函數(shù)y=1+12sinφ+12cosφ+14sinφcosφ（φ∈[0，2π]）的最值解與析

曹景恒??

摘要：函數(shù)最值是初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，求解函數(shù)最值的基本方法主要有均值不等式、縮放法、換元法及導(dǎo)數(shù)法等，但在具體針對某一函數(shù)求解時(shí)應(yīng)結(jié)合給定函數(shù)的條件進(jìn)行選擇合適的方法。本文試用幾種不同的方法求解一個(gè)三角函數(shù)的最值，并對由此得出的悖論解進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：函數(shù)最值；均值不等式；平方平均數(shù)；算術(shù)平均數(shù)；幾何平均數(shù)；換元；導(dǎo)數(shù)

有這樣一個(gè)三角函數(shù)y=1+12sinφ+12cosφ+14sinφcosφ （φ∈[0，2π]），現(xiàn)用幾種不同的方法求解它的最值。

方法1：根據(jù)算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)求解。

y=1+12sinφ+12cosφ+14sinφcosφ

≥1+sinφcosφ+14sinφcosφ

=1+12sin2φ+18sin2φ

顯然，當(dāng)φ=π4時(shí)，sin2φ=1為最大，所以該函數(shù)最小值為98+22

方法2：根據(jù)平方平均數(shù)不小于算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)求解。

y=1+12sinφ+12cosφ+14sinφcosφ

≤1+sin2φ+cos2φ2+14·sin2φ+cos2φ2

=98+22

即，該函數(shù)最大值為

ymax=98+22

方法3：用換元法求解。

令t=sinφ+cosφ，t∈[-2，2].則sinφcosφ=t2-12。

那么，函數(shù)

y=1+12sinφ+12cosφ+14sinφcosφ

=1+12t+14·t2-12

=18t2+12t+78

這是一條開口向上的拋物線，其對稱軸為

t=-b2a=-1214=-2

因此，y關(guān)于t的函數(shù)在[-2，2]區(qū)間是增函數(shù)，所以函數(shù)的最大值和最小值分別為

ymax=98+22

ymim=98-22

方法4：用導(dǎo)數(shù)思維求解。

對該函數(shù)

y=1+12sinφ+12cosφ+14sinφcosφ

求一階導(dǎo)數(shù)，有

y′=12cosφ-12sinφ+14cos2φ-14sin2φ

當(dāng)

y′=12cosφ-12sinφ+14cos2φ-14sin2φ

=（cosφ-sinφ）12+14（cosφ+sinφ）

=0

即（cosφ-sinφ）=0

亦即

φ=π4或φ=5π4

時(shí)，函數(shù)y有最值。對函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)，有

y″=-12sinφ-12cosφ-12sinφcosφ-12sinφcosφ

=-12（sinφ+cosφ）-sinφcosφ

當(dāng)φ=π4時(shí)，y″=-2+12<0，故此時(shí)函數(shù)有最大值，即

ymax=98+22

當(dāng)φ=5π4時(shí)，y″=2-12>0，故此時(shí)函數(shù)有最小值，即

ymin=98-22

綜上所述：方法1和方法2均采用均值不等式的思想，然卻得出截然不同的悖論結(jié)果，說明其中至少有一種方法不嚴(yán)謹(jǐn)甚至有錯(cuò)誤；而方法3與方法4的思維方式不同，卻達(dá)到殊途同歸的效果。

現(xiàn)就方法1和方法2出現(xiàn)悖論的原因及各種方法的嚴(yán)謹(jǐn)性作幾點(diǎn)分析：

1 均值不等式的應(yīng)用應(yīng)該注意各元素的約定條件。把算術(shù)平均數(shù)縮小為幾何平均數(shù)求最小值時(shí)，各元素都必須不小于零；把幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)放大為平方平均數(shù)求最大值時(shí)，各元素之間沒有特別的限制條件。方法1中不能保證sinφ、cosφ必須不小于零，故是一種不正確的求解方法；方法2中的變化過程不等式恒成立而不會滋生歧義，是一種可取的方法，但有局限性。

2 換元法應(yīng)用時(shí)必須注意換元前后函數(shù)定義域即自變量取值范圍的嚴(yán)密制約關(guān)系，換元后的函數(shù)定義域決定于換元前的函數(shù)定義域。方法3的換元過程是比較嚴(yán)密的，不失是一種好方法。

3 用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是最嚴(yán)密、最通用的方法。在很多情況下，在使用其他方法求解函數(shù)最值但不好鑒別結(jié)果真?zhèn)螘r(shí)，常采用對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法來進(jìn)行甄別。（指導(dǎo)教師：黃紹書）

作者簡介：

曹景恒，貴州省六盤水市，貴州六盤水市第一實(shí)驗(yàn)中學(xué)2017屆高三年級。endprint