高等數(shù)學教學中數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)

曠偉平　孫勇

摘 要 高等數(shù)學課程是培養(yǎng)非數(shù)學專業(yè)大學生數(shù)學素養(yǎng)的主要途徑，本文主要從例題教學、將數(shù)學史融入高等數(shù)學課堂、數(shù)學建模思想融入高等數(shù)學課堂及在高等數(shù)學課堂中挖掘出數(shù)學的美等方面討論了高等數(shù)學教學中數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)。

關鍵詞 高等數(shù)學 數(shù)學素養(yǎng) 數(shù)學美

Abstract The advanced mathematics curriculum is the main way to cultivate the mathematics literacy of non-majored college majors. This paper mainly integrates the history of mathematics into the higher mathematics classroom， integrates the mathematical modeling ideas into the higher mathematics classroom and digs out the mathematical mathematics in the advanced mathematics classroom Discusses the cultivation of mathematics literacy in advanced mathematics teaching.

Keywords advanced mathematics； mathematical literacy； mathematical beauty

隨著信息時代的到來，數(shù)學的理論與方法已經(jīng)滲透到社會中的各個領域。高等數(shù)學是工科院校各專業(yè)的重要基礎課程之一，從而對高等數(shù)學的教學提出了更高要求： 使學生具有解決問題和分析問題的能力及應備的數(shù)學素養(yǎng)；因此在高等數(shù)學的課堂教學中注重數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)是我們不可推卸的責任。

1 數(shù)學素養(yǎng)的概念

1.1 數(shù)學素養(yǎng)的內涵

世界經(jīng)濟合作和發(fā)展組織（OECD）將數(shù)學素養(yǎng)詮釋為：數(shù)學素養(yǎng)是一種個人能力，學生能確定并理解數(shù)學對社會所起的作用，得出有充分根據(jù)的數(shù)學判斷和有效運用數(shù)學。美國數(shù)學家對數(shù)學素養(yǎng)的定義是：懂得數(shù)學價值，對自己數(shù)學能力有信心，有解決數(shù)學問題的能力，學會數(shù)學交流，掌握數(shù)學思想方法。[1]

1.2 培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)的意義

培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，可以提高民族素質。數(shù)學素養(yǎng)是人的文化素養(yǎng)的一部分，而文化素養(yǎng)是民族素質的重要組成之一，即提高民族素質的重要方面之一是培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)還有利于學生適應社會的發(fā)展。日本數(shù)學家米山國藏認為：“不管學生們將來從事什么工作，深深銘刻在心中的數(shù)學精神、數(shù)學的思維方法，研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻將隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終身?！盵2]

2 高等數(shù)學教學中數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)

數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)具體到教師的課堂上，本文從定義的教學，例題的教學，將數(shù)學史與數(shù)學建模思想融入高等數(shù)學課堂及在教學中挖掘高等數(shù)學的美等方面來進行討論。

2.1 例題教學與數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)

高等數(shù)學例題教學從內容上大致分為如下3 個層面：首先是基本概念、定理、公式等基本內容； 其次是對基本知識的分析、歸納和總結得到數(shù)學解題方法與技巧和理解數(shù)學思想及方法；最后是通過聯(lián)想、猜測及類比等數(shù)學思想將已知的知識和方法類比到新的知識和思維方法中。[2]本文筆者通過以下例題的講解來探討怎樣在例題教學中來提高學生的基本數(shù)學素養(yǎng)。

例 計算

分析： 這是求定積分的一個問題，通過觀察很難找到其原函數(shù)；

通過對比，將聯(lián)想為函數(shù)的增量

與學生回憶與函數(shù)增量有關的概念、定理、公式，總結得涉及函數(shù)增量的內容有： 連續(xù)、導數(shù)的定義、拉格朗日中值定理、牛頓—萊布尼茲公式等；通過分析，連續(xù)、導數(shù)與拉格朗日中值定理等與極限、導數(shù)符號有關，不適合此問題； 而牛頓—萊布尼茲公式可將還原為定積分，則該定積分可轉化為二重積分； 進一步聯(lián)想到二重積分交換積分次序該問題可求解。

在高等數(shù)學教學中將基本數(shù)學思想和數(shù)學方法融入到例題教學中，可以提高學生數(shù)學能力，這是提高數(shù)學素質的一個有效措施。

2.2 定義教學與數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)

高等數(shù)學中許多重要概念是從實際問題中抽象出來的數(shù)學本質，如積分、導數(shù)、級數(shù)以及極限等。在教學中將生活中解決問題的思想方法作為模型，把數(shù)學知識與學生的生活進行類比，是幫助學生理解數(shù)學重要途徑之一。例如在學習對弧長的曲線積分定義的教學中，從求對密度不均勻的曲線形構建的質量進行引入，弧長的曲線的積分定義中的方法是：先分割，將曲線形構件分割成 n 段小弧段，接著常代變，把每個小弧段的構件看成是密度均勻的求出其質量的近似值，再求和把 n 個小弧段構件的質量求和，最后對這個和取極限就得到了密度不均勻的曲線形構建的質量的真實值。分析這個定義時可以類比生活中常用的化整為零的思想方法。通過已有的知識類比到新知識中，有助于理解對弧長的曲線積分定義的知識點。這可以幫助學生理解解決問題的根本方法即抓住問題的本質，這種通過抽象、聯(lián)想等學習新知識的方法，對學生數(shù)學素養(yǎng)的提高有著重要的意義。

2.3 將數(shù)學史素材應用到高等數(shù)學教學中

很多數(shù)學大師都具有深厚的數(shù)學史修養(yǎng)，并從中汲取養(yǎng)分。數(shù)學的發(fā)展不是一帆風順的，數(shù)學家們的學習和研究過程總是千辛萬苦的，他們努力克服困難的精神能激勵學生思考和探索數(shù)學知識，將數(shù)學史融入到高等數(shù)學課堂是很有必要的。例如學習導數(shù)時，引入微積分的起源與誕生；學習中值定理時，介紹羅爾的生平及其青年時期的學習、情感經(jīng)歷，順便介紹拉格朗日的家庭出身及其與數(shù)學研究的淵源等；通過定積分概念的學習，談微積分的發(fā)展歷史等， 將這些故事引入到課堂上， 將提高高等數(shù)學課堂的的趣味性。通過分析他們是如何克服困難、拓展思路， 如何解決問題的，對青年學生們都有很大的教育意義。endprint

2.4 在高等數(shù)學教學中滲透數(shù)學建模思想

數(shù)學建模是用數(shù)學的語言和方法對各種實際問題建立模型的過程，是實際問題數(shù)學化的產物。恰當?shù)卦诟叩葦?shù)學課堂上引入數(shù)學建模知識，有利于培養(yǎng)學生解決問題的能力。課堂教學中針對各專業(yè)的要求設置1～2個數(shù)學模型，每個模型花一個課時的時間讓學生體驗數(shù)學建模中的全過程，從而激發(fā)學生的學習興趣和提高解決問題的能力。

例如，學習重要極限時，我們?yōu)榱俗寣W生明白這個極限在實際應用中的重要性，可以設計如下案例。

案例：設某發(fā)達地區(qū)當年人口總數(shù)為€%Z0，人口的年增長率為，問年后該地區(qū)的人口總數(shù)是多少？

分析：若人口每年增長一次，則t年后人口總數(shù)為：，因為每時每刻都有人出生，這種方法與實際不吻合；

若單位時間內人口增長率相同，比方說將一年分成四季，每個季度增長率相同，則年后人口總數(shù)為：；

實際是每時每刻都有人出生，此情況用數(shù)學語言描述為，將一年分成期且時的極限，即則年后人口總數(shù)為：。這就體現(xiàn)了重要極限的重要性，通過這個式子我們還能讓同學清楚地知道什么情況下人口可以翻番，進而激發(fā)學習興趣，提高了數(shù)學素養(yǎng)。

2.5 在高等數(shù)學教學中挖掘出數(shù)學的美

亞里士多德說：“雖然數(shù)學沒有明顯地提到善和美，但善和美也不能和數(shù)學完全分離。因為美的主要形式家是“秩序、勻稱和確定性”，這些正是數(shù)學研究的原則。”部分學生覺得數(shù)學課堂枯燥無趣，很大的原因是沒有在學習中發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美，因此教師在教學中挖掘高等數(shù)學中的數(shù)學美，能夠激發(fā)學生學習興趣，同時挖掘數(shù)學美的過程也是能培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性，啟迪悟性和挖掘潛能的重要的途徑。如和式的極限通過定積分符合簡單完美地表示出來了；集合運算中的對偶性，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美；極限的內涵通過極限定義（語言）簡短的四句話就深刻準確地表達出來了；連續(xù)復利的儲蓄問題的量及其關系可以用表達式簡單地表示等等，這些都體現(xiàn)了高等數(shù)學中的數(shù)學美普遍存在。

總之，數(shù)學將經(jīng)驗升華成規(guī)律，將雜亂整理成有序，體現(xiàn)出抽象、統(tǒng)一簡潔的美，在高等數(shù)學教學中有意識地挖掘這些美，能夠激發(fā)學生主動學習的欲望，愉悅地進行數(shù)學學習和研究，從而提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。[3]

3 結束語

數(shù)學素養(yǎng)是在實踐中逐漸地形成的，高等數(shù)學課程是培養(yǎng)非數(shù)學專業(yè)大學生數(shù)學素養(yǎng)的重要載體。在高等數(shù)學的教學中重視學生的數(shù)學素養(yǎng)是一項長期的系統(tǒng)的工程。教師要從思想上重視培養(yǎng)和提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，使學生在學習高等數(shù)學知識的過程中理解數(shù)學思想、方法及意識；學生應該勇于創(chuàng)新，努力提高自己的數(shù)學素養(yǎng)，通過對高等數(shù)學的學習掌握數(shù)學的思想方法，掌握合適的學習和工作方法，讓數(shù)學素養(yǎng)在自己的身上積累和沉淀，為學習、工作及生活發(fā)展奠定良好的基礎。[4]

參考文獻

[1] 朱長江.談談如何提高大學生的數(shù)學素養(yǎng)[J].中國大學教學，2011（11）：17-19.

[2] 方艷溪.論數(shù)學素質教育[J].高等理科教育，2010.91（3）：43-46.

[3] 林開亮.數(shù)學之戀[J].數(shù)學文化，2014.5（4）：99-104.

[4] 朱傳喜.努力提高大學生的數(shù)學素養(yǎng)[J].數(shù)學教育學報，2014（23）：14-16.endprint