用矩陣的逆求不定積分

鄭婧　朱達

摘要：本文主要利用高等代數中線性變換的知識，通過求導變換的逆變換求解不定積分。

關鍵詞：線性變換求導運算；逆矩陣；不定積分

假設S是V的一個有限維子空間，且對求導運算封閉，即若f（x）∈S，則f′（x）∈S。

f1（x），f2（x），…，fn（x）是S的一組基，線性變換D在該基下的矩陣為A，則D的逆變換在該基下的矩陣為A-1，通過A-1，我們就可以求得S中某個函數的不定積分。下面我們將通過一個例子來了解這種方法。

例計算∫xnsinddx.

設S=L（xnsinx，xn-1sinx，…，sinx，xncosx，xn-1cosx，…，cosx），很顯然，S對求導運算D封閉，xnsinx，xn-1sinx，…，sinx，xncosx，xn-1cosx，…，cosx線性無關，它們構成了S的一組基，D在該基下的矩陣A-NE-EN其中E為n+1階單位矩陣，N=（ne2，（n-1）e3，…，2en，en+1，0），ei表示第i行等于1，其余行等于0的列向量。

對A進行初等行和列變換，可得到新的矩陣A′=N+EE-2EN-E，A的行列式值與A′的行列式值相同，det（A）=det（A′）=|N2+E|=1，所以A為可逆矩陣。

設A-1=X1X3X2X4

，通過計算可解得A-1=

（N2+E）-1N-（N2+E）-1

（N2+E）-1（N2+E）-1N，設

（N2+E）-1=（α1，α2，…，αn+1），則

（N2+E）-1N=（nα2，（n-1）α3，…，αn+1，0），要求∫xnsinx的不定積分，只需求得A-1的第1列，所以我們只要求出

（nαT2，-αT1）T即可，即算出（N2+E）-1的第1列和第2列。

以n是偶數為例，此時可解得

我們可以看到，在此例中，如果用通常求不定積分的方法，當n比較大時，計算起來就比較麻煩，且易出錯，但利用上面的方法，再借助于matlab軟件，我們便可以很快得到計算結果，因此，用矩陣的逆求解不定積分在一些情況下是十分具有優勢的。

參考文獻：

[1]邱森，朱林生.高等代數探究性課題精編[M].武漢大學出版社，2012.

[2]丘維聲.高等代數（下冊）[M].清華大學出版社，2010.

作者簡介：鄭婧，江蘇省南京市，南京林業大學理學院信息與計算科學系；

朱達，江蘇省南京市，南京林業大學理學院材料化學系。endprint