圓錐曲線與平面交線問題的初等證明

演平??

摘要：研究點光源光線照射下，球體在平面上的射影圖形的形狀問題時，往往涉及圓錐曲線與平面的截線的證明，這是高中數學的重要課題。本文綜合了各種幾何知識，分析了這一問題的兩種初等解法。

關鍵詞：圓錐曲線；直角坐標法；圓錐面；極坐標法

圓錐曲線與平面的截線問題是一個老問題，本文給出兩個初等解法，旨在提供一道綜合運用解析幾何、立體幾何、平面幾何等知識，去思考分析解決數學問題的典型范例，供有興趣的老師及同學參考。

證法一：直角坐標法

設SA為圓錐面的軸，平面M為截面。以SA在平面M內的射影為x軸，頂點S在平面M內的射影O為坐標原點，在平面M內建立直角坐標系xOy（如圖1）。

圓錐面的任一條母線SP交平面M于點P（x，y）。

下面我們推導動點P的軌跡方程

作PB⊥x軸于B點，連接SB。當圓錐面及截面M給定后，圓錐母線與軸所成的角∠PSA為常數，平面M與軸SA所成的角∠SAO為常數，頂點到平面M的距離SO為常數，為敘述方便，設∠PSA=α，∠ASO=β，∠BSO=θ，∠OAS=γ，OS=h，其中β+γ=90°，α，β，γ，h為常數，θ為參數。

由圖1可知，當P在一、四象限時有|OB|=x，∠ASB=β+θ，當點P在二、三象限時有|OB|=-x，∠ASB=β-θ。下面就先點P在一、四象限時進行分析：

由立體幾何知識可知平面SAB⊥面M，PB為平面SAB的垂線，PS為其斜線，SB為PS在平面SAB內的射影，SA為該平面內的直線，由立體幾何有關結論可得cos∠PSA=cos∠PSB·cos∠ASB

即cosα=cos∠PSB·cos（β+θ）

此式兩端平方得：cos2α=cos2∠PSB·cos2（β+θ）（1）

在直角三角形SOB中，SO=h，|OB|=x，

故SB2=x2+h2

cos2θ=h2x2+h2

在直角三角形PSB中，

BP2=y2，cos2∠PSB=x2+h2x2+y2+h2（2）

cos2（β+θ）=cos2β·cos2θ+sin2βsin2θ-2cosβ·sinβ·cosθ·sinθ=（cos2β）·h2x2+h2+（sin2β）·x2x2+h2-（sin2β）·hxh2+x2（3）

將（2）（3）代入（1）有

cos2α=h2·cos2β+x2·sin2β-hxsin2βx2+y2+h2

整理可得動點P的軌跡方程為

（cos2α-sin2β）x2+hxsin2β+y2cos2α=（cos2β-cos2α）h2

如果引進角γ，方程可化為

（cos2α-cos2γ）x2+hxsin2γ+y2cos2α=（sin2γ-cos2α）h2

當點P在二、三象限時，仍然可推出以上方程，過程類似，不再贅述。

由以上方程可知：

當γ>α時，方程表示橢圓；

γ<α時，方程表示雙典線；

γ=α時，方程表示拋物線；

γ=90°時，方程表示圓。

證法二：極坐標法

情形（一）當圓錐軸與平面M相交時，如圖2。

設SA為給定圓錐面的軸，平面M為截面。當二者給定后，必存在唯一的一個球與圓錐面內切。若球心為C（必在SA上）球與平面M切于O點。SA在平面M內的射影為直線AO。在平面M內以O為極點，OA為極軸建立坐標系如圖2。設圓錐的任一條母線SP交平面M于P點，切球C于B點，則CB⊥SP，CB=CO=R（球半徑為定值），連接AP、OP。動點P的坐標設為（ρ，θ）圓錐面的軸與母線的所成的角∠CAO=γ（為常數），∠AOP=θ，OP=ρ，在直角三角形SCB中，CB=R，CS=Rsinα，SB=R·cotα，在直角三角形CAO中，CO=R，CA=Rsinγ，AO=R·cotγ。

利用△SAP和△OAP公共邊列出等量關系：

SA2+SP2-2SA·SP·cosα=OA2+OP2-2OA·OP·cosθ

將上述各量代入得

Rsinα+Rsinγ2+（ρ+R·cotα）2-2Rsinα+Rsinγ·（ρ+R·cotα）·cosα=ρ2+R2·cot2γ-2ρRcotγ·cosθ

運用三角函數知識將上式整理化簡后可得出點P的極坐標方程為

ρ=R（sinλcosα+tanα）1-cosγcosα·cosθ

情形（二）當截面M平行于圓錐的軸SA時（γ=0），圖2中的△POA不復存在，這時可按圖3進行證明：

圖3

SA為圓錐面的軸，OX為SA在平面M內的射影SA∥OX，圓錐面的任一條母線SP交截面M于點P（ρ，θ），C為內切球的球心。內切球切平面M于O點，連接CO，則CO⊥平面M，設球C切母線SP于B點，有CB⊥SP，且CB=CO=R（球半徑），PB=PO（切線長定理）過SA，SP作平面交平面M于L，則L∥OX，在平面M內作OD⊥L于D點。連接CD，則CD⊥L，作SE∥CD，四邊形CDES為矩形。

在Rt△OPD中，OP=ρ，∠DOP=θ-π2

∴PD=ρsin（θ-π2）=-ρsinθ（1）

在Rt△SCB中，∠CSB是母線與軸所成角設為α，CB=R，故有SC=Rsinα（2）

SB=R·cotα，在Rt△SPE中

∠SPE=∠CSP=α，SP=SB+BP=R·cotα+ρ

故有PE=SP·cosα=（R·cotα+ρ）（3）

將（1）（2）（3）代入PD+PE=CS中得關系式

-ρcosθ+（ρ+R·cotα）cosα=Rsinα

整理得：ρ=Rtanα1-cosθcosα

當γ=0時的情形（2）的結論也可寫成情形（1）的結論的形式。

所以平面截圓錐曲面的截線的極坐標方程為ρ=R（sinγcosα+tanα）1-cosγcosαgcosθ

如果改變觀察思考問題的角度，上述證法二的構思過程，也是下面這個生活實際問題的數學模式化的過程。實際問題是：在點光源光線照射下，球體在平面上的射影圖形的形狀問題。證法二實際上也解決了這一問題，如果點光源改為平行光線（如太陽光），可利用圓柱面的內切球，類似地解決。

作者簡介：

演平，陜西省漢中市，城固縣第二中學。endprint