淺談線性規劃在實際生活中的基本應用

華峰

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）05-064-02

線性規劃是數學應用的重要內容之一，其問題本身以及解決問題的方法蘊含著優化思想方法.現代生產實踐中，決策優化已廣泛運用，線性規劃的工具作用體現得尤為重要.本文借助實際問題的解決，著重談談二元線性規劃的基本應用.

應用（一）——確定決策方案種類

例1（99高考） 某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式有多少種？

解：設購買軟件x片，磁盤y盒，依題意得：

即

作出不等式組所表示的平面區域，如上圖所示，則適合不等式組的有序整數對（x， y）的對數，也是直角坐標平面上陰影區域（含邊界）整數點的個數.在可行區域中，不難判定整點共有7個，即不同的選購方式有7種.

[名師指導]：本題解法中將“選購方式”轉化為可行域內的可行解是關鍵，將“選購方式”的多少轉化為可行解的個數是解決本題的突破口.特別是利用線性規劃解決實際問題時，有時要求最優解是整數解，需要在可行域內找出整數點，這也是實際問題中常常用到的.

應用（二）——優化資源配置

例2（04江蘇） 某工廠生產甲、乙兩種產品，生產每一噸產品所需的勞動力，煤、電耗及利潤如下表

產品品種 勞動力（ 個 ） 煤（ t ） 電（千瓦） 利潤（萬元/ t ）

甲產品 4 9 3 7

乙產品 5 4 10 12

現因條件限制，該工廠僅有200個勞動力，煤360t，供電局只供電300千瓦，試問該工廠生產甲、乙兩種產品多少噸才能獲得最大利潤？

分析：根據題目所列表格，列出所有限制條件，確定目標函數，然后按線性規劃的方法求解.

解.設工廠生產甲、乙兩種產品分別為x噸、y噸，總利潤為z萬元，則 目標函數 z=7x+12y

作出不等式組所表示的平面區域，如圖陰影部分（含邊界），作一組平行直線 ：7x+12y=z

當直線經過4x+5y=200 與直線 3x+10y=300的交點P（20，24）時，z達到最大值.故該廠生產甲種產品20 t，乙種產品24 t能使利潤最大.

[名師指點]：本題是線性規劃的實際應用題，屬基本類型（Ⅰ）：給定一定數量的人力、物力資源，問怎樣安排運用這些資源，能使完成的任務量最大，收到的效益最大.

線性規劃應用題的一般解題步驟是：

①根據題意，建立數學模型，作出不等式組所表示的區域的圖形，即可行域；

②設所求的目標函數f（x， y）的值為p；

③將各頂點坐標代入目標函數，試代驗證，即可求得p的最大值和最小值.

應用（三）——優化統籌方案

例3（05海淀） 某人上午7點，乘摩托艇以勻速V海里/時（ ）從A港出發到距50海里的B港去，然后乘汽車以勻速W km/h（ ）自B港向距300km的C市駛去，應該在同一天下午4至9點到達C市.設汽車，摩托艇所要時間分別是x、y小時，如果已知所要經費p=100+3·（5-x）+2·（8-y） （元），那么V、W分別是多少時走得最經濟？此時需花費多少元？

作一列平行直線系 ，當直線過可行域上點A（10，4）時，k最大，

即當x=10，y=4時，p最小，此時V=12.5，W=30，P的最小值為93（元）.

[名師指點]：本題是線性規劃的實際應用題，屬基本類型（Ⅱ）：給定一項任務，問怎樣統籌安排，能使完成這項任務的人力、物力資源量最小.難點是把實際問題抽象轉化為線性規劃問題.關鍵是根據實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標函數.

在實際問題中線性規劃的應用極為廣泛，熟練掌握二元線性規劃的基本應用又是靈活解決生活中常見應用問題的基礎.endprint