短路徑的權值，并以小于或者等于關系排序；

（4）在具有最小權值的一對頂點（例如{x，y}）間加邊，取該權值為新添加的邊的權值。在權值序列中刪除所有與頂點x、y相關的權值；

（5）回到步驟4，直到權值序列為空。

（6）通過Fleury（佛羅萊）算法來求解最短閉的擬路徑。

完成第（5）步，便得到一個所有頂點度數均為偶數的連通圖，即歐拉圖，且添加的邊的權值和是最小的。郵遞員從郵局出發，走遍整個歐拉圖，便走遍所管轄街道中每一條街至少一次。到這里只是解決了街道至少走一次，要保證走的路最短還未解決，因此還需完成第（6）步。

從上述的例子不難看出模型構建的方法，首先摸清待解決問題的背景，分析涉及的各類對象以及它們之間的關系；其次，抓住主要對象以及關鍵點和關鍵要素進行數學抽象，構建關系模型；最后利用離散數學中歐拉圖的知識點去解決構建的模型。整個過程鍛煉了學生的抽象思維能力、邏輯思維能力，抽象出的模型又能方便地解決問題。

3.4 通過實驗環節解決問題提高應用能力

通過模型構建，學生將概念、定理和性質變成用于解決問題的重要方法。解決郵政問題的思路以及方法很明確了，最后還需要通過實驗環節計算出最終的方案，即需要通過計算機編程體現解決問題的思路。實驗環節和模型構建過程同等重要，都考驗學生計算機動手能力。實驗環節可以加深對抽象概念和知識的理解，讓學生進一步理解離散數學在解決計算問題中的作用，并提高其利用計算機解決問題的能力，同時，通過解決問題的成就感對提高學習興趣也有很大的幫助，這是一個相輔相成，循環促進的關系。

圖2 賦權圖街道

4 總結

離散數學的教學目標是培養學生離散結構模型的構建與應用能力，使學生深入理解并學會使用這些模型解決實際問題。將離散結構模型的構建過程融入到教學過程，使學生感受到理論知識可以用于解決實際問題，提高學習該課程的興趣以及主觀能動性，培養了學生抽象思維能力、邏輯思維能力以及解決問題能，為后面的專業課夯實了基礎知識的儲備。

[1]王元元.離散數學教程[M].北京:高等教育出版社,2010.

[2]王彩玲.問題驅動模式下離散數學小班化教學方法探討[J].計算機教育,2012(15):19.

[3]徐潔磐.應用型計算機本科中離散數學課程目標定位與課程改革的探討[J].計算機教育,2010(5):6-9.

[4]薛占熬.論“雙主”在離散數學教學過程中的作用[J].計算機教育,2011(18):37-40.