用對稱性和安培環路定理求解長直載流螺線管磁場分布

孫松陽

【摘要】一般教材應用安培環路定理求解無限長直載流螺線管的磁場分布時，將磁場線平行于軸線、管內外磁場均勻、管外磁場為零作為已知結論，然后應用安培環路定理，并未提及這些已知結論的證明過程。針對此點，本文結合磁場的對稱性特征，給出這些已知結論的證明過程，然后應用安培環路定理給出螺線管磁場分布。

【關鍵詞】安培環路定理 長直載流螺線管 對稱性

【中圖分類號】G642.3 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）52-0185-01

一、引言

設一無限長直載流螺線管，單位長度上密繞匝線圈，通過每匝的電流強度為，求螺線管內外的磁場分布。這一問題是應用安培環路定理的典型例題[1]，對于這一問題，一般教材通常指出磁場線平行于軸線、管內外磁場均勻以及管外磁場為零，然后直接使用安培環路定理，缺乏對磁場線平行于軸線、管內外磁場均勻以及管外磁場為零的具體證明。本文旨在補充對磁場線平行于軸線、管內外磁場均勻以及管外磁場為零的證明過程，從而給出求解長直載流螺線管磁場分布的完整過程。

二、分析和計算

我們接下來先給出一對鏡像對稱的電流元所產生磁場的特征，然后利用長直螺線管電流分布的對稱性，證明磁場線平行于軸線、管內外磁場均勻以及管外磁場為零，最后應用安培環路定理給出管內的磁場。

1.引理：一對鏡像對稱的電流元在對稱面上產生的合磁場B與此對稱面垂直[2]。

一對電流元和相對于平面P鏡像對稱分布，電流大小相等，長度相等。

相對于P平面鏡像對稱的電流元和

根據畢奧-薩伐爾定律，兩個電流元在對稱面上任一點產生的磁感應強度為

根據鏡像對稱性

所以

由于垂直于對稱面P，與平行，故上式括號內為0，而平行于對稱面，故上式括號內垂直于對稱面，上述引理成立。

2.磁場線平行于軸線Z軸

設長直螺線管軸線為Z軸，在軸上任一位置，作與軸垂直的平面P。螺線管的匝密度均勻，螺線管沿Z軸方向具有平移對稱性，故螺線管的電流相對平面P鏡像對稱。根據1給出的引理，平面P上的磁場方向與P垂直，即P上的磁場方向平行于Z軸。由于P的位置具有任意性，故長直螺線管在空間產生的磁場與Z軸平行。

3.同一條磁場線上的磁場處處相等

任取一條磁場線B1B2，再取該條磁場線上的任意兩點B1和B2。螺線管在Z軸方向具有平移對稱性，磁場線B1B2平行于Z軸，磁場線上的兩點B1和B2也具有平移對稱性，根據平移對稱性的特征，B1和B2兩點的磁場相等。我們也可以這樣認為：在磁場線上的任意兩點B1和B2觀察到的電流空間分布完全相同，根據畢奧-薩伐爾定律，兩點的磁場完全相同。由于磁場線是任意的、磁場線上的兩點也是任意的，所以同一條磁場線上的磁場處處相等。

4.螺線管內（外）磁場都是均勻磁場

我們在螺線管內作任一矩形環路L1： a→b→c→d→a，一邊bc平行于Z軸。根據安培環路定理

根據1知，沿著a→b和c→d的線積分為零，根據2、3可知，在路徑b→c和d→a上的強度均相等，方向都平行于軸線，所以

故d→a和b→c上的磁場相等。由于d→a和b→c位于平行于Z軸的任意磁場線上，故螺線管內的各條磁場線上的磁場都相等，即螺線管內的磁場是均勻磁場。根據單個載流線圈在Z軸上產生的的磁場方向向左，可知螺線管內的磁場方向均向左。同理，我們在螺線管外作類似的矩形環路，可用同樣的方法證明螺線管外的磁場也是均勻磁場。

5.螺線管外的磁場為零

根據4，螺線管外的磁場均勻，只要給出無窮遠處的磁場即可給出螺線管外的磁場。在數量級上，無窮遠處的磁場與螺線管匝數、單匝線圈產生的磁場成正比。對無窮遠處，匝數與近似成正比，同時根據畢奧-薩伐爾定律知，單匝線圈在無窮遠處產生的磁場與1/近似成正比。所以，無窮遠的磁場在數量級上近似與1/成正比。結果是，無窮遠處時，磁場必然為零。由于管外磁場為均勻磁場，故管外磁場為零。這樣，我們通過螺線管在無窮遠處的磁場為零證明了管外的磁場為零。

6.螺線管內的磁場

最后，我們運用安培環路定理給出管內的磁場。如圖3，作任一矩形環路L2：e→f→g→h→e，一邊he平行于Z軸且位于管內，另一邊fg位于管外。對該環路應用安培環路定理

根據2-5的結論，可知

將上述兩個公式聯合，得到管內的磁場為。

三、結論

我們首先根據無限長直螺線管電流分布的對稱性，證明了它的內（外）磁場為均勻磁場，然后證明了管外的磁場處處為零，最后才用安培環路定理給出了管內的磁場為。一般大學物理教材以此問題為例應用安培環路定理時，對磁場均勻以及管外磁場為零并未予以證明，我們在此進行了補充。

參考文獻：

[1] 趙近芳，王登龍，顏曉紅.大學物理下，第四版.北京：北京郵電大學出版社，2014，55.

[2]趙凱華，陳熙謀.電磁學，第三版.北京：高等教育出版社，2011，255.endprint