線性代數在實際問題中的應用

張曉星　楊盼盼

摘 要：由于科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數被廣泛地應用于自然科學和社會科學中。本文將根據對線性代數理論知識的學習，研究其在一些典型實際問題中的應用，從而使得線性代數方法得到更廣泛的推廣。

關鍵詞：多項式；減肥配方；交通流；人口遷移模型

1在求函數多項式中的應用

由于最后一行全為零，這個行最簡形矩陣只有三個有效行，也就是說四個方程中只有三個有效方程，故其對應的有效線性方程組為x1=x4+330x2=x4+170x3=x4+210

由此可知，方程的個數<未知量的個數，方程有無窮多解即沒有給出足夠的信息來唯一地確定x1，x2，x3和x4。其原因也不難從物理上想象，題目給出的只是進入和離開這個十字路區的流量，如果有些車沿著這四方的單行道繞圈，那是不會影響總的輸入輸出流量的，但可以全面增加四條路上的流量。所以x4被稱為自由變量，實際上它的取值也不能完全自由，因為規定了這些路段都是單行道，x1，x2，x3和x4都不能取負值。

4在人口遷移模型中的應用[2]

已知某城市2009年的城市人口為5000000人，農村人口為7800000人。假設每年大約有5%的城市人口遷移到農村（95%仍然留在城市），12%的農村人口遷移到城市（88%仍然留在農村），如下圖所示，忽略其他因素對人口規模的影響。計算2011年的人口分布。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.線性代數（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]李尚志.線性代數精彩應用案例（之一）[J].大學數學，2006，22（3）：1-8.endprint