微積分課程教學中關于微分的一些思考

【摘要】微積分是全國高等院校尤其是財經類院校本科生教學中的一門重要的通識課程。本文主要探討了在微積分教學中微分與導數的關系以及微分在積分理論中的作用。

【關鍵詞】 微積分 ?微分 ?導數 ?積分

【中圖分類號】O172 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）40-0120-01

微積分的學習對于高等院校學生來說是至關重要的。這門課主要包括極限、微分學、積分學及其應用。該門課程也是后續其它高校數學課程的基礎，例如微積分與概率論與數理統計聯系密切，連續型變量以及隨機向量屬于某一區間的概率的計算等都需要用到微積分中積分的內容。因此很多學生由于微積分的部分內容掌握得不夠扎實導致在學習大學的一些其他數學類的課程中比較吃力。

微積分主要包括微分學和積分學兩個部分。微積分基本定理即牛頓-萊布尼茲公式揭示了定積分與被積函數的原函數或者不定積分之間的聯系。在一般的微積分的教材中，原函數的定義最初是出現在微分這一節中。原函數是指對于定義在某區間的已知函數f（x），如果存在可導函數F（x），使得在該區間內任一點都存在dF（x）=f（x）dx，則在該區間內就稱函數F（x）為函數f（x）的原函數。在這一定義中dF（x）是F（x）的微分。

我們首先簡單的介紹微分的定義：設函數y=f（x）在某區間I上有定義，x0是該區間內一點，當x0變動到附近的x0+Δx（也在此區間內）時，如果函數對應的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）可表示為Δy=AΔx+ο（Δx）（其中A是不依賴于Δx的常數），那么f（x）稱為在x0是可微的，AΔx稱作函數f（x）成為在x0處的微分，記作dy。從微分的定義可以看出dy是Δy的線性主部。因此，微分可視為對函數的局部變化率的一種線性描述。它可用于近似的計算當函數自變量取值作足夠小的改變時，函數值的改變。

從上述定義可看出，當函數給定時，很難通過微分的定義計算微分。當把微分的定義與導數的定義結合起來進行對比時，人們發現可微和可導是等價的。導數的定義：函數f（x）在x0處的瞬時變化率是■■=■■，我們稱它為函數f（x）在x0處的導數。記作f '（x0）或y'|■。若f（x）在x0處可微，將可微定義中的定義式帶入至導數定義式中時可求得 ? f（x）在x0處的導數為f '（x0）=A。從而dy=df=f '（x0）dx。通過這一等式，我們可以非常容易的計算出微分，從而也比較容易的給出函數的近似計算。類似的在可導的前提下，利用計算導數的極限式，我們可以推導出微分的定義式，并且得出A=f '（x0）。因此，若函數f（x）在x0處可微，可推導出f（x）在x0處可導;若 ?f（x）在x0處可導，可得出f（x）在x0處可微。從這一意義上來說可微和可導是等價的。

也正是由于微分和導數密切的關系尤其是利用導數計算微分這種較為簡單的計算方式導致學生對微分的認知非常模糊。在教學過程中，我們發現學生比較容易犯的錯誤：一是在計算函數的微分時漏寫dx;二是在寫出微分的定義時給出了Δy=y'Δx+ο（Δx）這樣錯誤的寫法。通過這兩種錯誤可以看出在學完微分一段時間之后，部分同學容易將微分的概念和倒數的概念混淆在一起。

在微積分的課程教學當中，經常有同學提出疑問，微分和導數有何區別？

首先，雖然導數和微分都是在自變量微小變化時，研究函數值的變化，但是導數考察函數值的變化率而微分考察的是函數值變化的近似計算。例如，導數可用于求解瞬時速度，微分可用作近似計算比如1.0025的估計。

其次，當我們考慮一段區間上的微分時，作為函數值變化的線性主部，微分函數df是關于x和Δx這兩個相互獨立的變量的函數。一般地，我們認為微分函數是關于x的函數。需要注意的是dx并不僅僅只是在算完導數后加上的一個符號而已。設f（x）=x，容易算出df=dx=1·Δx。通過這一簡單例子的計算，同學們就可以理解在微分這一節內容中Δx到dx的轉變。同時，在教學中，我們也可以指出dy，dx不僅僅是符號。本質上他們是函數可以參與運算。比較經典的是通過dy=f 'dx可得出 ?f '=dy/dx。這也解釋了導數的符號除了f '以外還有一個符號dy/dx。這一符號是兩個微分函數的商，從而這一符號又稱為微商。

此外，微分可以幫助學生更好的理解不定積分和定積分的計算過程。微分有一個非常重要的性質：一階微分的形式不變性。一階微分的形式不變性是指不論u是自變量還是中間變量，均有dy=f '（u）du。不定積分和定積分的計算比較常見有三種方法：湊微分、分部積分、換元法。有時我們也稱湊微分法為第一換元法。湊微分也可以看做是一階微分形式不變性的逆運算。以不定積分為例，湊微分的過程：假設被積函數可以寫成 ? ?f（φ（x））φ'（x）的形式，此時不定積分的形式可表達為■f（φ（x））φ'（x）dx。不定積分表示的是f（φ（x））φ'（x）dx這一微分式的所有的原函數，從而根據微分是函數以及一階微分的形式不變性，可得

■f（φ（x））φ'（x）dx=■f（φ（x））dφ（x）=■f（u）du=F（u）+C=F（φ（x））+C

這里u=φ（x），F是f的原函數。

通過上述的內容我們主要分析了微分和導數的聯系與區別，微分在積分計算中的作用，并闡述了作者在教學過程中總結的少許經驗。作為研究函數的重要工具，微分應當讓學生在學習的過程中深刻的理解其定義、性質，這樣才能在今后的微積分學習中做到學以致用。

參考文獻：

[1]朱來義.微積分[M]. 北京：高等教育出版社， 2002.

[2]趙洪.研究性教學與大學教學方法改革[J].高等教育研究，2013（30）.

作者簡介：

單遠（1988.12-），男，漢族，江蘇鹽城人，博士，講師，研究方向：動力系統。