抽象“周長(zhǎng)”概念的策略分析

黃芳　安麗玉

【摘要】抽象思想是一種數(shù)學(xué)基本思想，三年級(jí)學(xué)生以形象思維為主，而周長(zhǎng)概念的抽象性較強(qiáng)，這就要求教師教學(xué)周長(zhǎng)概念時(shí)做好“抽象”。可以采用以下策略：合理編排，有序地抽象；多元表征，直觀地抽象；比較區(qū)分，邏輯地抽象；靈活度量，運(yùn)用中抽象。

【關(guān)鍵詞】動(dòng)手實(shí)踐；自主建構(gòu)；活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2017）89-0063-03

【作者簡(jiǎn)介】1.黃芳，江蘇省無(wú)錫市安鎮(zhèn)實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇無(wú)錫，214105）副校長(zhǎng)，高級(jí)教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師；2.安麗玉，江蘇省無(wú)錫市安鎮(zhèn)實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇無(wú)錫，214105）年級(jí)組長(zhǎng)，一級(jí)教師，無(wú)錫市錫山區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)新秀。

數(shù)學(xué)是一門(mén)抽象的學(xué)科，其研究方法也是抽象的。作為過(guò)程的抽象，是指在認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程中，舍棄那些個(gè)別的、偶然的非本質(zhì)屬性，抽取普遍的、必然的本質(zhì)屬性，形成科學(xué)概念，從而把握事物的本質(zhì)和規(guī)律。其主旨是對(duì)有關(guān)數(shù)量關(guān)系和空間形式的直觀背景材料進(jìn)行去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的加工和提煉，以實(shí)現(xiàn)建立數(shù)學(xué)概念、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型、組織數(shù)學(xué)體系的目的。

對(duì)于一個(gè)平面圖形，教師可以從兩個(gè)維度來(lái)認(rèn)識(shí)：一是圖形的幾何特征，二是圖形的度量特征。長(zhǎng)度是度量一維空間“線”的長(zhǎng)短，其度量對(duì)象是“線”，度量屬性是長(zhǎng)短。面積是度量二維空間“面”的大小，其度量對(duì)象是“面”，度量屬性是大小。在教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)存在這樣的誤區(qū)：將周長(zhǎng)等同于周長(zhǎng)度量對(duì)象——“線”，找不準(zhǔn)周長(zhǎng)度量對(duì)象——“線”，或者將一維的“線”與二維的“面”纏繞在一起。原因在哪里？三年級(jí)學(xué)生以形象思維為主，而周長(zhǎng)概念的抽象性較強(qiáng)，它不像圖形的幾何特征那樣直觀，也不如面積概念那樣易感知。這就要求教師在周長(zhǎng)概念教學(xué)的起始課上就做好“抽象”這件事。

一、合理編排：有序地抽象

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為，教材是教學(xué)法的編導(dǎo)。北師版、蘇教版、浙教版、人教版、青島版、西師版等版本教材對(duì)周長(zhǎng)相關(guān)內(nèi)容的編排順序是相同的，主要經(jīng)歷“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形和正方形的特征—認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)—長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)的計(jì)算”這三個(gè)過(guò)程。

同一概念的相關(guān)聯(lián)系，在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為同一概念的內(nèi)部邏輯結(jié)構(gòu)、同一概念和各種等價(jià)表示之間的聯(lián)系及其與具體模型相聯(lián)系的外部表示之間的抽象。這些聯(lián)系是學(xué)生理解概念、完善概念網(wǎng)絡(luò)、靈活運(yùn)用知識(shí)的關(guān)鍵，長(zhǎng)方形和正方形的特征、認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)、長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)的計(jì)算之間就存在著這樣的聯(lián)系。

各版本教材的安排都體現(xiàn)了抽象過(guò)程的教學(xué)法規(guī)律，從認(rèn)識(shí)幾何特征、認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)概念到周長(zhǎng)概念的應(yīng)用計(jì)算，逐漸深入，符合三年級(jí)學(xué)生的思維邏輯，有利于他們獲得抽象概念。遵循教材的編排順序，可以在教學(xué)第三課《長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)的計(jì)算》時(shí)這樣串聯(lián)前兩節(jié)課的知識(shí)：

【片段1】三上《長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)的計(jì)算》

師：小剛和小明參加賽跑，裁判員宣布小剛繞著1號(hào)跑道（長(zhǎng)方形）跑一圈，小明繞著2號(hào)跑道（正方形）跑一圈。小明表示不公平，說(shuō)他的跑道比小剛的長(zhǎng)。

師：到底誰(shuí)的跑道長(zhǎng)？怎樣來(lái)判斷呢？

生：可以計(jì)算兩條跑道的周長(zhǎng)。

師：什么是跑道的周長(zhǎng)？誰(shuí)上來(lái)指著圖說(shuō)一說(shuō)？ 生：圍成長(zhǎng)方形跑道、正方形跑道四條線段的長(zhǎng)度之和分別是它們的周長(zhǎng)。

師：計(jì)算跑道周長(zhǎng)，需要知道哪些條件？怎樣才能知道？

生：量一量長(zhǎng)方形跑道的一個(gè)長(zhǎng)和一個(gè)寬，再量一量正方形跑道的一個(gè)邊長(zhǎng)。

師：為什么這樣量呢？

生：長(zhǎng)方形對(duì)邊相等，正方形四條邊相等。

長(zhǎng)方形和正方形的幾何特征、周長(zhǎng)概念及其應(yīng)用計(jì)算在這一問(wèn)題情境中得到了有意義的聯(lián)結(jié)，周長(zhǎng)概念內(nèi)涵的多種屬性便形成了結(jié)構(gòu)化網(wǎng)絡(luò)，這有利于學(xué)生多方位地理解與把握周長(zhǎng)概念。

二、多元表征：直觀地抽象

概念的理解一般要經(jīng)歷形象—表象—抽象的過(guò)程，學(xué)生思維活動(dòng)的水平主要取決于外在刺激的程度，如何使用各種外部表征幫助學(xué)生建立反映概念本質(zhì)的內(nèi)在表征是關(guān)鍵。

美國(guó)學(xué)者萊許說(shuō)：“實(shí)物操作只是數(shù)學(xué)概念發(fā)展的一個(gè)方面，其他表述方式——圖像、書(shū)面語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、現(xiàn)實(shí)情景等——同樣也發(fā)揮了十分重要的作用。”多元表征理論強(qiáng)調(diào)概念表征的不同方面要相互滲透與必要互補(bǔ)，這樣就能充分利用學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)使概念變得豐富和生動(dòng)起來(lái)。

【片段2】三上《認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)》

1.認(rèn)識(shí)物體平面的周長(zhǎng)。

請(qǐng)學(xué)生指一指3張書(shū)簽的一周邊線。

小結(jié)：都要從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)沿著邊線走一圈，再回到原來(lái)這個(gè)點(diǎn)。

請(qǐng)學(xué)生指一指數(shù)學(xué)書(shū)封面等實(shí)物的一周邊線。

小結(jié)：物體某個(gè)平面一周邊線的長(zhǎng)叫作它的周長(zhǎng)。

2.認(rèn)識(shí)平面圖形的周長(zhǎng)。

師：平面圖形也有周長(zhǎng)，這些圖形（如圖1）的周長(zhǎng)是指什么呢？誰(shuí)能指著三角形先來(lái)說(shuō)一說(shuō)呢？ 生：圍成三角形一周邊線的長(zhǎng)就是它的周長(zhǎng)。

生：三條線段的長(zhǎng)度之和就是它的周長(zhǎng)。

師：請(qǐng)你描出這些圖形的一周邊線。現(xiàn)在，你能指著圖說(shuō)一說(shuō)其他圖形的周長(zhǎng)是指什么嗎？

小結(jié)：圍成長(zhǎng)方形、正方形、梯形等四邊形的四條線段的長(zhǎng)度之和就是它們的周長(zhǎng)，圍成半圓形、不規(guī)則圖形一周邊線的長(zhǎng)就是它們的周長(zhǎng)。

師：怎樣知道這些圖形的周長(zhǎng)呢？哪些邊可以用直尺量？這些邊能用直尺量嗎？怎么辦？

生：用線圍著邊線一周，量出線的長(zhǎng)度就是曲線的長(zhǎng)。

最符合小學(xué)生的認(rèn)知方式，一是直觀，二是建立聯(lián)系，這也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生的最重要的素養(yǎng)。上述教學(xué)，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了基于直觀的多元表征過(guò)程——指一指、描一描、圍一圍、量一量、說(shuō)一說(shuō)、比劃周長(zhǎng)等。

先由實(shí)物引導(dǎo)認(rèn)識(shí)“物體某個(gè)面一周邊線的長(zhǎng)就是它的周長(zhǎng)”，既來(lái)源于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，又直觀形象地描述了周長(zhǎng)的屬性；接著通過(guò)“六個(gè)平面圖形的周長(zhǎng)各是多少”，引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)推出“多邊形各邊的長(zhǎng)度之和就是它的周長(zhǎng)”，從而深化和完善他們對(duì)周長(zhǎng)含義的認(rèn)識(shí)。這個(gè)過(guò)程幫助學(xué)生逐漸積累起周長(zhǎng)的內(nèi)在表征，而不至于再將周長(zhǎng)與周長(zhǎng)度量對(duì)象——“線”混淆起來(lái)，也豐富了學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)空間和平面圖形的認(rèn)識(shí)，使他們積累了“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了初步的空間觀念。

三、比較區(qū)分：邏輯地抽象

抽象是與具體相對(duì)應(yīng)的概念，其過(guò)程通過(guò)一系列比較、區(qū)分、舍棄和收括的思維操作而實(shí)現(xiàn)。比較，就是在思維中確定對(duì)象之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)；區(qū)分，就是把通過(guò)比較得到的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)在思維中固定下來(lái)，利用它們把對(duì)象分為不同的類(lèi)；舍棄是指在思維中不考慮對(duì)象的某些性質(zhì)；收括則是指把我們需要的對(duì)象性質(zhì)固定下來(lái)，并用詞語(yǔ)表達(dá)出來(lái)。這就形成了抽象的概念，同時(shí)也形成了表示這個(gè)概念的詞語(yǔ)，于是實(shí)現(xiàn)了一個(gè)抽象過(guò)程。就是說(shuō)，抽象概念過(guò)程也需要邏輯地分析，這樣會(huì)使概念變得更加嚴(yán)格與精準(zhǔn)。

【片段3】三上《認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)》

師：瞧，3只小甲蟲(chóng)正在玩游戲呢！先看游戲規(guī)則：每只小甲蟲(chóng)沿著樹(shù)葉的邊線跑一周，跑得符合要求的能獲得獎(jiǎng)勵(lì)。

師：這是3只小甲蟲(chóng)跑的路線（如圖2），哪只小甲蟲(chóng)能獲得獎(jiǎng)勵(lì)呢？為什么？

師：2號(hào)、3號(hào)小甲蟲(chóng)為什么沒(méi)有獲勝？

生：2號(hào)沒(méi)有跑完一周。

師：什么是一周呢？

師：從一點(diǎn)開(kāi)始，沿著邊線跑，最后又回到這一點(diǎn)，就是沿著邊線跑一周。

生：3號(hào)沒(méi)有沿著邊線跑。

【片段4】三上《認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)》

師：這個(gè)圖形（如圖3）有周長(zhǎng)嗎？

生：這個(gè)圖形不完整，沒(méi)有封閉，所以沒(méi)有周長(zhǎng)。

師：這些圖形（如圖4）有周長(zhǎng)嗎？誰(shuí)來(lái)指著圖說(shuō)一說(shuō)？

片段3是通過(guò)比較區(qū)分出一周邊線的意義，片段4同樣是通過(guò)比較區(qū)分出對(duì)平面圖形的界定，這樣的過(guò)程有助于學(xué)生找準(zhǔn)周長(zhǎng)度量對(duì)象——“線”。這是對(duì)直觀的抽象過(guò)程所呈現(xiàn)的原有認(rèn)知的補(bǔ)充，它能使學(xué)生從更高的抽象水平收括原有的認(rèn)知，包括對(duì)此作出必要的經(jīng)驗(yàn)改造或重構(gòu)。

四、靈活度量：運(yùn)用中抽象

學(xué)生在日常生活中會(huì)遇到許多客觀存在的問(wèn)題，這時(shí)就需要他們具有一定的數(shù)學(xué)敏感度，要善于從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問(wèn)題，從而獲得對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。周長(zhǎng)概念學(xué)習(xí)過(guò)程中的靈活度量，既是解決問(wèn)題的需要，也是一種對(duì)概念的反思性理解。

度量的過(guò)程如下：一是確定度量單位，再看度量對(duì)象包含多少個(gè)度量單位，度量單位的個(gè)數(shù)就是度量值的大小；二是將不規(guī)則物體轉(zhuǎn)化為規(guī)則物體來(lái)度量；三是公式計(jì)算。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，需要根據(jù)不同的情況靈活選擇方法，應(yīng)用意識(shí)的生成便是知識(shí)經(jīng)驗(yàn)形成的標(biāo)志。

【片段5】三上《長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)的計(jì)算》

1.探索長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算。

師：這個(gè)長(zhǎng)方形跑道，長(zhǎng)是28米，寬是15米，小組合作計(jì)算長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，能想出幾種不同的計(jì)算方法？哪種方法較為簡(jiǎn)便？

學(xué)生合作解決，指名板演后交流。

生：28+28+15+15=86（米），把四條線段加起來(lái)就是這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。

生：先求兩個(gè)長(zhǎng)，再求兩個(gè)寬，最后再加起來(lái)。28×2=56（米），15×2=30（米），30+56=86（米）。

生：28+16=43（米），43×2=86（米）。

師：哪種計(jì)算方法較為簡(jiǎn)便？為什么？

2.探索正方形周長(zhǎng)的計(jì)算。

師：你能計(jì)算正方形的周長(zhǎng)嗎？

獨(dú)立計(jì)算，集體校對(duì)。

生：25+25+25+25=100（米）。

生：25×4=100（米）。

師：為什么這樣計(jì)算？

生：圍成正方形四條線段的長(zhǎng)度和就是它的周長(zhǎng)。

師：你覺(jué)得哪種方法比較簡(jiǎn)便？

【片段6】三上《長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)的計(jì)算》

師：一條曲線把正方形分成了兩個(gè)圖形（如圖5），你能比較這兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)嗎？你是怎樣想的？

師：現(xiàn)在呢？（如圖6）你是怎樣想的？

片段5是引導(dǎo)學(xué)生在求解周長(zhǎng)結(jié)果的過(guò)程中進(jìn)一步反思周長(zhǎng)的含義，理解概念和概念應(yīng)用相輔相成。片段6則是有一定思維含量的變式練習(xí)，既是在比較復(fù)雜的情境中鞏固周長(zhǎng)概念的內(nèi)涵，也是在有意識(shí)地孕伏將一維的“線”與二維的“面”區(qū)分開(kāi)來(lái)，是前面直觀理解基礎(chǔ)上的提升，有助于學(xué)生根據(jù)周長(zhǎng)概念對(duì)兩個(gè)圖形之間的邏輯關(guān)系作比較直接的、形象的推斷和理解。

學(xué)習(xí)，就是從生活經(jīng)驗(yàn)運(yùn)行到科學(xué)概念的過(guò)程。教師能做的就是依據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知規(guī)律作數(shù)學(xué)化的引導(dǎo)：由知其淺到知其深，由知其然到知其所以然，由學(xué)會(huì)到會(huì)學(xué)。