2017年數(shù)學建模B題問題一與問題二解析

張姣麗++楊榮慶++鐘蕓??

摘 要：“拍照賺錢APP”是基于移動互聯(lián)網(wǎng)下的一種信息共享平臺，其成功與否與任務(wù)發(fā)布者的出價密切相關(guān)。基于此，主要研究其的任務(wù)定價問題，采用多元線性回歸模型，借助SPSS軟件處理數(shù)據(jù)，并通過分析任務(wù)所在的經(jīng)度、緯度、任務(wù)完成情況三個影響因素對任務(wù)定價的影響。此外，借助插值和擬合模型求出原方案的擬合函數(shù)，利用MATLAB計算出定價的理想值，并設(shè)計新的定價方案，利用AHP和原方案進行比較，得出新方案優(yōu)于原方案。

關(guān)鍵詞：任務(wù)定價；多元線性回歸模型；插值與擬合模型；AHP

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A doi：10.19311/j.cnki.16723198.2018.05.085

“拍照賺錢”是一種基于移動互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的自助式勞務(wù)眾包平臺，其成功與否與任務(wù)發(fā)布者的出價密切相關(guān)，因而任務(wù)定價成為該平臺的運行核心。

根據(jù)數(shù)據(jù)信息剔除附件一的異常數(shù)據(jù)，篩選出有效信息。

1 問題一的模型建立與求解

1.1 確定影響因子

分析附件一的數(shù)據(jù)，任務(wù)定價作為因變量，其它因素作為影響因子，即：

（1）任務(wù)GPS緯度。

（2）任務(wù)GPS經(jīng)度。

（3）任務(wù)執(zhí)行情況。

利用MATLAB得出圖1。

1.2 模型的建立與求解

多元線性回歸分析一般模型為：

y=β0+β1x1+…+βmXm+εε～N（0，σ2）（1）

式中β0，β1，…βm，σ2都是與x1，x2，…，xm無關(guān)的未知參數(shù)，其中β0，β1，…βm稱為回歸系數(shù)。

利用n個獨立觀測數(shù)據(jù)（yi，xi1，…，xim），i=1，…，n，n>m ，由（1）得：

yi=β0+β1xi1+…+βmXim+εiεi～N（0，σ2），i=1，…，n（2）

記

X=1 x11 … xim… … … …n1 xn1 … xnm，Y=y1…yn（3）

ε=ε1 … εnT，β=β0 β1 … βmT

表為：

Y=Xβ+εε～N（0，σ2）（4）

其中E為n階單位矩陣。

模型中的參數(shù)β0，β1，…βm用最小二乘法估計，即應(yīng)選取估計值βj，

使得當βj=βj，j=0，1，2，…，m時，殘差平方和

Q=∑ni=1ε2=∑ni=1（yi-β0-β1xi1-…-βmxim）2（5）

達到最小。

利用建立的模型和SPSS專業(yè)軟件進行求解，求解出結(jié)果為如表1～3所示。

即為問題一項目中的任務(wù)定價規(guī)律。

根據(jù)函數(shù)（6）可得：任務(wù)完成情況與定價的相關(guān)性最強。因此推測出定價的不合理對任務(wù)未完成有較大影響。

2 問題二的模型建立與求解

由問題一得出任務(wù)定價與GPS 緯度，經(jīng)度，任務(wù)完成情況具有相關(guān)性，利用插值與擬合模型將原方案進行優(yōu)化，建立新的任務(wù)定價方案。假設(shè)四者間的關(guān)系式為：y=a0+a1x1+a2x2+a3x3，利用MATLAB中y=polyval（d，x）進行求解，得出擬合結(jié)果為：

a0=16.873，a1=1.656，a2=0.115，a3=1.735（7）

關(guān)系式為：

y=16.873+1.656x1+0.115x2+1.735x3（8）

比較新舊方案，建立層次分析模型，計算任務(wù)經(jīng)度，緯度，規(guī)定時間，會員位置，會員能力，會員信譽值的權(quán)重值。

2.1 評價體系構(gòu)建

2.2 構(gòu)建比較矩陣

借助1～9標度法表示所有元素的相對重要性，以其兩兩之比為元素構(gòu)造比較矩陣：

D=（bij）n×m=b11 b12 … b1nb21 b22 … b2n… … … …bm1 bm2 … bmn（9）

其中bij>0。

2.3 確定權(quán)重

運用MATLAB軟件得到比較矩陣D對應(yīng)的最大特征值γmax的特征向量P，經(jīng)歸一化后即為同一層次相應(yīng)因素對于上一層次某因素相對重要性的排序權(quán)值。對判斷矩陣的一致性檢驗的步驟如下：

（1）計算矩陣各行各因素的乘積：

ei=Πni=1bij（i=1，2，…，n）（10）

（2）計算n次方根：

Pi=nei（11）

（3）將所得向量P=（P1，P2，…，Pn）T歸一化處理，即為權(quán)重向量：

Pi=Pi∑ni=1Pi（i=1，2，…，n）（12）

（4）計算判斷矩陣最大特征值：

γmax=1n∑ni=1（αP）iPi（13）

（5）計算一致性指標CI，并檢驗其一致性：

CI=γmax-nn-1（14）

為計算一致性比例，找出相應(yīng)的平均隨機一致性指標RI，如表4所示：

當CR≤0.1時，認為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應(yīng)對判斷矩陣作適當修正。

設(shè)β層包含β1，β2共2個因素，層次總排序權(quán)重分別為B1，B2，γ層包含6個因素γ1，γ2，γ3，γ4，γ5，γ6，層次單排序權(quán)重分別為Y1，Y2，Y3，Y4，Y5，Y6（當Yi與無Bj關(guān)聯(lián)時，βij=0），令bi=∑nj=1γijβj，i=1，…，n。

設(shè)γ層中與βj相關(guān)的因素的判斷矩陣在單排序中經(jīng)歸一化檢驗，求得單排序歸一化指標為CIj，（j=1，…，m），相應(yīng)的平均隨機一致性指標為RIj，則γ層總排序隨機一致性比例為：

CR=∑mj=1CIjbj∑mj=1RIjbj（16）

當CR≤0.1時，認為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性并接受該分析結(jié)果。

2.4 分析比較矩陣以及權(quán)重

根據(jù)新的任務(wù)定價方案得出比較矩陣，運用MATLAB軟件進行矩陣運算，獲得各個指標權(quán)重并進行檢驗，如表5所示。

由表6可以看出，總排序的CR<0.1，認為判斷矩陣的整體一致性是可以接受的。

比較新舊兩個方案同一層次因子的權(quán)重值，新方案的權(quán)重值普遍高于舊方案，得出新方案優(yōu)于舊方案。

3 結(jié)語

本文中采取的一些方法如AHP對處理部分優(yōu)化問題有借鑒意義，適用于受多因素控制并具有一定變化規(guī)律的變量，可推廣到同類問題的研究。另外要注意到，模型仍有不足之處，比如層次分析法具有一定的主觀性，采用綜合評價，建立模糊評價體系解決此題更具有說服力。因此，我們還需總結(jié)經(jīng)驗、克服不足，將研究引向深入。

參考文獻

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