解幾中的向量數乘問題舉隅

趙楓

摘 要：許多解析幾何問題均可與向量知識進行綜合，其中有一類題型中經常會出現已知向量數乘的表達式，求有關參數的問題，根據不同的圓錐曲線類型及已知條件，一般可采取不同的求解方法，本文列舉幾例，以拋磚引玉。

關鍵詞：解析幾何；向量；數乘

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）05-253-01

一、利用幾何性質

例1、過拋物線 的焦點F，斜率為 的直線交拋物線與A、B兩點，若 ，則 的值為___________

解析：過B作BC垂直于 于C，設BC=3t，AC=4t，AB=5t，有拋物線定義可得 ，所以

評注：求參數 的值即求AF與BF的長度之比，充分利用拋物線的幾何性質求得長度之比相比于代數解法可以簡潔方便得多.

二、利用韋達定理

例1.如圖，設拋物線C： 的焦點為F， 為拋物線上的任一點（其中 ≠0），過P點的切線交 軸于Q點.

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）Q點關于原點O的對稱點為M，過M點作

平行于PQ的直線交拋物線C于A、B兩點，

若 ，求 的值.

解析：（1）略

（2） 設 ，由（1）得 ，設AB的直線方程為： ，則

① 由已知

代入①式得

評注：求參數 的值，關鍵是建立關于 的方程，在此題中將向量坐標化以后代入韋達定理可以消去 ，恰好可以建立關于 的方程.所以本題適合利用韋達定理解方程組來獲解.

三、利用圓錐曲線方程

例3.橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率 ，橢圓上的點到焦

點的最短距離為 與y軸交于P點（0，m）（異于原點），與橢圓C交于相異兩點A、B，且

（1）求橢圓方程； （2）若 的取值范圍.

解析：（1）

（2）設 ，則

代入橢圓方程 得：

評注：本題同樣利用解方程組求解，但與韋達定理無關，而是向量坐標化以后將點坐標代入圓錐曲線方程消去 ，建立 與參數 關系，利用 的范圍從而求得 的范圍.endprint