抽象函數的若干問題及解法

王梓蘅

摘 要：函數在高中數學中的地位是非常重要的，其中抽象函數，由于它的抽象性、隱蔽性和復雜性，抽象函數問題成為高中函數內容中的重難點。本文在論述了抽象函數含義的基礎上，通過具體的實例分析了抽象函數的若干問題及其解法，以期加深對抽象函數的理解，提高對抽象函數問題解題的能力。

關鍵詞：抽象函數；問題；解法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）05-172-02

一、抽象函數

抽象函數指的是只給出函數的性質而未給出具體函數解析式的函數。它的一般形式為y=f（x），或者還附有定義域、值域等，比如y=f（x），（x>0，y>0）。具體來看，主要有以下幾種形式：

二、抽象函數的若干問題及解法

由于抽象函數表現形式是抽象的，所以它是函數學習中的難點之一。抽象函數抽象性強，靈活性大，解答這類問題就需要先對題設條件進行分析、觀察和聯想，尋找出具體的函數模型，再抓住函數中的某些性質，通過部分性質或者是圖像性質，之后利用常規的數學方法，比如數形結合法等就能解題。

1、求抽象函數的定義域

例1：已知函數f（x）的定義域[-2，2]，求函數g（x）=f（-x）·f（x2）的定義域。

函數的定義域指的是自變量的取值范圍。通過題設條件，我們要知道f（x）、f（-x）和f（x2）中的式子地位是等同的，即x、-x、x2都在[-2，2]內。又因為g（x）是f（x）復合而成的，所以只要求出各個函數的定義域，然后再求交集就可以。

因為函數f（x）的定義域[-2，2]，所以-2≤x≤2，同時-2≤x2≤2，根據范圍求出- ≤x≤ ，因此g（x）=f（-x）·f（x2）的定義域是[- ， ]。

2、求抽象函數的值域

例2：已知函數y=f（x+1）的值域是[-1，1]，求函數y=f（3x+2）的值域。

函數的三個要素分別是定義域、值域和對應法則。當函數的定義域和對應法則完全相同時，值域也是一樣的。因為函數y=f（x+1）與函數y=f（3x+2）的定義域和對應法則是相同的，所以兩者的值域也是相同的。因此，函數y=f（3x+2）的值域是[-1，1]。

例3：已知函數f（x）對任意實數x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x>0時，f（x）>0，f（-1）=-2，求f（x）在[-2，1]上的值域。

由題設條件，我們可以知道f（x）是y=ax，（a≠0）的抽象函數，求它的值域關鍵在于研究其單調性。設x10。當x>0時，f（x）>0，所以f（x2-x1）>0。又因為f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1），所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）>0，也就是f（x2）>f（x1），那么f（x）是增函數。我們令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x），再令x=y=0，則f（0）=2f（0），所以f（0）=0，f（x）=f（-x），也就是說f（x）是奇函數，所以f（-1）=-f（1）=2，又有f（-2）=2f（-1）=-4，f（x）在[-2，1]上的值域是[-4，2]。

3、求抽象函數的周期性

對于函數y=f（x），若存在非零實數T，使得定義域內的任意x值，f（x）=f（x+T）都成立，那么f（x）是周期函數，T是f（x）的周期。常見類型主要有四種：一是函數關于兩個點都成中心對稱；二是函數關于兩條直線都成軸對稱；三是函數不僅關于一點中心對稱，而且關于不過中心的直線也成軸對稱；四是函數遞推式。

例4：定義在實數集上的函數f（x）滿足a> f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）（x、y R）。若存在實數b>0，使f（ ）=0。求證f（x）是周期函數。

根據題設條件，我們可以判斷出這個類型屬于第四類，求得函數的遞推式就可以完成證明。因我們要的遞推式是f（x）與f（x+c）的關系式，所以等式右邊應該有f（ ）。又因為f（ ）=0，令x+ 代替x， 代替y就可以使右邊為0，即f[（x+ +） ]+f[（x+ ）- ]=f（x+b）+f（x）=0，那么f（x+b）=-f（x），所以f（x+2b）=-f（x+b）=f（x），因此f（x）是周期函數。

4、求抽象函數的解析式

例5：若函數f（x）、g（x）的定義域是R，f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，而且滿足f（x）+g（x）= ，求函數f（x）的解析式。

根據已知等式，令-x代替x，得到f（-x）+g（-x）= 。再根據函數的奇偶性，我們可以得到-f（x）+g（x）= ，又f（x）+g（x）= ，f（x）+g（x）-[-f（x）+g（x）]=2f（x）= - = ，所以f（x）= 。

這個例子的解法屬于構造法。當一個等式中同時出現f（x）與f（-x）、f（x）與f（ ）等形式時，我們就可以用構造法來進行解析式的求解。當然，求抽象函數的解析式的方法有很多，常見的有換元法、待定系數法和特殊值法等。只要我們認真觀察已給的條件，并做出分析，靈活運用這些方法就能求出抽象函數的解析式。

5、求抽象函數的值

例6：已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，它的圖像關于直線x=1對稱，對任意的x1、x2 [0， ]都有f（x1+x2）=f（x1）·f（x2），且f（1）=m>0，求f（ ）和f（ ）。

根據已知條件f（1）=f（ + ）=f（ ）·f（ ）=f（ ）2=m，所以f（ ）= 。又f（ ）=f（ + ）=f（ ）2= ，所以f（ ）= 。

三、總結

抽象函數是只給出一些函數符號和滿足條件的函數，而沒有具體解析式的函數。所以，抽象函數具有一定的抽象性。認識抽象函數的若干問題和解法，對抽象函數的內容進行細致地分析與比較，能夠幫助我們提高抽象函數的解答效率，加深我們對抽象函數的理解。

參考文獻

[1] 林少安，對抽象函數周期性的研究[J]，理科考試研究：高中版2004（9）：18-20

[2] 武增明，如何求抽象函數的函數值[J]，數理天地：高中版2016（3）：30-31