滲透分類討論注重通性通法

張新

摘 要：復習課中，教師應該引導學生分類解題，注重傳遞提升學生素養的通性通法，是學生認知水平的確切量化，是學生解題思維的真相還原.

關鍵詞：復習課；分類；通性通法

一、問題呈現

二、過程剪輯

10分鐘后，該教師在教室內巡視了一圈后，開始講評此題.我靜觀其變：看該教師是“就題論題”還是“歸類總結”.如果選擇前者，問題也許得到了解決，但學生可能是被動接受，僅會此題而已；如果選擇后者，教師有效地進行點撥，分析問題所在，積極調動學生的思維，該題的問題所在會浮出水面，以后若再出現類似的題，學生會迎刃而解.該教師選擇了前者，就題論題，一帶而過，我認為留下了很多缺憾.課后我們交流溝通，對此題我談了個人的觀點，也談了以往教學中我是如何處理的，她聽后表示認同.

三、解題賞析

筆者長期從事畢業班教學，對此類問題常注重其通性通法，減少題海戰術，減輕學生的負擔，提倡“學會一題，求解一類”.下面我將此類題的常規通性通法的解法呈現出來，權作拋磚引玉.

題目：如圖2所示，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（a，b），點P是x軸上任意一點，當△OAP是等腰三角形時，求點P的坐標.

思路分析：

問題1：等腰三角形有幾條邊？幾個角？

問題2：等腰三角形有幾種邊？幾種角？

不難回答：1.有三條邊，三個角；

2.有兩種邊，兩種角.

要解決上述問題，我們須依照問題2進行分類討論（關鍵詞：“幾條”“幾個”“幾種”）：

第一種情況：

若線段OA為等腰△OAP的腰時，具體又分兩類（這里僅以a>b>0為例說明）.

第二種情況：

若線段OA為等腰△OAP的底邊時：

當然，我們在解決該題時，視點A在第一象限內.若詳細分類，第一象限的點A還可分為三種情形：

（1）當a>b>0時，如圖4所示；

（2）當b>a>0時，如圖5所示；

（3）當a=b時，點A在直線y=x上.

對這三類情形，可分別通過具體的特例來練習說明.當然在（1）和（2）兩種情形中，獲取四個答案的解法大體相同，僅僅在圖形的畫法上有圖4和圖5這兩種不同的畫法；在建立勾股定理時有m2=b2+（a-m）2（圖4）和m2=b2+（m-a）2（圖5）之區分.對于當a=b時的情形，圖形更直觀（圖略），結果更簡單.無論上述哪種情形，只要線段OA所在的位置在第一象限時，代入通式即可獲取結果.

上述通性通法的解題思路，體現數學的思維品質，重在對問題本質、解法本質的理解，重在對學生思維能力的培養.現在回頭看問題呈現中的第（2）問，應該是水到渠成了，不過解決該題時，既要注意線段BC所在的位置，也要注意點M的限制條件，在此不再贅言。

四、教學反思

我認為通性通法應著眼于以下三個標準：（1）提升學生素養的通性通法；（2）學生認知水平的確切量化；（3）學生解題思維的真相還原.通過這三個標準篩選出的解法，學生上課必能聽懂，在解題時也能用得上.

數學思維是數學教育的核心問題.對學生而言，初中數學的基本知識是有限的，基本方法也是有限的，而所涉及的數學模型卻是無限的，只要我們用心去悟、去品，我想我們會領會其精髓的.這個“悟”正是我們數學思維能力的培養和提升的重要過程，也能有效地提高我們的教學成效，減輕學生的課業負擔，還能為學生的后續發展奠定良好的基礎.

編輯 趙飛飛endprint