例談小學(xué)高段數(shù)學(xué)中的“利模”與“建模”
——以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊部分內(nèi)容為例

四川省廣漢市向陽鎮(zhèn)學(xué)校 俞文勤

何為建模，我的理解是：用簡練的、高度概括的數(shù)學(xué)語言去表達(dá)所研究的對(duì)象，獲得同類問題的最基本解決方法，從而達(dá)到高效快捷解決問題的目的。何為利模，顧名思義，則是運(yùn)用舊有知識(shí)系統(tǒng)中已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)模型去解決新的實(shí)際問題。“利模”與“建模”，僅一字之差，卻道出了小學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于數(shù)學(xué)建模的基本思想及教學(xué)精髓，建模是為了利模，而有時(shí)候利模又是建立新的模型的基本方法甚至是唯一方法，二者相得益彰。小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)更是對(duì)建立模型的意義提到了很高的地位——模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。

小學(xué)各年段教材中，都有一些利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想的典型例題。到了小學(xué)高段尤其是六年級(jí)，學(xué)生頭腦中已經(jīng)建立了不少的數(shù)學(xué)模型，這時(shí)候就需要引導(dǎo)學(xué)生巧妙地利用數(shù)學(xué)模型去解決新的問題。而高段數(shù)學(xué)中的一些規(guī)律性的較為復(fù)雜的問題，又需要建立新的數(shù)學(xué)模型。哪些問題必須憑借數(shù)學(xué)模型來搭建學(xué)生的認(rèn)知平臺(tái)？哪些知識(shí)又需要建立新的模型，從而讓學(xué)生憑借數(shù)學(xué)模型達(dá)到舉一反三的目的？這是執(zhí)教高段數(shù)學(xué)需要思考的問題。

一、巧妙利模，順利建模

六年級(jí)教材中某一些新知識(shí)，必須得利用到之前學(xué)到的模型，如工程問題中要用到工作效率×工作時(shí)間=工作總量這個(gè)基本模型，如分?jǐn)?shù)除法例2的列式依據(jù)必須得用到路程÷時(shí)間＝速度這一模型。在初步引入一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，利用舊的模型建立新的模型，更是體現(xiàn)得淋漓盡致。具體教學(xué)流程如下：

六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊第一單元例2：一桶水12升，3桶水有多少升？1/2桶水有多少升？1/4桶水有多少升？此例題主要教學(xué)目的是理解一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，知道求一個(gè)數(shù)的幾分之幾可以用一個(gè)數(shù)乘幾分之幾。在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，如果在學(xué)生理解題意后，讓學(xué)生獨(dú)立列式，學(xué)生的答案只有：（1）12×3＝36（升）；（2）12÷2＝6（升），12÷2×1=6（升）；（3）12÷4＝3（升），12÷4×1=3（升）。幾乎沒有一個(gè)學(xué)生會(huì)用12×1/2，12×1/4，教學(xué)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義便遇到了瓶頸。此時(shí)應(yīng)該怎樣將學(xué)生的思維引向乘法算式？這時(shí)候，以往所學(xué)的模型就能派上用場了。利用第一小題，不難引導(dǎo)學(xué)生回憶出這樣的模型：每桶水的體積×桶數(shù)=水的總體積，接著問：“后面兩個(gè)小題可否也用這樣的思路呢？”，學(xué)生很容易得出12×1/2，12×1/4，此后，再問：“這兩個(gè)算式表示什么意義呢？”學(xué)生就可以順利說出“表示12升的1/2是多少，表示12升的1/4是多少？”這樣建立的認(rèn)知印象會(huì)很深刻，因?yàn)椴皇怯山處熤苯訌?qiáng)加給學(xué)生的。最后，教師別忘了立即追問：“那如果求12升的3/4是多少？你可以怎樣列式？遇到其他的求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，可以怎樣列式？”學(xué)生便能興奮地發(fā)現(xiàn)：一個(gè)數(shù)×幾分之幾就可以求一個(gè)數(shù)的幾分之幾。顯然，這又是一種新的建模，這個(gè)模型將要貫穿整個(gè)一單元“分?jǐn)?shù)乘法”。

二、適時(shí)建模，以便利模

小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊，分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法占了很大的比重，其中的分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題，更是讓老師們屢教屢頭疼，而五單元百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題又基本上是以分?jǐn)?shù)乘除法問題做基礎(chǔ)的。怎樣讓學(xué)生解決此類問題得心應(yīng)手？這就需要適時(shí)建立必要的模型并引導(dǎo)學(xué)生巧妙地利用模型。

1.適時(shí)建立單位“1”的量×分率＝分率對(duì)應(yīng)量這樣一個(gè)基本模型

在教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法單元，盡管單位“1”的量×分率＝分率對(duì)應(yīng)量這個(gè)基本模型已經(jīng)被普遍應(yīng)用，但我并沒有急于給出這個(gè)模型，我認(rèn)為這個(gè)模型應(yīng)該是在學(xué)生已經(jīng)能夠熟練地求“一個(gè)數(shù)的幾分之幾”，熟練找尋單位“1”的量、分率、分率對(duì)應(yīng)量以后，自己總結(jié)、發(fā)現(xiàn)而得出。所以，在“分?jǐn)?shù)乘法”單元結(jié)束即將開始“分?jǐn)?shù)除法”單元教學(xué)之前，我特意安排了一組例題進(jìn)行集中分析：

請找尋單位“1”并寫出數(shù)量關(guān)系式：

（1）六一班女生數(shù)是全班人數(shù)的3/7；

（2）今年?duì)I業(yè)額的3/4等于去年的營業(yè)額；

（3）甲數(shù)占乙數(shù)的10/11。

當(dāng)學(xué)生寫出三道題的關(guān)系式以后，我引導(dǎo)：這三個(gè)關(guān)系式有什么共同特點(diǎn)？

學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)都是用單位“1”的量×分率=分率對(duì)應(yīng)量，而后，我告訴學(xué)生：這是一個(gè)非常重要的發(fā)現(xiàn)，這個(gè)關(guān)系式必須牢記，所有含分率的關(guān)系句都可以寫出這樣的基本關(guān)系式。

2.巧妙利用單位“1”的量×分率＝分率對(duì)應(yīng)量，解決分?jǐn)?shù)除法問題

在教學(xué)“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”的問題時(shí)，我會(huì)在課前復(fù)習(xí)就搬出單位“1”的量×分率＝分率對(duì)應(yīng)量這個(gè)模型，問：如果一道題不知道單位“1”的量，知道分率和分率對(duì)應(yīng)量，你覺得可以怎樣解決？經(jīng)過短暫思考學(xué)生即可知道可以利用這個(gè)關(guān)系式將單位“1”的量設(shè)為x，列方程解決或者用分率對(duì)應(yīng)量÷分率求得單位“1”的量。之后，我會(huì)直接出示書上例題，讓學(xué)生獨(dú)立完成并積極交流，實(shí)踐證明這樣教學(xué)分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題高效、省事。

在教學(xué)已知“比一個(gè)數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少，求這個(gè)數(shù)”的問題時(shí)，我除了教學(xué)例題中介紹的利用等量關(guān)系“一個(gè)數(shù)+一個(gè)數(shù)×幾分之幾=已知數(shù)”用方程解決，更多的精力則用在了溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，再次充分利用“單位“1”的量×分率=分率對(duì)應(yīng)量”來解決。

例如：小明的體重是35千克，他的體重比爸爸的體重輕8/15，，小明爸爸的體重是多少千克？

引導(dǎo)學(xué)生直接思考或者利用線段圖思考得出：小明的體重相當(dāng)于爸爸體重的1-8/15，然后利用這個(gè)發(fā)現(xiàn)得出關(guān)系式：爸爸的體重×（1-8/15）＝小明的體重，再引導(dǎo)學(xué)生想此時(shí)爸爸的體重不知道要求，你可以得出幾個(gè)方法？學(xué)生有了之前的模型，無需老師告知便可得出求單位“1”的量，可以將單位“1”的量設(shè)為x，列方程解決或者用分率對(duì)應(yīng)量÷分率。

這之后，我會(huì)安排一組對(duì)比題，專門讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“比”字句敘述的題目可以轉(zhuǎn)化成“是”字句敘述的題目，轉(zhuǎn)化后，他們同屬于一種類型，這樣溝通聯(lián)系后，學(xué)生便會(huì)覺得這一類問題并不難，只是多了轉(zhuǎn)化的一步。

六年級(jí)上冊教材中需要先建模后利模之處比比皆是：如求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾，需要建立分率對(duì)應(yīng)量÷單位“1”的量=分率這個(gè)模型；甲比乙多幾分之幾，乙比甲少幾分之幾這樣的題目時(shí)，則需要通過分析得出“相差數(shù)量÷單位“1”的量=相差數(shù)量對(duì)應(yīng)的分率”這個(gè)模型；在求周長差時(shí)，除了常規(guī)思路，還可建立直徑差×π=周長差，或者建立半徑差×2π=周長差這樣的模型……當(dāng)然，幾何教學(xué)中的圓周長、圓面積的公式推導(dǎo)及運(yùn)用，更是最為基本的、典型的先建模而后利模。

在數(shù)學(xué)模型思想教學(xué)中，如果教師善于去總結(jié)，善于站在學(xué)生的角度去思考問題，就會(huì)自覺地引導(dǎo)學(xué)生去建模、利模，而不會(huì)只是把數(shù)學(xué)模型硬生生地告訴學(xué)生，讓學(xué)生也是硬生生地記住和應(yīng)用，那樣得來的知識(shí)終歸是囫圇吞棗，不知個(gè)中滋味。