基于遺忘因子遞推最小二乘法的伺服系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)方法*

鮑海靜，張 韜，張 靜

上海電氣集團(tuán)股份有限公司 中央研究院 上海 200070

1 研究背景

伺服系統(tǒng)作為工業(yè)自動(dòng)化設(shè)備中的重要執(zhí)行機(jī)構(gòu)，因其高精度、高功率密度和高可靠性，被廣泛應(yīng)用于數(shù)控機(jī)床、機(jī)器人中。在高端的伺服產(chǎn)品中都加入了自動(dòng)調(diào)整功能，而實(shí)時(shí)獲得準(zhǔn)確的伺服電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是實(shí)現(xiàn)參數(shù)自整定的關(guān)鍵。在各種不同的應(yīng)用環(huán)境中，系統(tǒng)的外部負(fù)載慣量是不斷變化的，例如機(jī)械手臂在抓取貨物的運(yùn)行過程中，其伸縮、抓取和卸載都會(huì)引起負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化。為了滿足工業(yè)生產(chǎn)的要求，伺服系統(tǒng)需要適應(yīng)負(fù)載慣量的變化，并及時(shí)調(diào)整相對(duì)應(yīng)的參數(shù)來保持系統(tǒng)的控制性能[1-3]。目前商業(yè)伺服驅(qū)動(dòng)器基本都具有慣量辨識(shí)功能，辨識(shí)方法主要有兩種：被動(dòng)的離線辨識(shí)和主動(dòng)的在線辨識(shí)。離線辨識(shí)算法需要外加一種特殊有規(guī)律的信號(hào)，例如梯形波、三角波等。在線轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)速和電流信息來觀測(cè)伺服電機(jī)轉(zhuǎn)矩及負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

離線轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)方法主要有加減速法、人工軌跡規(guī)劃法。文獻(xiàn)[4]中提出了一種改進(jìn)型加減速法，即微振辨識(shí)法，使電動(dòng)機(jī)可以在微振運(yùn)行狀態(tài)下進(jìn)行辨識(shí)。Fukashi Andoh[5]提出了一種基于周期性信號(hào)的離線辨識(shí)慣量算法，以周期信號(hào)作為位置參考信號(hào)輸入，通過轉(zhuǎn)矩參考輸入和電動(dòng)機(jī)位置之乘積的時(shí)間均值計(jì)算負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

在線轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)主要有最小二乘法、狀態(tài)觀測(cè)器法、卡爾曼濾波器法、模型參考自適應(yīng)法、梯度校正參數(shù)辨識(shí)法。文獻(xiàn)[6]采用模型參考自適應(yīng)法在線辨識(shí)，通過李雅普諾夫超穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的電壓模型自適應(yīng)律，對(duì)電動(dòng)機(jī)的定子電阻、電感和轉(zhuǎn)子磁鏈進(jìn)行辨識(shí)。這一方法對(duì)參考模型的準(zhǔn)確性依賴較強(qiáng)。文獻(xiàn)[7]給出一種全階觀測(cè)器，這一觀測(cè)器假設(shè)擾動(dòng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩的導(dǎo)數(shù)為0，將永磁同步電動(dòng)機(jī)化為一個(gè)動(dòng)態(tài)狀態(tài)方程，從而構(gòu)造出全狀態(tài)觀測(cè)器，觀測(cè)的狀態(tài)為機(jī)械角位置、機(jī)械角速度和擾動(dòng)負(fù)載，通過一個(gè)比例積分控制器得到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的辨識(shí)結(jié)果。

遞推最小二乘法(RLS)和卡爾曼濾波器算法是最常見的在線轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)方法，若實(shí)際系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)，相應(yīng)的有遺忘因子RLS[8-9]和擴(kuò)展卡爾曼濾波器算法。文獻(xiàn)[10]提出一種改進(jìn)的擴(kuò)展卡爾曼濾波自適應(yīng)辨識(shí)器，使用擴(kuò)展卡爾曼濾波辨識(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量后，根據(jù)辨識(shí)結(jié)果的收斂快速性修改協(xié)方差矩陣，能夠得到較好的辨識(shí)結(jié)果。

筆者首先對(duì)永磁同步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上采用狀態(tài)觀測(cè)器法在線估計(jì)負(fù)載轉(zhuǎn)矩，利用估計(jì)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩，采用RLS在線辨識(shí)負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小，仿真結(jié)果驗(yàn)證了這一方法的可行性和有效性。

2 永磁同步電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型

筆者主要介紹永磁同步電動(dòng)機(jī)在d-q軸坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型，然后基于該數(shù)學(xué)模型，研究基于id=0的矢量控制技術(shù)，在Matlab/Simulink軟件中搭建永磁伺服系統(tǒng)仿真模型，研究負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響。

在d-q坐標(biāo)系下，永磁同步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型如下。

電壓方程為：

(1)

轉(zhuǎn)矩方程為：

(2)

運(yùn)動(dòng)方程為：

(3)

式中：ud、uq分別為定子d軸、q軸電壓；id、iq分別為定子d軸、q軸電流；Rs為定子相電阻；ωm為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度；ωe為轉(zhuǎn)子電角速度；Ld、Lq分別為d軸、q軸電感；J為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Te為電磁轉(zhuǎn)矩；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；ψf為轉(zhuǎn)子磁鏈；p為轉(zhuǎn)子極對(duì)數(shù)；B為黏滯摩擦系數(shù)。

圖1所示是伺服系統(tǒng)的三環(huán)控制框圖，包含電流環(huán)、速度環(huán)和位置環(huán)。伺服系統(tǒng)通過編碼器反饋的轉(zhuǎn)子位置θ和電流傳感器采樣三相電流，經(jīng)過坐標(biāo)變換，得到d軸、q軸電流。d軸、q軸電流經(jīng)過Park逆變換(兩相靜止坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo))和空間矢量脈寬調(diào)制(SVPWM)產(chǎn)生脈沖信號(hào)，控制逆變器開關(guān)，從而驅(qū)動(dòng)永磁同步電動(dòng)機(jī)。

圖1中ω為反饋速度，Kpp為位置環(huán)比例因數(shù)，Kip為位置環(huán)積分因數(shù)，Kps為速度環(huán)比例因數(shù)，Kis為速度環(huán)積分因數(shù)。

永磁同步伺服系統(tǒng)采用id=0的控制方式，對(duì)于隱極電動(dòng)機(jī)而言，有Ld=Lq，所以id=0控制也是最大轉(zhuǎn)矩電流比控制。

3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)伺服控制性能的影響

一般速度環(huán)控制器采用比例積分控制，當(dāng)伺服系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，需要重新配置控制器參數(shù)才能使伺服系統(tǒng)獲得希望的動(dòng)態(tài)性能。下面研究負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化對(duì)伺服控制性能的影響。

圖2為在Matlab/Simulink軟件中搭建的伺服電機(jī)矢量控制仿真模型。圖中ωr為電角速度。速度環(huán)控制采用抗積分飽和的比例積分調(diào)節(jié)器。永磁同步電動(dòng)機(jī)的參數(shù)如下：定子電阻為1.36Ω，電樞電感為3.4mH，轉(zhuǎn)子永磁磁通為0.0505Wb，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J為8.8×10-4kg·m2，黏滯摩擦系數(shù)B為0.0003Nm·s。

圖1 系統(tǒng)控制框圖

圖2 伺服電機(jī)矢量控制仿真模型

在伺服系統(tǒng)負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化、速度環(huán)控制器參數(shù)不變的情況下，對(duì)速度環(huán)進(jìn)行相關(guān)仿真。

在伺服系統(tǒng)負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J、5J和10J的條件下，從0階躍到額定轉(zhuǎn)速的速度響應(yīng)波形如圖3所示。穩(wěn)定工作在額定轉(zhuǎn)速下，突加負(fù)載和突卸負(fù)載時(shí)轉(zhuǎn)速波動(dòng)及恢復(fù)時(shí)間如圖4所示。

由圖3和圖4分析可知，當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化時(shí)，若速度環(huán)的控制參數(shù)保持不變，則系統(tǒng)的控制性能就會(huì)明顯惡化。所以在實(shí)際伺服系統(tǒng)應(yīng)用中，應(yīng)該根據(jù)伺服系統(tǒng)的負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)系統(tǒng)的控制器參數(shù)進(jìn)行合理配置。

圖3 不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量下速度階躍響應(yīng)

圖4 不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量下突加和突卸負(fù)載時(shí)系統(tǒng)速度響應(yīng)

4 RLS慣量辨識(shí)方法

(4)

(5)

進(jìn)而得：

于是k時(shí)刻的最小二乘估計(jì)可表示為：

(7)

取性能指標(biāo)為：

(8)

式中：λ為遺忘因子。

遺忘因子RLS的遞推估計(jì)式為：

(9)

式中：P(k)為協(xié)方差矩陣；K(k)為增益矩陣；I為單位矩陣。

在進(jìn)行辨識(shí)之前，加入采樣時(shí)間為Ts的零階保持器使其離散化，則有：

(10)

ωm(k)-ωm(k-1)=[Te(k-1)-

5 負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器

由電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程可得：

(12)

在大多數(shù)應(yīng)用場(chǎng)合，負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL不易測(cè)量，可以認(rèn)為是固定值，則有：

(13)

可以得到電動(dòng)機(jī)的狀態(tài)方程為：

(14)

當(dāng)B≠1Nm·s時(shí)，系統(tǒng)為能測(cè)系統(tǒng)。在實(shí)際系統(tǒng)中，B?1Nm·s時(shí)，可以構(gòu)造負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器為：

(15)

(16)

根據(jù)式(15)和式(16)可以得到頻域下的負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)傳遞函數(shù)為：

(17)

圖5 負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器

為了驗(yàn)證遺忘因子RLS和負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器的有效性，進(jìn)行仿真分析，設(shè)置轉(zhuǎn)矩觀測(cè)因數(shù)為-1，遺忘因子為0.99，初始值為[0.005,0.005]。

負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器的仿真結(jié)果如圖6所示，在0.1s時(shí)，負(fù)載轉(zhuǎn)矩從0N·m階躍到1.27N·m。可以看出，負(fù)載觀測(cè)器能有效地跟蹤實(shí)際負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化。

圖6 負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)值

為了驗(yàn)證伺服系統(tǒng)在不同狀態(tài)運(yùn)行中遺忘因子RLS的慣量辨識(shí)效果，選擇不同的工況進(jìn)行仿真：① 轉(zhuǎn)速對(duì)慣量辨識(shí)的影響，速度周期階躍，負(fù)載轉(zhuǎn)矩為 0N·m；② 負(fù)載對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響，在負(fù)載轉(zhuǎn)矩為額定轉(zhuǎn)矩1.27N·m時(shí)，速度周期階躍為1000r/min；③ 負(fù)載波動(dòng)對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響，在負(fù)載轉(zhuǎn)矩以 1.27N·m 周期變化時(shí)，速度為1000r/min。

由圖7可知：在轉(zhuǎn)速較快的情況下，遺忘因子RLS能夠準(zhǔn)確地辨識(shí)系統(tǒng)慣量；當(dāng)轉(zhuǎn)速低于 500r/min 時(shí)，系統(tǒng)辨識(shí)的結(jié)果偏小，偏差在4.5%以內(nèi)；當(dāng)轉(zhuǎn)速低于100r/min時(shí)，在轉(zhuǎn)速突變的情況下，慣量變化較大。可見，一般在轉(zhuǎn)速500r/min以上時(shí)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行慣量辨識(shí)。

圖7 空載時(shí)不同轉(zhuǎn)速下辨識(shí)結(jié)果

由圖8可知，負(fù)載對(duì)慣量辨識(shí)的影響很小，隨著負(fù)載的增大，慣量會(huì)略微增大，但都在誤差范圍內(nèi)。圖9為負(fù)載突變時(shí)的仿真結(jié)果，突加負(fù)載時(shí)，慣量也能快速跟隨。

圖8 負(fù)載對(duì)慣量辨識(shí)的影響

圖9 負(fù)載突變時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)結(jié)果

由仿真結(jié)果分析可知，遺忘因子RLS在計(jì)算出負(fù)載轉(zhuǎn)矩值后能夠快速辨識(shí)出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，轉(zhuǎn)速在 500r/min 以上時(shí)，無論空載和負(fù)載工況下都能準(zhǔn)確地辨識(shí)出系統(tǒng)慣量。

6 結(jié)論

筆者采用遺忘因子RLS對(duì)永磁同步電動(dòng)機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行在線辨識(shí)，同時(shí)設(shè)計(jì)了負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器，以估計(jì)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩值作為慣量辨識(shí)的輸入信號(hào)。采用基于負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)模塊，能夠快速準(zhǔn)確地辨識(shí)出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。仿真結(jié)果充分證明了這一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)算法的有效性和可行性。

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