函數最大值與最小值問題的研究

牛浩成

摘 要：函數是數學知識中的重要組成部分，其中，函數的最值問題，包括函數的最大值與最小值是學習函數時的重難點。不論是初等數學還是高等數學，我們都會遇到各種各樣求函數最大值與最小值的問題。本文在概述了函數最大值與最小值涵義的基礎上，通過實例具體分析了一次函數、二次函數、簡單的分式函數和無理函數的最大值最小值問題。

關鍵詞：函數；最大值；最小值

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）05-090-02

一、函數最大值與最小值的涵義

一般情況下，函數最值分為函數的最大值與最小值。函數的最大值與最小值指的是函數在整個定義區域內函數值的最大值與最小值。從幾何意義上來說，函數最大（小）值指的是函數圖像的最高（低）點的縱坐標。

假設函數y=f（x）的定義域是I，如果存在實數A滿足兩點：一是對于任意實數x I，都有f（x）≥A；二是存在x0 I，使得f（x0）=A，那么實數A就是函數y=f（x）的最小值。假設函數y=f（x）的定義域是I，如果存在實數A滿足兩點：一是對于任意實數x I，都有f（x）≤A；二是存在x0 I，使得f（x0）=A，那么實數A就是函數y=f（x）的最大值。

二、函數最大值與最小值的應用

1、一次函數

一次函數又稱作線性函數，在直角坐標系中可以用一條直線來表示。當一次函數其中一個變量的值確定時，我們就可以利用一元一次方程來求解。對于一次函數y=ax+b，只要x有范圍，那么該函數就有最大值或者是最小值，或者是兩個都有，而且與a的取值范圍有很大的關系。第一，當-0，有最大值ac+b，沒有最小值；若a<0，有最小值ac+b，沒有最大值。第二，當d≤x< 時，若a>0，有最小值ad+b，沒有最大值；若a<0，有最大值ad+b，沒有最小值。第三，當d≤x≤c時，若a>0，有最大值ac+b，最小值ad+b；若a<0，有最小值ac+b，最大值ad+b。

例1：已知a>0，求函數y=ax- （1+x），當1≤x≤2時的最大值與最小值。

函數是一次函數，通過已知條件y=ax- （1+x）整理得到y=（a- ）x- ，由于系數不確定，所以我們要分情況進行討論。當a- >0時， >0，又因為a>0，可以得到a2-4>0，這個時候02時，函數y=ax- （1+x）有最大值a- ，最小值2a- ；當0

2、二次函數

一般地，我們把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數，a≠0）的函數叫做二次函數。當二次函數的定義域為一切實數時，值域要分為兩種情況進行討論。第一，當a>0時， ≤y<+ ；第二，當a<0時，-

例2：已知二次函數y=x2-4x+5，當a≤x≤a+1時，有最小值g（a），求函數g（a）的表達式。

根據已知條件y=x2-4x+5，得到y=（x-2）2+1，那么函數的對稱軸就是x=2。接著我們要判斷這一對稱軸是否在x的取值范圍內。第一，當對稱軸在x取值范圍的左邊時，即a>2時，函數在a≤x≤a+1時是遞增的，所以函數的最小值是x=t時對應的函數值，那么g（a）=f（a）=a2-4a+5。第二，當對稱軸在a與a+1之間時，a≤2≤a+1，即1≤a≤2，這時函數的最小值是x=2時對應的函數值，那么g（a）=22-4·2+5=1。第三，當對稱軸在x取值范圍的右邊時，即a+1<2，a<1，函數在a≤x≤a+1時是遞減的，所以函數的最小值是x=a+1時對應的函數值，那么g（a）=（a+1）2-4（a+1）+5=a2-2a+2。

3、簡單的分式函數

對于簡單的分式函數，形如f（x）= 最大值與最小值的求解，最常用的方法是去分母將其轉化為關于x的一元二次方程，之后利用判別式 ≥0求出f（x）的取值范圍。

例3：求函數y= 的最大值與最小值。

首先因為2x2+2x+1=2（x+ ）2+ >0，所以函數的定義域是R，之后將已知函數y= 變成關于x的一元二次方程，（2y-1）x2+（2y+2）x+y+3=0。第一，當y= 時，求得x=- ；第二，當y≠ 時，根據判別式 ≥0，即（2y-1）x2+（2y+2）x+y+3=4（y+1）2-4（2y-1）（y+3）≥0，得到-4≤y≤1。因此，當x=-2時，函數y= 取得最大值，最大值是1；當x=- 時，函數y= 取得最小值，最小值是-4。

4、無理函數

對于一般的無理函數，我們要將其轉化成有理函數或者是整式函數，然后再進行最大值與最小值的求解。但是要注意的是，在轉化的過程中有可能會擴大函數的定義域，所以在求解結束后，一定要將所求結果代入原來的定義域進行檢查，以確保答案的正確性。

例4：求函數y= 的最小值。

首先先將函數有理化，函數y= = ，再利用不等式的性質，由于（x-3）+ ≥2 =8，所以y≥ = ，當且僅當x-3= ，即x=7。最后將x=7帶入檢驗，滿足定義域x≥3這個條件，所以函數y= 的最小值是 。

一、總結

函數的最大值與最小值是學習函數時的重難點。我們要根據一次函數、二次函數、簡單的分式函數和無理函數的特點利用不同的方法對函數的最大值與最小值進行求解，這樣才能提高我們解決問題與綜合運用知識的能力。

參考文獻

[1] 余 文，函數的最大最小值[M]，浙江人民出版社1981

[2] 熊 斌、白 薇，函數的最大值與最小值[J]，數學學習與研究：中考考生適用2007（4） ：70-72

[3] 葉小兵，用判別式法求函數的值域[J]，數理天地：高中版2016（1） ：11