小變動，大作用

林思學

【摘 要】當今社會是一個信息技術高度發達的社會，各種各樣的學習軟件、搜題軟件正在影響著學生的學習。很多同學正在利用這些軟件對自己的學習進行“減負”——很多同學對老師布置作業不加思考，直接使用這些軟件掃描，抄襲答案，有時老師辛辛苦苦找的一些練習被他們用一點點的時間就“糟蹋”了，完全沒有起到應有的作用，嚴重影響到學生的學習，讓很多學生家長和老師很糟心。很多家長希望孩子的作業不能用搜題軟件搜作業的答案，老師也希望學生的作業能反映學生的知識掌握情況。老師在平時布置作業、試卷命制的過程中想方設法對試題進行改編。

【關鍵詞】搜題軟件；抄襲答案；知識掌握；試題改編

當今社會是一個信息技術高度發達的社會，各種各樣的學習軟件、搜題軟件正在影響著學生的學習。有的學生能利用這些軟件幫助學習，但是也有很多同學正在利用這些軟件對自己的學習“減負”——很多同學對老師布置作業不加思考，直接使用這些軟件掃描，抄襲答案，有時老師辛辛苦苦找的一些練習被他們用一兩分鐘的時間就“糟蹋”了，完全沒有起到應有的作用。正因為這樣，也倒逼著老師們在平時布置作業、試卷命制的過程中想方設法對試題進行改編，以期學生用這些軟件搜不到參考答案。下面筆者就以幾何圖形的變換中的折疊與翻折為例，談談自己對試題進行小變化的一些粗淺看法。

解決非圖形的折疊與翻折問題的思想方法主要體現在三個方面：運動變化過程中的“變中有不變”、方程思想、轉化與化歸。其中運動變化過程中的“變中有不變”是核心。根據折疊與翻折問題的命題特點與解題經驗，我總結了其解題中的常見思維流程框圖：

引例：如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點O，且OE=OD，則AP的長為_______。

這是2015年的一道中考題，考查的是折疊與翻折問題，解決這個問題的關鍵點有兩個：一是研究圖形變換過程中的不變量；二是研究圖形變換過程中的新生成的圖形。對于這種題，如果我們不加任何變動直接用原題給學生做為練習，肯定會有部分同學去抄襲答案，失去了練習作用，違背了老師的初衷。在給學生前，我們如果能稍微改變一下給題的形式，不妨改變P點的位置，使得E點恰好落在不同位置，學生就沒有現成的答案可以抄襲，迫使學生進行思考，從而達到了訓練目的。筆者作為如下的嘗試：

改編1.如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，點E在DC上時，則tan∠EBC=_______。

經過改編后，這是一個典型的一線三等角的模型，其考查的重點依然不變，但思考的角度發生變化：其一是運用等量代換；其二是運用解∠EBC所在的直角三角形。從等量代換的角度思考，可通過∠PED=∠EBC，問題轉化到△EDP中。事實上，對于本題，直接解△BCE較為簡單。通過這樣的小變化，學生在做作業時，就沒辦法用搜題軟件簡單搜索答案了。

如果我們進一步改變P點的位置，讓點E在ABCD的內部，還可以提出這樣的問題：

改編2.如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD的中點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，聯結DE，則圖中與∠APB相等的角為________。

當P為AD的中點時EP=AP，DP=AP，所以AP=EP=DP。這個結論中蘊含著豐富的結論，這個改編題只關注△PED為等腰三角形。解答時學生容易忽略∠PBC=∠APB。

改編3.如圖，當P為AD中點，G為AB上任意一點（不與A、B重合），∠GPA>60 ，沿PG折疊使得A落在如圖所示的點H處，聯結DH，則與∠GPA相等的角為_______。

因為有∠GPA>60 ，所以與∠GPA相等的角有：∠GPH、∠PDH、∠PHD三個。我們也可以考慮當∠GPA=60 時或把∠GPA>60 去掉之后又會有什么情況。

改編4.矩形ABCD中，AB=8，BC=6，當P為AD中點，沿PB折疊使得A落在如圖所示的點H處，聯結DH，則DH=____。

改編5.矩形ABCD中，AB=8，BC=6，當P為AD中點，沿PB折疊使得A落在如圖所示的點H處，聯結DH，則cos∠PDH=______。

當然除了以上的改編，我們還可以從改變P點的位置進行改編，比如圖把P放在AB上，也可以把矩形ABCD改成三角形、正方形、菱形等其他的圖形。

教師的日常教學任務非常繁重，讓教師每天都編制新題是不現實的，但是如果一個題目做一些小改編還是比較現實的。以上一題五變下來，一方面使學生領悟到解決幾何折疊問題時，關鍵要抓住圖形折疊前后，哪些線段、哪些角始終保持相等。提高了學生解決折疊問題的能力，另一方面也通過這樣的變化、改編，使得學生很難通過搜題軟件查找到現成的答案，達到學生練習的目的。

【參考文獻】

[1]朱贊魏.小議幾何變換強大的解題功能[J].中學數學研究（華南師范大學版），2015年14期endprint