(α，α)-直覺模糊子群的構造

李華萍，李玉瑛

(太原理工大學 數學學院，山西 晉中 030600)

1965年，ZADEH[1]首先提出了模糊集的概念，自此模糊集作為普通集合概念的推廣，逐漸被應用于數學各個分支。1971年，ROSENFELD[2]引入了模糊子群的概念，然后各種模糊代數的理論相繼出現。其中，BHAKAT et al[3-4]利用模糊點與模糊集的鄰屬關系給出了(α,β)-模糊子群的定義。20世紀80年代，ATANASSOV[5]又提出了直覺模糊集的概念。2003年，HUR et al[6]提出了直覺模糊子群的概念。此后直覺模糊子群的理論研究進一步成熟。在2010年，YUAN et al[7]利用“點-集”鄰屬關系的方法，建立了模糊點與直覺模糊集的鄰屬關系，并利用這種鄰屬關系給出了(α，β)-直覺模糊子群的定義。2013—2016年，LI et al[8-10]使用截集的方法對(λ,μ)-模糊子群和子環進行了深入的研究。

本文基于(α,β)-直覺模糊子群及其各種截集的定義，首先，通過對其截集的研究，對(α,α)-直覺模糊子群作了進一步的研究。其次，給出了(α,α)-直覺模糊正規子群的定義，并討論了它們的性質。

1 預備知識

在本文中，所有結論都是建立在模糊集理論的基礎上。為了方便起見，記F(X)為集合X的所有模糊子集的集合，并假設G表示具有單位元e的乘法群。

定義1[1]設A∈F(X)，?λ∈[0,1],稱Aλ={x∈X|A(x)≥λ}為A的λ截集。而稱A(λ)={x∈X|A(x)>λ}為A的λ強截集。

定義2[5]設X是一個非空集合，μA:X→[0,1],vA:X→[0,1]為兩個映射，若μA(x)+vA(x)≤1,?x∈X,則稱A=(X,μA,vA)為X上的一個直覺模糊子集，簡記為：

A=(μA,vA),A(x)=(μA(x),vA(x)) .

用IFS(X)表示X上所有直覺模糊集構成的集合。

定義3[5]設X是一個非空集合，A,B∈IFS(X)，且A=(μA,vA),B=(μB,vB).

1)A?B?μA(x)≤μB(x)且vA(x)≥vB(x);

2)A=B?μA(x)=μB(x)且vA(x)=vB(x);

3)Ac=(vA,μA);

4)A∩B=(μA∧μB,vA∨vB);

5)A∪B=(μA∨μB,vA∧vB);

6) ∩i∈IAi=(infi∈IμAi,supi∈IvAi);

7) ∪i∈IAi=(supi∈IμAi,infi∈IvAi)，其中Ai=(μAi,vAi)∈IFS(X),i∈I,I為指標集。

定義4[2]設A∈F(G),若對任意的x,y∈G,

1)A(xy)≥A(x)∧A(y);

2)A(x-1)≥A(x).

則稱A為G的模糊子群。

定理1[3]設A∈F(G),則下列命題等價：

1)A為G的模糊子群；

2) ?x,y∈G,A(x-1y)≥A(x)∧A(y);

3) ?λ∈[0,1],Aλ非空時是G的子群；

4) ?λ∈[0,1],A(λ)非空時是G的子群。

定義5[12]設A為G的模糊子群，若對任意的x,y∈G,A(xy)=A(yx)，則稱A為G的模糊正規子群。

定理2[12]設A∈F(G)則下列命題等價：

1)A為G的模糊正規子群；

2) ?x,y∈G,A(xy)=A(yx);

3) ?λ∈[0,1],Aλ非空時是G的正規子群；

4) ?λ∈[0,1],A(λ)非空時是G的正規子群。

定義6[2]設A:X→[0,1]是一個映射，若存在λ∈[0,1],x∈X,滿足

則稱A為X的一個模糊點，并記為xλ.

定義7[2]設A是G的模糊子集，xλ是G中的一個模糊點，

1) 若A(x)≥λ,則稱xλ屬于A，記為xλ∈A;

2) 若A(x)+λ>1,則稱xλ擬重于A，記為xλqA;

3) 若xλ∈A且xλqA，則記為xλ∈∧qA;

4) 若xλ∈A或xλqA，則記為xλ∈∨qA.

設A∈IFS(X)，在文獻[7]中介紹了A的8個截集，本文僅用到了以下兩個。

定義8[11]設A=(X,μA,vA)∈IFS(X),x∈X,且λ∈[0,1].

則稱Aλ為A的λ-上截集。

性質1[11]設A,B,At∈IFS(X),且λ∈[0,1]則下列結論成立：

2) (A∪B)λ=Aλ∪Bλ,(A∩B)λ=Aλ∩Bλ;

3) ∪t∈T(At)λ?(∪t∈TAt)λ,∩t∈T(At)λ=(∩t∈TAt)λ;

其中，T是指標集。

定義9[8]設xλ是X一個模糊點，A∈IFS(X)，令

它們分別表示xλ∈A和xλqA的隸屬度。

性質2[8]設xλ是X一個模糊點，A∈IFS(X)，

性質3[8]設xλ是X一個模糊點，Ai∈IFS(X),I是有限指標集，則有：

[xλ∈(∩i∈IAi)]=∧i∈I[xλ∈Ai] ,
[xλ∈(∪i∈IAi)]=∨i∈I[xλ∈Ai] ,
[xλq(∩i∈IAi)]=∧i∈I[xλqAi] ,
[xλq(∪i∈IAi)]=∨i∈I[xλqAi] .

20世紀80 年代，ATANASSOV[5]提出了直覺模糊集的概念；YUAN et al[8]在2010年時，給出了(α,β)-直覺模糊子群的定義，本文將采用定義10進行研究。

定義10[8]設A=(G,μA,vA)是群G的直覺模糊子集，α,β∈{∈,q,∈∧q,∈∨q}.若對任意的x,y∈G,s,t∈(0,1]，滿足：

1) [xsytβA]≥[xsαA]∧[ytαA];

2 (α,α)-直覺模糊子群

本節將利用(α,α)-直覺模糊子群的概念，討論(α,α)-直覺模糊子群的一些性質。為方便起見，在之后討論中，我們假設λ∈[0,1],xλ是群G一個模糊點，α∈{∈,q,∈∧q,∈∨q}.

定義11 設A=(G,μA,vA)是群G的直覺模糊子集，若對任意的x,y∈G,s,t∈(0,1]，滿足：

1) [xsytαA]≥[xsαA]∧[ytαA];

在定義11中，由于α可以選擇4種關系，故可以得到4種(α,α)-直覺模糊子群。本節將研究這4種(α,α)-直覺模糊子群的性質。

定理3 設A為G的(α,α)-直覺模糊子群，則?x∈G,s∈(0,1]，

1) [esαA]≥[xsαA];

證明:由定義11可得：

定理4 設A∈IFS(G)，則A為G的(α,α)-直覺模糊子群當且僅當

證明:若A為G的(α,α)-直覺模糊子群，則由定義11，對任意的x,y∈G：

所以由定義11，A為G的(α,α)-直覺模糊子群。

定理5 設A為G的(α,α)-直覺模糊子群，x,y∈G,?t∈(0,1].若

[xtαA]≠[ytαA]，則[xtytαA]=[xtαA]∧[ytαA].

證明：不妨設[xtαA]>[ytαA]，由定義11以及定理4可得：

而[xtytαA]≥[xtαA]∧[ytαA]=[ytαA],

即[xtytαA]=[ytαA]=[xtαA]∧[ytαA].

定理6 設Ai為G的(α,α)-直覺模糊子群，其中α∈{∈,q,∈∧q},i∈I,I為有限指標集，則∩i∈IAi也是G的(α,α)-直覺模糊子群。

證明：對任意的x,y∈G,?s,t∈(0,1],由性質3以及定理4得：

所以∩i∈IAi也是G的(α,α)-直覺模糊子群。

定理7A為G的(∈,∈)-直覺模糊子群的充分必要條件是?s∈(0,1],As為G的模糊子群。

反之，若?s,t∈(0,1],由題設可得，As∧t為G的模糊子群，由定理1得，As∧t(x-1y)≥As∧t(x)∧As∧t(y),即[(x-1y)s∧t∈A]≥[xs∧t∈A]∧[ys∧t∈A].

又由性質1中(1)得，

[xs∧t∈A]≥[xs∈A],[ys∧t∈A]≥[yt∈A],

由定理7及定理1，易知定理8，定理9成立。

定理8 設A∈IFS(G),則A為G的(∈,∈)-直覺模糊子群的充分必要條件是?λ∈[0,1],?s∈(0,1],(As)λ非空時為G的子群。

定理9 設A∈IFS(G),則A為G的(∈,∈)-直覺模糊子群的充分必要條件是?λ∈[0,1],?s∈(0,1],(As)(λ)非空時為G的子群。

由定理10及定理1，易知定理11，定理12成立。

由定理13及定理1，易知定理14，定理15成立。

由定理16及定理1，易知定理17，定理18成立。

3 (α,α)-直覺模糊正規子群

本節給出(α,α)-直覺模糊正規子群的定義，在此基礎上討論其性質。

定義12 設A為G的(α,α)-直覺模糊子群，若?x,y∈G,s∈(0,1],[(xy)sαA]=[(yx)sαA],

則稱A為G的(α,α)-直覺模糊正規子群。

由定義12容易證明下面定理。

定理19 設A為G的(α,α)-直覺模糊子群，則A為G的(α,α)-直覺模糊正規子群的充分必要條件是[(xy)tαA]≥[(yx)tαA],?x,y∈G.

定理20 設A為G的(∈,∈)-直覺模糊子群，?s∈(0,1],則A為G的(∈,∈)-直覺模糊正規子群的充分必要條件是As是G的模糊正規子群。

證明：A為G的(∈,∈)-直覺模糊正規子群，從而A為G的(∈,∈)-直覺模糊子群，且?x,y∈G,[(xy)s∈A]=[(yx)s∈A],由定理7，As是G的模糊子群，且As(xy)=As(yx).由定義5得，As是G的模糊正規子群。

反之，?s∈(0,1],由已知As是G的模糊正規子群，從而As是G的模糊子群，且As(xy)=As(yx).由定理7，A是G的(∈,∈)-直殼模糊子群，且[(xy)s∈A]=[(yx)s∈A],由定義12可知，A為G的(∈,∈)-直覺模糊正規子群。

由定理20及定理2易知，定理21，定理22成立。

定理21 設A為G的(∈,∈)-直覺模糊子群，則A為G的(∈,∈)-直覺模糊正規子群的充分必要條件是?s∈(0,1],?λ∈[0,1],(As)λ是G的模糊正規子群。

定理22 設A為G的(∈,∈)-直覺模糊子群，則A為G的(∈,∈)-直覺模糊正規子群的充分必要條件是?s∈(0,1],?λ∈[0,1],(As)(λ)是G的模糊正規子群。

由定理23及定理2易知，定理24，定理25成立。

由定理26及定理2易知，定理27，定理28成立。

由定理29及定理2易知，定理30，定理31成立。

4 結束語

筆者在(α,β)-直覺模糊子群定義的基礎上，對(α,α)-直覺模糊子群以及對(α,α)-直覺模糊正規子群進行了深入研究。關于(α,α)-直覺模糊正規子群還可以從另外角度加以研究，(α,α)-直覺模糊子群的運算等也是以后繼續研究方向。

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