非自治動力系統中的平均跟蹤

易 鵬， 吳紅英

1 引言與預備知識

就我們所知，對于非自治動力系統的研究，始于20世紀60年代，起步比較晚，其理論也不像自治動力系統那么完善和豐富.近年來，許多自治動力系統的性質被放在非自治動力系統的框架內研究.在文獻[1]中，作者研究了非自治動力系統中弱混合和混沌性質.在文獻[5-7]中，作者研究了非自治動力系統中混沌性質.在文獻[3]中，作者定義和研究了非自治動力系統中的擴張，跟蹤和拓撲穩定性質.本文研究非自治的半離散動力系統的跟蹤性質.我們用Z+表示非負整數.下面給出本文所涉及的一些概念，有關概念可參見文[1-9]等.設（X，ρ）是一個度量空間.對每一個n∈Z+，令 fn∶X→X 是一個連續映射，其中 f0=id（x）.我們稱F={fn}∞n=0是X上的一個時間變化的映射簇.稱（X，F）是一個時間變化非自治的半離散動力系統（或者簡稱動力系統）.對每一個 n∈Z+，我們記 Fn=fn·fn-1·…·f0.

設 A?X.用 A 表示｜A｜的基數；用 d（A）表示 A 的密度，用d（A）表示A的上密度，d（A）表示A的下密度.設（X，F）是一個動力系統，其 δ＞0 中 F=.給定，稱X中序列是F的一條δ-偽軌，如果對任意 n∈Z+，有

設 x=x0，x1，x2，…，xn=y 為 X 中的有限序列，如果對每一個i∈{0，1，…，n-1}，有ρ（fi+1（xi），xi+1）＜δ，則稱x0，x1，x2，…，xn是一條從 x到 y長度為 n 的 F 的 δ- 鏈（δ-偽軌可以看做無限長的δ-鏈）.如果對任意的x，y∈X，δ＞0，存在一條從x到y的F的δ-鏈，則稱F是鏈傳遞的.

本文主要結果為：若（X，F）和（Y，G）具有平均跟蹤性質，則（X×Y，F×G）具有平均跟蹤性質（見定理2.4）；系統（X，F）有平均跟蹤性質當且僅當對任何q∈[0，1），（X，F）有 q- 平均跟蹤性質（見定理 3.2）；具有0-平均跟蹤性質的系統（X，F）是鏈傳遞的（見定理 3.5）.

2 平均跟蹤

接下來我們給出平均跟蹤性質在非自治系統上的定義.

定義2.1 設（X，F）是一個動力系統.稱X中的一個序列是F的一條δ-平均偽軌，是指存在一個正整數N，使得對任意的n≥N和任意的k∈Z+，都有

定義2.2 設（X，F）是一個動力系統.稱映射F（或系統（X，F））有平均跟蹤性質，是指對任意的ε＞0，存在一個δ＞0，使得對F的每一條δ-平均偽軌ξ=這時，也稱點z，ε-平均跟蹤ξ.

下面的引理來自于文獻[9].

引理2.3 令ck是非負的實數列.給定正整數t，令 Ct，n是{k＜n：ck≥t}的基數，即 Ct，n=|{k＜n：ck≥t}|.

（2）若 ck是以 D為界且

定理 2.4 設（X，F）和（Y，G）是兩個動力系統，其中（X，ρ1）和（Y，ρ2）為兩個度量空間，F={fn}∞n=0和G=分別是（X，ρ1）和（Y，ρ2）上的一個時間變化的映射簇.若F和G都有平均跟蹤性質，則F×G也有平均跟蹤性質.

證明 由于ρ1和ρ2分別是X和Y上的度量.取X×Y 上度量為：ρ，對任意 x=（x1，y1），y=（x2，y2）∈X×Y，ρ（x，y）=max{ρ（1x1，x2），ρ（2y1，y2）}.令D=max{ρ（x，y），x，y∈X×Y}和

由于F和G具有平均跟蹤性質.對σ＞0，存在δ＞0，使得對每一條F的δ-平均偽軌和每一條G的δ-平均偽軌，分別存在X中的點和Y中的點σ-平均跟蹤之.設是X×Y的一條δ-平均偽軌，易知分別是F和G的一條δ-平均偽軌，因此存在點u∈X和v~∈X，使得

記 ck=ρ1（Fk（u），xk），dk=ρ2（Gk（v），yk），mk=max{ck，dk}，Ct，n=|{k＜n∶ck≥t}|，Dt，n=|{k＜n∶dk≥t}|，

Mt，n=|{k＜n∶mk≥t}|.

易知 Mt，n≤Ct，n+Dt，n.

由引理 2.3（1），知

＜ε

因此F×G具有平均跟蹤性質.

3 q-平均跟蹤

定義 3.1 設（X，F）是一個動力系統.q∈[0，1）.稱映射F（或系統（X，F））具有q-平均跟蹤性質，是指對任意的ε＞0，存在一個δ＞0，使得對F的每一條δ-平均偽軌，存在點 z∈X，滿足

這時，也稱點z，ε-q-平均跟蹤ξ.

定理3.2 設（X，F）是一個動力系統.則下列條件等價：

（1）F具有平均跟蹤性質；

（2）對任何的q∈[0，1），F具有q-平均跟蹤性質.

證明 （1）?（2）.取定 q∈[0，1）.對任意 ε＞0，令γ=（1-q）ε.由 F 具有平均跟蹤性質，故存在 δ＞0，對 F的任意一條δ-平均偽軌，存在點 z∈X，γ- 平均跟蹤之.令A={i∈Z+∶ρ（F（iz），x）i＜ε}.則有

又 γ=（1-q）ε，從而 d（A）＞q.于是 F 具有 q- 平均跟蹤性質.

（2）?（1）.不失一般性，設 diamX=1.任意取定ε∈（0，1），取.由于F具有q-平均跟蹤性質，則存在η＞0，對F的每一條η-平均偽軌ξ=，存在點-平均跟蹤之.令

令 En=E∩{0，1，…，n-1}，故

＜ε

于是具有平均跟蹤性質.

定理3.3 設（X，F）是一個動力系統，其中F是一個時間變化的映射簇.則下列條件等價：

（1）F具有平均跟蹤性質.

（2）對任意的 ε＞0，存在 δ＞0，對F的每一條 δ-平均偽軌，存在點z∈X，滿足

證明 （1）?（2）.由于F有平均跟蹤性質，則對任意的ε＞0，存在δ＞0，使得對F的每一條δ-平均偽軌，能夠被點 z∈X，ε2- 平均跟蹤之.即

令E={i∈Z+∶ρ（Fi（z），xi）≥ε}，則有

故 d（E）＜ε，所以（2）成立.

（2）?（1）.不失一般性，我們設 diamX=1.根據（2），對＞0，存在 δ＞0，對F的每一條 δ-平均偽軌，存在點 z∈X，滿足

＜ε

故（1）成立.

引理 3.4 設 E，F?Z+.若 d（E）=1 且 d（F）＞0，則d（E∩F）＞0.

證明 不失一般性，我們假定diamX=1.任取ε＞0，和任取 x，y∈X.設 δ＞0和 ε＞0滿足 0-平均跟蹤性質的定義的兩個參數.令n0≥2，并且滿足＜δ.對任意的 i∈N，令 ni=i!·n0.

下面我們定義一組序列：

…

因此，ξ是F的一條δ-平均偽軌.于是存在點z∈X，使得

d（{i∈Z+∶ρ（Fi（z），xi）＜ε}）＞0.

令 M1=[0，n1]∪[n2+1，n3]∪[n4+1，n5]∪…=[0，n1]∪[n2k+1，n2k+1].d（M1）=1，令 M2=Z+M1，則 d（M2）=1.

令E={i∈Z+∶ρ（Fi（z），xi）＜ε}.由于F有0-跟蹤性質.故d（E）＞0，則d（E∩M1）＞0，d（E∩M2）＞0.（由引理3.4）

我們能夠找到正整數 r∈E∩M1，s∈E∩M2，并且r＜s-1，使得下面的式子成立

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