基于信道二元性的MIMO系統(tǒng)容量域研究與仿真*

楊前華

（南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 通信學(xué)院，江蘇 南京 210023）

0 引 言

隨著無線通信應(yīng)用的增多，人們對無線通信的需求不斷提高。移動通信與互聯(lián)網(wǎng)融合使人們希望在任何地點都有無縫﹑高速的網(wǎng)絡(luò)接入。目前，4G網(wǎng)絡(luò)速率已經(jīng)達到了100 Mb/s，能支持實時視頻通訊及多媒體業(yè)務(wù)，而MIMO多天線陣列是在有限的頻帶中實現(xiàn)最大的傳輸容量及速率的關(guān)鍵技術(shù)之一，但針對MIMO容量域的研究一直缺乏有效的理論分析方法。文獻[1-2]首先研究了單用戶高斯MIMO信道的容量，文獻[2-3]研究了MIMO多接入信道（MAC）的容量域。雖然已證明，臟紙編碼（DPC）是獲取BC信道容量域的有效方法[4-6]，但直接計算BC信道的DPC容量域非常困難，原因在于DPC技術(shù)應(yīng)用需要一個苛刻的前提——發(fā)送端具有完全非因果的關(guān)于信道的加性干擾（包括其他用戶干擾）信息，則信道容量等于沒有加性干擾的信道容量，或等效接收端獲知干擾的信道容量（接收端具有可合作性）。

本文通過研究基礎(chǔ)信息論，分析MIMO系統(tǒng)的容量域，建立了高斯廣播信道與多接入信道的二元性，并使用DPC編碼來確定MIMO廣播信道速率域，以期為研究MIMO系統(tǒng)的最大容量提供理論支持。

1 廣播信道與多址信道容量域

信道容量的概念最早由克勞德·香農(nóng)在1948年的論文“數(shù)學(xué)通訊理論”中提出。信道容量被定義為在任意小的錯誤概率下可達到的最大通信速率。

1.1 離散無記憶信道

通信系統(tǒng)通常有一個信息的發(fā)送端與多個接收端。為了簡化，本文用兩個接收端來建立系統(tǒng)模型。兩個用戶的離散無記憶信道由有限集合(x, y, z)組成，每一個在Y×Z上的概率分布記為p( y, z|x)。

目前，許多廣播信道容量域是未知的。但是，某些特殊類別的廣播信道已經(jīng)通過研究得到其容量域，其中退化廣播信道是已知容量域的信道之一。退化廣播信道的定義為：如果存在一個信道概率函數(shù)p(z|y)，使得p(z|x)=∑y∈Yp(y|x)p(z|y)，則該廣播信道稱為退化廣播信道。

退化廣播信道的容量域首先由Gallager發(fā)現(xiàn)。它等于滿足式（1）﹑式（2）的所有(R1,R2)封閉集合的凸包。

多址接入信道由多個發(fā)送端與一個接收端組成。假設(shè)信道的兩個發(fā)送端為(x1, x2)，接收端為y，其概率分布函數(shù)為p(y|x1, x2)。在文獻[6-9]中，該多址接入信道的容量域等于滿足式（3）﹑式（4）和式（5）中所有(R1, R2)封閉集合的凸包。

1.2 高斯信道

下面將通信系統(tǒng)仿真中典型的高斯信道作為模型，對高斯廣播信道與高斯多址接入信道的容量域進行研究。

1.2.1 AWGN廣播信道

假設(shè)在AWGN廣播信道中，發(fā)送端同時發(fā)送復(fù)合信號x[i]到k個不同的接收端，其中i代表時間節(jié)點。每個接收端接收信號的信道響應(yīng)為h，噪聲為n[i]。設(shè)H=(h1,h2,…h(huán)k)，且信道響應(yīng)H在所有時間都保持不變。理論上，接收端在廣播信道中接收到的信號可以表示為如果發(fā)送端的平均功率為P，文獻[10]中，Bergmans證明上述條件下的信道容量域CBC(h,P—)滿足：

文獻[11]中，該容量域可以通過DPC（Dirty-Paper Coding）編碼方式達到。該編碼方式采用發(fā)送端進行“預(yù)編碼”的方式，針對某個接收端預(yù)先“減去”其他接收端信息后再進行編碼，以減少信息間的干擾，達到系統(tǒng)的最大容量。

1.2.2 AWGN多址接入信道

與AWGN廣播信道相反，AWGN多址接入信道的發(fā)送端同時發(fā)送信號Xi到接收端，其中j代表第j個接收端。每個發(fā)送端的信道響應(yīng)為h，噪聲為n[i]。設(shè)H=(h1,h2,…h(huán)k)且信道響應(yīng)H在所有時間都保持不變。理論上，接收端在廣播信道中接收到的信號可以表示為：

設(shè)每個發(fā)送端的平均功率為P，文獻[7]中，上述條件下的AWGN多址接入信道容量域CMAC(h,P—)為：

1.2.3 衰落廣播信道

在衰落廣播信道中，信道響應(yīng)hj[i]隨時間的變化而改變。它的系統(tǒng)模型可以表示成：

它與上述AWGN廣播信道的唯一區(qū)別，是衰落信道的響應(yīng)hj[i]是時變的。假設(shè)發(fā)送端與接收端都有明確的CSI（Channel State Information），即每個接收端都能知道當前衰落的信道響應(yīng)h[i]。

為了遍歷該信道的容量，設(shè)功率策略PBC為發(fā)送端根據(jù)信道響應(yīng)h映射的發(fā)送功率PjB(h)的策略。設(shè)FBC為滿足所有功率策略的集合，即：

由文獻[8]的定理1可知，上述信道的遍歷功率域為：

其中CBC(H,PBC)為使用功率策略PBC時的容量域：

1.2.4 衰落多址接入信道

在衰落多址接入信道中，信道響應(yīng)hj[i]隨時間的變化而改變。它的系統(tǒng)模型可以表示為：

與上述衰落廣播信道類似，設(shè)功率策略PMAC為發(fā)送端根據(jù)信道響應(yīng)h映射的發(fā)送功率PjM(h)的策略。設(shè)FMAC為滿足所有功率策略的集合，即：

由文獻[8]中定理2.1可知，多址接入信道的遍歷功率域為：

其中CMAC(H,PMAC)為使用功率策略PMAC時的容量域：

1.2.5 MIMO廣播信道

MIMO廣播信道的發(fā)送端與接收端都有多個天線單元。假設(shè)MIMO廣播信道的發(fā)送端有M個發(fā)送天線，k個接收端分別有r1r2…rk個接收天線，如圖1所示。

圖1 MIMO廣播信道模型

設(shè)X∈CM×1為發(fā)送端發(fā)送的信號集，Hk(i, j)為從發(fā)送端第j個天線到第k個接收端的第i個天線的信道響應(yīng)；第k個接收端的高斯噪聲為HX。設(shè)nk∈Crk×1﹑yk∈Crk×1為第k個接收端接收到的信號，則接收信號可以表示為：

與AWGN廣播信道不同，MIMO廣播信道不是一個標準的退化廣播信道。所以，MIMO廣播信道的容量域依然是未知的。

MIMO廣播信道在限定條件下能達到的容量域最初在文獻[9]中發(fā)現(xiàn)。文獻[11]中通過使用DPC編碼，將該區(qū)域擴展到更多的接收端與更多的天線上，并可應(yīng)用到MIMO發(fā)送端的預(yù)編碼規(guī)則上。

如果發(fā)送端首先為接收端1選擇編碼碼字1，然后在已知碼字1的基礎(chǔ)上為接收端2選擇編碼碼字2。當接收端2解碼時，將不會有編碼碼字1所帶來的干擾。在上述編碼情況下，MIMO廣播信道可實現(xiàn)的容量域為：

1.2.6 MIMO多址接入信道

MIMO多址接入信道的發(fā)送端與接收端同樣都有多個天線單元。假設(shè)MIMO多址接入信道的第j個發(fā)送端有rj個發(fā)送天線，接收端分別有M個接收天線。如圖2所示。

圖2 MIMO多址接入信道模型

設(shè)Xk∈Crk×1為發(fā)送端k發(fā)送的信號，YMAC∈CM×1為接收到的信號，n∈CM×1為噪聲。Hk∈CM×rk為第k個發(fā)送端到接收端的信道響應(yīng)，則接收信號可以表示為：

其中矩陣H代表所有接收端的信道響應(yīng)。

由文獻[10-12]可得，MIMO多址接入信道的容量域CMAC(H1,…,Hk,P1,…,Pk)為：

2 廣播信道與多址信道的二元性

研究廣播信道與多址接入信道的聯(lián)系具有許多重要意義。首先，建立這樣的聯(lián)系可為多用戶的信息論提供理論依據(jù)。其次，研究能從信息論的角度提供新的研究思路與方向。基于本節(jié)研究的廣播信道與多址接入信道的二元性，結(jié)合現(xiàn)有的MIMO多址接入信道的研究結(jié)果，能得出MIMO廣播信道的和速率。而該信道和速率容量在以往的研究中從未被發(fā)現(xiàn)和證實。

下面在高斯廣播信道與高斯多址接入信道的容量域推導(dǎo)結(jié)果的基礎(chǔ)上，研究分析高斯廣播信道與多址接入信道容量域的相互聯(lián)系。

2.1 AWGN廣播信道與多址接入信道

根據(jù)上述研究，多址接入信道的容量域等于該區(qū)域角點的凸包。所以，在總功率相同的情況下，每一個雙多址接入信道容量域集合屬于雙廣播 信道容量域，即：

由文獻[11]中定理3.2得知，任意多址接入信道的速率域滿足：

于是，在任意α＞0的情況下，可進一步推論出：

即恒定高斯多址接入信道的容量域等于所有信道定標下的雙廣播信道的交集。

2.2 衰落廣播信道與多址接入信道

在廣播信道與多址信道的二元性結(jié)論的基礎(chǔ)上，下面將研究推廣到平坦衰落廣播信道與多址接入信道中。根據(jù)高斯信道模型，平坦衰落廣播信道與多址接入信道可以分別表示為：

其中在廣播信道與多址接入信道中的衰落h[i]是一樣的。

不難發(fā)現(xiàn)，任何在多址接入信道容量域中的速度矢量都在雙廣播信道容量域中，即：

由文獻[11]中定理3.2與式（30）可得出，在α＞0的情況下，有：

即衰落多址接入信道的遍歷容量域等于所有信道定標下的雙廣播信道遍歷容量域的交集。

2.3 MIMO廣播信道與多址接入信道

根據(jù)第一節(jié)中的高斯信道模型，MIMO廣播信道與多址接入信道可以分別表示成：

首先在多址接入信道中每個由連續(xù)解碼所能達到的速度向量必定在雙廣播信道臟紙（dirty paper）域中。通過對臟紙域中凸包的計算，可以發(fā)現(xiàn)，對應(yīng)于所有多址接入信道協(xié)方差矩陣的角點都在雙MIMO廣播信道的DP域中。通過文獻[11]中描述的廣播信道與多址接入信道的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可得：說明在限制功率為P的條件下MIMO廣播信道的臟紙域等于在總限制功率為P的條件下MIMO多址接入信道的容量域。

3 MIMO廣播信道的和速率

依據(jù)高斯廣播信道與多接入信道的二元性結(jié)論，下面分析MIMO廣播信道的和速率容量，并確定達到該和速率的編碼方法。

3.1 MIMO廣播信道系統(tǒng)模型

設(shè)MIMO廣播信道的發(fā)送端由M個天線單元，k個接收端分別由r1,r2…,rk接收天線單元，則該MIMO廣播信道可表示為：

設(shè)MIMO多址接入信道的k個發(fā)送端分別有r1,r2…,rk個天線單元，接收端分有M個接收天線單元，則該MIMO多址接入信道可表示為：

3.2 MIMO廣播信道的和速率容量

通過文獻[11]中4.2節(jié)中的證明，說明通過DPC編碼可以達到MIMO廣播信道的和速率容量。通過廣播信道與多址接入信道的二元性可知，MIMO廣播信道的和速率等于雙MIMO多址接入信道的和速率容量。因此，MIMO廣播信道和速率可以表示為：

4 仿真分析

假設(shè)系統(tǒng)中各用戶位置獨立隨機分布。圖3給出了不同信噪比條件下的MIMO廣播信道和速率容量與雙MIMO多址接入信道的和速率容量的對比結(jié)果。可以看出，兩者的和容量都隨著信噪比的增加成近乎線性增加，并基本吻合。圖4給出了信噪比固定（10 dB）﹑不同MIMO天線配置（4×4﹑8×8兩種條件）﹑不同用戶數(shù)情況下的MIMO廣播信道和速率與雙MIMO多址接入信道的和速率容量的對比結(jié)果。結(jié)果表明，在同一MIMO天線配置﹑不同用戶數(shù)條件下，兩者獲取的和容量都非常逼近。

圖3 不同信噪比情況下的和容量對比

圖4 不同天線配置情況下的和容量對比（SNR=10 dB）

5 結(jié) 語

本文首先研究了典型信道的容量，通過對典型信道容量的研究，發(fā)現(xiàn)廣播信道與多址接入信道的二元性；通過MIMO多址接入信道的和速率容量域，計算MIMO廣播信道的可達和速率容量域，并在此基礎(chǔ)上使用DPC編碼來獲取MIMO廣播信道容量域。仿真結(jié)果表明，同一MIMO天線配置﹑不同用戶數(shù)條件下，兩者獲取的和容量近似。可見，該算法對MIMO廣播信道容量域的研究提供了新思路與新方法。

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