基于事件觸發(fā)的NCS魯棒H∞保性能控制*

胡瀟達(dá)，劉延泉，張 華

（華北電力大學(xué) 控制與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，河北 保定 071003）

0 引 言

隨著現(xiàn)代工業(yè)和計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（NCS）已逐漸成為自動(dòng)控制領(lǐng)域的熱點(diǎn)課題之一。將通訊網(wǎng)絡(luò)引入控制系統(tǒng)，可以使控制系統(tǒng)具有許多傳統(tǒng)控制系統(tǒng)不具有的優(yōu)點(diǎn)，如易于維護(hù)﹑結(jié)構(gòu)和布線簡單等。但是，將通信網(wǎng)絡(luò)引入控制系統(tǒng)，也必然會(huì)將原本只存在于網(wǎng)絡(luò)的問題引入控制系統(tǒng)，如存在網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)延時(shí)﹑數(shù)據(jù)包丟失﹑亂序和媒介訪問受限等問題。這些問題特別是網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延的存在會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)性能下降甚至破壞系統(tǒng)原有的穩(wěn)定性。因此，如何有效減小此類網(wǎng)絡(luò)問題帶給控制系統(tǒng)的影響，是現(xiàn)階段網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)分析與綜合所面臨的主要困難和挑戰(zhàn)[1]。在NCSs中，各個(gè)節(jié)點(diǎn)共享的通信網(wǎng)絡(luò)帶寬是有限的。傳統(tǒng)控制系統(tǒng)的控制任務(wù)是通過恒定的采樣周期進(jìn)行周期性執(zhí)行。系統(tǒng)周期性執(zhí)行有利于系統(tǒng)的性能分析，控制器設(shè)計(jì)也相對(duì)簡單。但是，基于這種采樣周期觸發(fā)機(jī)制的控制策略使用了比保證系統(tǒng)所需性能更多的信息，浪費(fèi)了大量帶寬資源。目前，對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的研究需要從減少對(duì)有限網(wǎng)絡(luò)帶寬資源的使用和如何降低通信網(wǎng)絡(luò)負(fù)載的角度出發(fā)。為了解決這個(gè)問題，近年來的許多研究致力于改善網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的觸發(fā)機(jī)制，一些學(xué)者提出了事件觸發(fā)控制的思想[2]。近年來，基于事件觸發(fā)控制機(jī)制的研究取得了許多成果，已被證明相對(duì)傳統(tǒng)周期采樣方法可以減輕網(wǎng)絡(luò)帶寬占有率的負(fù)擔(dān)，能顯著減少網(wǎng)絡(luò)中的傳輸數(shù)據(jù)。

1 問題描述

針對(duì)具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的控制問題，考慮如下被控對(duì)象：

給定對(duì)稱正定矩陣Q和R，定義性能函數(shù)：

定義1 對(duì)于式（1）和式（2）描述的系統(tǒng)，若存在狀態(tài)反饋控制律u(t)=kx(t)，其中k是待求的控制器增益。標(biāo)量γ＞0﹑J*＞0，使得形成的閉環(huán)滿足如下指標(biāo)：

（1）當(dāng)ω(t)≡0時(shí)，要求系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；

（3）在零初始條件下，要求系統(tǒng)的干擾輸入量ω(t)和控制輸出量z( t)滿足特定H∞擾動(dòng)抑制水

則稱u(t)為系統(tǒng)的H∞保性能狀態(tài)反饋控制律。通過該控制律設(shè)計(jì)的控制器，可滿足系統(tǒng)性能要求。

采用的離散事件觸發(fā)機(jī)制可以描述為：

本文采用的離散事件觸發(fā)機(jī)制以參數(shù)σ﹑V和h為特征量，只有滿足式（4）的采樣信號(hào)數(shù)據(jù)，才從傳感器端經(jīng)過事件觸發(fā)器傳輸?shù)较到y(tǒng)的控制器端，最后在執(zhí)行器執(zhí)行。式（4）可以判斷采樣器端得到的數(shù)據(jù)，如果采樣數(shù)據(jù)滿足觸發(fā)公式，則數(shù)據(jù)通過控制器傳遞到執(zhí)行器端。反之，采樣數(shù)據(jù)不會(huì)傳遞，而是跳過該周期進(jìn)行下一次采樣。因此，利用這種事件觸發(fā)機(jī)制的NCS能夠有效降低通信信道中的負(fù)載量，減少網(wǎng)絡(luò)傳輸數(shù)據(jù)量。如果取式（4）的一個(gè)特征值σ=0，則該不等式對(duì)NCS中傳感器端所有的采樣狀態(tài)數(shù)據(jù)均成立。事件觸發(fā)通信機(jī)制將退化為傳統(tǒng)的時(shí)間觸發(fā)機(jī)制，即時(shí)間/周期觸發(fā)機(jī)制是事件觸發(fā)機(jī)制的一種特殊形式。更進(jìn)一步證明，與時(shí)間/周期的觸發(fā)機(jī)制相比，基于事件觸發(fā)機(jī)制設(shè)計(jì)的控制器可以在保證系統(tǒng)滿足給定性能的要求下，有效降低網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)傳遞的數(shù)據(jù)量。其中：

2 系統(tǒng)建模

為了簡化和方便分析后面的理論，在建立被控對(duì)象的NCS數(shù)學(xué)模型時(shí)，本文做了如下常見假設(shè)：控制系統(tǒng)的通信網(wǎng)絡(luò)存在于傳感器﹑控制器以及執(zhí)行器之間，其中傳感器和采樣器為時(shí)間驅(qū)動(dòng)，執(zhí)行器和控制器為通過零階保持器（ZOH）的事件驅(qū)動(dòng)；被控對(duì)象所有狀態(tài)可測，數(shù)據(jù)采用單包傳輸且沒有數(shù)據(jù)丟包；網(wǎng)絡(luò)總的時(shí)變時(shí)滯有上界和下界。采用文獻(xiàn)[3]中的建模方法，當(dāng)考慮網(wǎng)絡(luò)延時(shí)與丟包時(shí)，得到系統(tǒng)在控制器u(t)=kx(t)控制下的基于事件觸發(fā)機(jī)制的NCSs的系統(tǒng)模型：

其中，h為采樣周期，釆樣狀態(tài)釋放時(shí)刻為τ1h﹑τ2h…τkh。τik為采樣數(shù)據(jù)滿足事件觸發(fā)條件時(shí)，事件觸發(fā)器釋放采樣信號(hào)的時(shí)刻ik到執(zhí)行器把成功觸發(fā)的采樣信號(hào)傳輸?shù)奖豢貙?duì)象上的時(shí)刻之間的網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)滯。考慮到系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)信道中的時(shí)變時(shí)滯，釋放的采樣信號(hào)將分別在t0h+τ0﹑…﹑tkh+τik時(shí)刻達(dá)到控制器端，此時(shí)定義φ(t)為對(duì)x(t)的初始化函數(shù)。

3 主要結(jié)果

定理1 對(duì)于由式（6）﹑式（7）和式（8）描述的閉環(huán)系統(tǒng)，給定正定對(duì)稱矩陣Q﹑R，標(biāo)量τm﹑τM滿足關(guān)系式0＜τm＜τM，如果存在正定且對(duì)適當(dāng)維數(shù)矩陣G和Y，使得式（9）和式（10）的矩陣不等式同時(shí)成立，即：

其中：

則系統(tǒng)是魯棒漸近穩(wěn)定的，且滿足H∞擾動(dòng)抑制衰減指標(biāo)γ和保性能指標(biāo)函數(shù)式（3），對(duì)應(yīng)的控制器增益為K=YP^-1。

證明：構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函：

結(jié)合Jensen積分不等式和文獻(xiàn)[4]中的互逆凸組合的數(shù)學(xué)方法，分別處理Lyapunov_Krasovskii泛函導(dǎo)數(shù)中出現(xiàn)的二次型積分項(xiàng)，結(jié)果如下：

其中：

結(jié)合事件觸發(fā)條件的關(guān)系式（5），將采樣數(shù)據(jù)之間的誤差向量引入泛函導(dǎo)數(shù)。

令：

當(dāng)ω(t)=0時(shí)，V˙(t)＜0。對(duì)式（33）兩邊從ikh+τik到ik+1h+τik+1積分，并注意到：

可得：

為了求解控制器增益K，需要進(jìn)行合同轉(zhuǎn)換，即對(duì)不等式（25）和不等式（26）兩邊分別左乘和右乘diag{P-1，P-1，P-1，P-1，P-1，I，I，I，I，I}﹑diag{P-1，P-1}及其轉(zhuǎn)置，并定義P^=P-1，可得式（9）和式（10）成立。

定理得證。

注釋 定理1首先對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，得到了保守性較小的時(shí)滯依賴穩(wěn)定性判據(jù)，進(jìn)而在穩(wěn)定性判據(jù)的基礎(chǔ)上，通過合同變換的數(shù)學(xué)思想，得到了可以用于求解控制器增益的線性矩陣不等式，便于使用線性矩陣不等式的方法進(jìn)行求解。

推導(dǎo)的矩陣不等式（9）中含有非線性項(xiàng)-L1-1﹑-L2-1，不是一般性的線性矩陣不等式。因此，不能直接用Matlab中的LMI工具箱對(duì)定理1得到的非線性不等式進(jìn)行求解。為了進(jìn)一步減小在求解運(yùn)算過程中可能導(dǎo)致的保守性，可以使用文獻(xiàn)[5]中的錐補(bǔ)線性化算法來求解式中的不等式。

在構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii式時(shí)，在含有二重積分項(xiàng)的泛函基礎(chǔ)上，引入以區(qū)間時(shí)變傳輸時(shí)滯上界和下界信息作為積分區(qū)間的積分項(xiàng)，有利于降低結(jié)果的保守性。通過使用基于時(shí)變時(shí)滯的給定的條件，求得控制器的增益矩陣和事件觸發(fā)器的參數(shù)，保證所得的控制器能夠滿足系統(tǒng)所需的性能。

4 仿真實(shí)例

選擇文獻(xiàn)[6]中的衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)作為仿真實(shí)例，對(duì)基于事件觸發(fā)機(jī)制與時(shí)間/周期采樣機(jī)制的系統(tǒng)性能進(jìn)行分析和比較。

系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：

其中，J1=J2=1，k=0.09和d=0.021 9，性能指標(biāo)參數(shù)R=0.1，時(shí)變時(shí)滯變化率μ=0.2,系數(shù)矩陣A的特征值為-0.021 9+0.423 7j﹑-0.021 9-0.423 7j﹑0和0，且系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

其他參數(shù)設(shè)置為：h=10 ms，τm=2 ms，τM=4 ms，γ=40，σ=0.01。初始狀態(tài)為x0=col{0.2 -0.3 0.3-0.2}，仿真事件為60 s。

由定理1求得形如式（4）的事件觸發(fā)器的參數(shù)和控制器增益：

基于事件觸發(fā)控制下系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)如圖1所示。可見，系統(tǒng)的狀態(tài)向量均在有限時(shí)間內(nèi)趨向于零，系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)滿足漸近穩(wěn)定的性能要求，因此由定理1設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)器和控制器能夠鎮(zhèn)定系統(tǒng)。

圖1 事件觸發(fā)控制下的系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)

圖2描述了不同通信機(jī)制控制下得到的系統(tǒng)狀態(tài)向量范數(shù)隨時(shí)間變化的曲線。顯然，通過事件觸發(fā)器傳遞的數(shù)據(jù)是周期采樣數(shù)據(jù)的一部分，即通過事件觸發(fā)器進(jìn)行控制的狀態(tài)向量包含于周期觸發(fā)器的狀態(tài)向量。結(jié)合圖1可知，在不影響系統(tǒng)運(yùn)行性能的情況下，事件觸發(fā)控制與事件/周期采樣控制對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的控制效果幾乎相同。

圖2 事件觸發(fā)控制和周期采樣控制下的系統(tǒng)狀態(tài)范數(shù)

圖3描述了控制系統(tǒng)在事件觸發(fā)機(jī)制作用下成功觸發(fā)的采樣時(shí)刻和最近兩個(gè)成功觸發(fā)時(shí)刻之間的間隔。可以認(rèn)為，采樣周期恒定為h的周期采樣機(jī)制的觸發(fā)間隔恒定為h。而由圖3可以得到，事件觸發(fā)機(jī)制作用下的觸發(fā)間隔并不相等，且所有觸發(fā)間隔均大于等于采樣周期h。說明事件觸發(fā)機(jī)制可以降低系統(tǒng)數(shù)據(jù)的傳輸頻率，節(jié)省有限的資源。

圖3 事件觸發(fā)器的觸發(fā)時(shí)刻及觸發(fā)間隔

此外，由定理1得到的事件觸發(fā)器的數(shù)據(jù)發(fā)送率為3.41%，比周期采樣機(jī)制節(jié)約了96.59%的資源。

5 結(jié) 語

針對(duì)傳感器端存在時(shí)變時(shí)滯時(shí)延的問題，結(jié)合事件觸發(fā)器的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，研究了基于離散事件觸發(fā)機(jī)制的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)魯棒H∞保性能控制。為了節(jié)約有限的網(wǎng)絡(luò)資源，不同于傳統(tǒng)控制系統(tǒng)采用的時(shí)間/周期采樣觸發(fā)機(jī)制，本文采用離散事件觸發(fā)機(jī)制，可以使傳感器端的采樣數(shù)據(jù)只在觸發(fā)條件成立時(shí)才被發(fā)送到控制器端，有效降低了采樣數(shù)據(jù)的發(fā)送，且易于軟件實(shí)現(xiàn)。此外，在合理假設(shè)下建立了基于事件觸發(fā)機(jī)制的時(shí)變時(shí)滯NCS系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性理論﹑線性矩陣不等式（LMI）技術(shù)和互逆凸組合的處理方法，構(gòu)造了包含更多時(shí)滯上下界信息的Lyapunov-Krasovskii泛函，得到了一種保守性更低且滿足系統(tǒng)要求性能的漸近穩(wěn)定性判據(jù)。在該判據(jù)基礎(chǔ)上，結(jié)合錐補(bǔ)線性化算法對(duì)事件觸發(fā)器和狀態(tài)反饋控制器進(jìn)行聯(lián)合設(shè)計(jì)，得到了事件觸發(fā)器的特征參數(shù)和控制器增益。最后，通過編程和仿真典型實(shí)例，驗(yàn)證了本文方法的可行性和有效性。

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