淺談初中數學模型思想教學研究

王丹陽 毋曉迪

(1.河南師范大學數學與信息科學學院，河南 新鄉 453007； 2.廣西民族大學理學院，廣西 南寧 530000)

一、數學模型

數學模型也就是根據實際問題和研究對象的特點，為了描述和研究客觀現象的運動變化規律，運用數學抽象、概括等方法而形成的，用以反映其內部因素之間的空間形式與數量關系的數學結構表達式，包括數學公式、邏輯準則、具體算法和數學概念。數學學科是從生活中發展而來的，生活中的很多問題都能用數學知識來解決，其中數學模型就是從生活中抽象而來的，是把生活問題數學化，從數學的角度來解決問題。從數學模型的定義中可以看出，數學公式、概念、定理都屬于數學模型，通過數學模型，可以使抽象復雜的數學問題變得具體形象，有利于問題的解決，因此，數學模型可以看做是溝通現實生活與數學學科的一座橋梁。

二、數學模型思想在初中的運用

數學模型思想是數學基本思想之一，數學模型思想的本質就是把實際問題轉化為數學問題，用數學知識來解決實際問題。在初中教學中，數學模型思想已經占據著重要的部分，我們不難發現，一元一次方程、一元二次方程、概率初步、二元一次方程組等等都涉及到了數學模型思想，《標準》中也10次提到了數學建模、模型思想，由此可知，模型思想在初中教育階段的重要性，《標準》也從課堂教學、設計試題、課程安排等方面對模型思想的學習提出了不同的要求，主要目的是讓學生循序漸進地從體會、感知、經歷到建立，最終能夠達到“問題情境——建立模型——求解驗證”的要求。

三、建立數學模型的步驟

(一)模型準備

要建立有關實際問題的數學模型，首先要對實際問題有深入的認識，收集影響結果的有關數據，找到相關變量，收集相關變量影響結果的數據。

(二)模型假設

要建立有關實際問題的模型，不僅要收集數據，收集數據之后，還要對數據進行整理分析，對實際問題滿足的實際的模型進行假設，假設數學模型的過程，就是把實際問題轉化為數學問題的過程，這個過程需要操作者具有一定的知識經驗，因為模型假設出錯，可能會事倍功半。

(三)模型構成

模型構成是指進行模型假設之后，通過對因果變量的分析，找出的因果變量之間的關系，在實際問題中還需要考慮自變量的取值范圍，以及不同范圍的自變量，對應的數學模型是否相同。

(四)模型求解

建立數學模型之后還需要對所建立的數學模型進行求解，給出數學模型可能出現的結果。

(五)模型分析

數學模型的建立并不是一蹴而就的，需要對所建立的數學發模型進行分析，看所建立的數學模型是否符合實際情況，是否存在誤差，誤差嚴重時還需要對數學模型進行修改。

(六)模型檢驗

模型檢驗是將對所建立的數學模型應用于實際，看實驗結果是否符合所建立的模型，檢驗模型的實用性和合理性。

四、運用數學模型思想的原則

數學模型思想并沒有直接以文字的形式表示出來，它往往是隱藏在數學知識中的，也就是說學生要想掌握數學模型思想，就必須先掌握基本的數學知識、數學技能，在掌握數學知識、數學技能的過程中，循序漸進地提高自己的數學建模能力。針對初中生的學習特點，在對初中生進行數學模型教學時要遵循以下幾個原則：

(一)數學化原則

數學模型思想是通過把現實問題轉化數學問題來解決要研究的問題的，其本質就是把現實問題轉化為數學問題，然后通過數學的思想方法來分析和解決問題，我們可以看出，在這個過程中，最關鍵的一步就是轉化，也就是數學化的過程，因此，要想使學生掌握數學模型思想，就必須培養學生數學化的能力，要培養學生從數學的角度去分析解決問題，讓學生體會到數學與生活的密切聯系。

(二)過程性原則

數學模型教學并不是簡單地告訴學生什么是數學模型，更重要的是讓學生經歷數學建模的過程，這樣不僅可以激發學生的好奇心和求知欲，還可以讓學生參與到發現問題、分析問題、解決問題的過程中，在參與的過程中促進學生不斷地思考，加深學生對所學知識的理解。例如，在《多邊形的內角和》這節課中，教師教學的重點應該是引導學生探索多邊形內角和公式的推導過程，而不是簡單地告訴學生多邊形內角和的公式，這樣一來學生對多邊形內角和的公式會有一個更加深刻的印象，與此同時，學生還能潛移默化地掌握其中蘊含的數學思想。

(三)“最近發展區”原則

教的目的是為了學，教師是學生學習活動的引導者，教師在教學活動中需要充分考慮學生的實際情況和學習習慣，以及學生的“最近發展區”，結合學生所學知識和生活經驗，創設問題情境，調動學生的學習興趣，激發學生學習的積極性，讓學生學會發現問題，解決問題，培養學生獨立思考的能力。例如，在進行一元二次方程的教學中，教師可以充分利用學生所學的一元一次方程，通過概念的對比，找到一元一次方程與一元二次方程的之間的聯系，讓學生知道這里的“元”指的是未知數，一元就是有一個未知數，“次”指的是未知數的次數，一元一次方程就是有一個未知數，并且未知數的次數是一次，一元二次方程就是有兩個未知數，并且未知數的最高次數為二，通過兩個概念的對比，學生能夠更加熟練地掌握一元一次方程和一元二次方程的概念，也為以后要學的二元一次方程打下了基礎。

(四)針對性原則

對于初中生來說整個初中階段，是他們認知發展的重要階段，不同發展階段的學生要有根據他們認知發展的水平采用不同的教學策略，循序漸漸地進行，切不可無視學生認知發展的差異性，對不同年級的學生采用相同的方法。初一的學生，剛從小學過渡到初中階段，這個年級的學生，具體形象思維仍占據重要地位，教師在教學過程中，可以借助直觀教具，或者創設與實際生活密切相關的實際情景，讓學生更加容易理解所學的知識。初二和初三的學生，抽象思維已經有所發展，在教學中可以充分利用學生所學的知識經驗，進行啟發式教學，培養學生發現問題，解決問題的能力。

五、數學模型思想的策略

(一)教學準備策略

1.深入挖掘教材

課堂教學中用到的教材是課程標準的具體化，要實現教學目標，提高教學質量，教師吃需透教材，深入挖掘其隱含的數學思想，只有讓學生了解并掌握其中蘊含的數學思想，才能培養學生的數學思維，此外，教師還應該研究教材編寫的邏輯順序以及編寫的意圖，敢于挑戰權威。這樣一來不僅可以提高教師的研究意識和能力，更重要的是，分析教材之后，教師對課程標準、教學目標會有更加深刻的認識，這樣在教學中教師就會有更加明確地教學方向。

2.設計高效的教學活動

現在我國大部分學校仍然是以教師的講和學生的聽為主導的教學模式，其模式雖然提高了教學效率，但不利于學生創造性的發展。每個數學知識都是經過探索驗證得到的，在教學中教師要根據班級學生的具體情況，設計一些高效的教學活動，讓學生參與到教學活動中來，經歷知識的發生發展過程，學生自己動手，自己發現問題、解決問題，學生親自參與到這些教學活動中來，他們對要掌握的數學知識會有更加深切的體會，學生的模型思想也能得到發展。要想設計高效的教學活動就需要教師聯系生活實際，將教學內容與生活實際聯系起來，激發學生的學習興趣，同時，教師還可以向其他教師進行討論，取長補短，找到適合自己學生的教學活動。

(二)實施策略

1.創設情景，激發興趣

“興趣是最好的老師”，學生只有對所學的知識感興趣，才會全身心地投入到學習活動中去，因此，在教學中，教師要創設情景，激發學生的學習興趣，讓學生積極參與到教學活動中來，但是怎樣創設問題情景才能激發學生的學習興趣，對教師來說不是一件容易的事情，一方面，需要教師深入了解學生，多和學生交流溝通，發現學生們的興趣愛好，另一方面，教師要多了解一些教育理論，理論聯系實際，根據實際情況，采用合適的教學方法。

2.讓學生經歷模型建構的全過程

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾曾經說過“學習數學唯一正確的方法是實行“再創造”，也就是由學生本人把要學的東西去發現或創造”。學生從課堂上學到的知識很容易忘記，但是那些自己親身經歷后得到的知識經驗往往記憶深刻，所以在進行數學模型教學時，要讓學生經歷模型建構的全過程，經歷模型的假設、檢驗、確定的過程，只有這樣，學生才能深刻理解所學的知識，知道知識的由來以及應用，還可以培養學生的動手能力，培養學生的建模思想和數學思維，數學思想是數學的靈魂，學生熟練掌握了數學思想對他們以后的學習會有很大的幫助。

3.模型思想的深化

教師要培養學生的應用意識，讓學生學會將所學的知識應用于實際生活之中，在應用的過程中，發現問題、解決問題，這樣，不僅可以讓學生對所學的知識有更加深刻的理解，還可以培養學生的模型思想，激發學生的學習興趣。

4.建立知識間的聯系，形成系統的知識網絡

在初中，學生已經接觸過的數學模型有：方程模型、函數模型、概率模型、不等式模型、幾何模型等等，但是，學生只是對這些模型有一些簡單的認識，對于每個模型的具體特點并沒有過多地了解，顯然也無法形成系統的知識網絡，這些就需要教師在教學中，引導學生去思考總結，總結知識間的聯系，歸納不同模型的特點以及學習方法，讓學生形成系統的知識網絡，提高學習的效率。

六、數學模型思想的要求

《標準》中指出，在進行有關數學模型思想的教學時，要注重學生已有的知識經驗，讓學生自己從實際生活中抽象出數學問題，能夠自己建立模型，解決問題。數學模型的建立是學生將所學的知識應用實際，將自身的經驗與外部世界建立聯系的過程，模型思想能夠增強學生的數學應用意識，引導學生關心社會，與時俱進。在數學課堂上，教師要增強數學符號、空間觀念，模型意識、數據分析觀念、模型意識的教學，培養學生的數學模型思想。

參考文獻：

[1]孔凡哲.有關模型思想若干問題的分析與解讀[J].中學數學教學參考，2015(1-2).

[2]朱愛明，王積賢.基于初中數學教學環節中數學模型思想的滲透——以人教版數學八年級下冊為例[J].中學數學(初中版)，2015.6.