五自由度混聯機構圓弧插補算法研究

王學雷 張 賓 徐松兵 李傳軍 吳泰羽 張春龍

(中國農業大學工學院， 北京 100083)

引言

并聯機構具有結構簡單、剛度大、承載能力大、誤差小、動態響應性能好等優點而受到人們的青睞。但因其工作空間小、靈活性差等缺點而難以拓展到更為廣闊的應用領域[1-4]。

傳統生產線上的工業機器人多采用串聯結構形式，這種拓撲結構決定了機器人在工作范圍和姿態調整上具有較高的靈活性和柔性，但該種形式的機器人多采用懸臂梁式結構形式，冗長的懸臂結構使得機器人剛度差、負載能力和動態特性相當有限，且各關節的運動誤差逐步累積并被放大，末端執行器很難達到較高的運動精度[5-8]。

混聯機構結合串聯機構和并聯機構的優點，彌補了兩者的不足而成為機構學領域的研究焦點[9-12]，最為典型的代表是瑞典NEUMANN博士發明的Tricept機器人[13]。國內學者也對五自由度混聯機構進行了廣泛研究，HUANG等[14-16 ]提出了TriVariant以及3SPR-RR五自由度混聯機構，張東勝等[17]提出了2SPR/UPR-RP五自由度混聯機構，上述混聯機構分別以具有兩轉一移的并聯機構2UPS/UP、3SPR以及2SPR/UPR為基礎，串聯一個具有兩自由度擺頭的串聯機構組成；王書森等[18]提出了一種以四自由度并聯機構2RPU/2UPS為主體，輔以一具有移動功能的直線導軌組成的五自由度混聯機構，上述五自由度混聯機構在實際生產中有著廣泛的應用。

螺旋線為空間圓弧和與該圓弧平面垂直的直線運動的合成，相比直線插補算法，圓弧插補算法復雜得多，其中傳統空間圓弧插補算法計算繁瑣，工作量大[19-20]，因此對空間圓弧插補算法的研究極其重要。

本文在結合傳統混聯機構的基礎上，設計一種由兩自由度并聯機構和三自由度串聯機構構成的新型五自由度混聯機構，并提出一種基于等弧度數據采樣的新型空間圓弧插補算法。

1 五自由度混聯機構構型

基于橡膠樹割膠軌跡要求，本文提出由兩自由度并聯機構和三自由度串聯機構構成的五自由度混聯機構，如圖1所示。

圖1 五自由度混聯機構Fig.1 5-DOF hybrid mechanism1.機座 2、8.球鉸 3、5、6.虎克鉸 9.大臂 4、7、12.電動缸 10、11、13、14、15.轉動副 16.末端執行器

圖2 兩自由度并聯機構Fig.2 2-DOF parallel mechanism

其中，兩自由度并聯機構由機座、2個結構完全相同的SPU(球副-移動副-虎克鉸)型驅動分支以及1個U(虎克鉸)型約束分支構成，可等效為2SPU+U并聯機構，其三維模型以及結構簡圖如圖2所示。通過控制2個 SPU驅動分支的長度即可實現該并聯機構位姿的調整。

三自由度串聯機構包括3個轉動自由度，可等效為RRR串聯機構。圖1中轉動副10由RPR (轉動副-移動副-轉動副) 型驅動分支驅動，該驅動分支兩端為轉動副11和13，分別與混聯機構大臂和小臂相連，增加了RRR串聯機構的剛度。

結合上述兩自由度并聯機構2SPU+U與三自由度串聯機構RRR，該五自由度混聯機構可等效為2SPU+U+RRR機構。

2 混聯機構運動學分析

由上述五自由度混聯機構結構圖可知，2個SPU型驅動分支和一個RPR驅動分支分別驅動虎克鉸3和轉動副10，將上述3個驅動分支舍去，該混聯機構便可等效為U+RRR五自由度串聯機構，如圖3所示。因此，對該混聯機構的運動學分析可簡化為對U+RRR串聯機構的分析。

圖3 U+RRR串聯機構簡圖Fig.3 Schematic diagram of U+RRR series mechanism

串聯機構的運動學分析有旋量理論[21]和D-H法[22-25]，由于D-H法可快速簡潔地求出機械臂正、逆運動學表達式，故本文采用D-H法對該U+RRR機構進行運動學分析。通過圖3可以看出該U+RRR串聯機構具有5個旋轉關節，各關節軸線之間互相垂直或平行，建立其連桿坐標系，各坐標系z軸與各關節軸線重合，如圖3所示。其D-H參數如表1所示，其中，θi為連桿i繞關節i的Zi-1軸的轉角；di為連桿i沿關節i的Zi-1軸的位移；ai為沿Xi方向上連桿i的長度；αi為連桿i兩關節軸線之間的扭角。

表1 U+RRR串聯機構D-H參數Tab.1 D-H parameters of U+RRR series mechanism

2.1 U+RRR串聯機構正向運動學分析

機器人正向運動是指給出機器人各連桿幾何參數和各關節變量，求解機器人末端執行器在固定坐標系中的位置和姿態。根據連桿坐標系之間的齊次變換關系求出該五自由度串聯機械臂相鄰關節坐標系之間的齊次變換矩陣0T1、1T2、2T3、3T4、4T5、5T6為

機械臂末端執行器相對于基坐標系之間的齊次變換矩陣0T6可表示

(1)

其中

nx=cθ5(cθ2sθ4-cθ3cθ4sθ2)-sθ2sθ3sθ5

ny=sθ5(cθ1cθ3+cθ2sθ1sθ3)-
cθ5(cθ4(cθ1sθ3-cθ2cθ3sθ1)-sθ1sθ2sθ4)
nz=sθ5(cθ3sθ1-cθ1cθ2sθ3)-
cθ5(cθ4(sθ1sθ3+cθ1cθ2cθ3)+cθ1sθ2sθ4)
ox=cθ2cθ4+cθ3sθ2sθ4
oy=sθ4(cθ1sθ3-cθ2cθ3sθ1)+cθ4sθ1sθ2
oz=sθ4(sθ1sθ3+cθ1cθ2cθ3)-cθ1cθ4sθ2
ax=sθ5(cθ2sθ4-cθ3cθ4sθ2)+cθ5sθ2sθ3
ay=-sθ5(cθ4(cθ1sθ3-cθ2cθ3sθ1)-sθ1sθ2sθ4)-
cθ5(cθ1cθ3+cθ2sθ1sθ3)
az=-sθ5(cθ4(sθ1sθ3+cθ1cθ2cθ3)+cθ1sθ2sθ4)-
cθ5(cθ3sθ1-cθ1cθ2sθ3)
px=Hsθ5(cθ2sθ4-cθ3cθ4sθ2)-a1sθ2+d1sθ2sθ3+
Hcθ5sθ2sθ3
py=a1cθ2sθ1-d1(cθ1cθ3+cθ2sθ1sθ3)-
Hsθ5(cθ4(cθ1sθ3-cθ2cθ3sθ1-sθ1sθ2sθ4))-
Hcθ5(cθ1cθ3+cθ2sθ1sθ3)pz=-d1(cθ3sθ1-cθ1cθ2sθ3)-a1cθ1cθ2-
Hsθ5(cθ4(sθ1sθ3+cθ1cθ2cθ3+cθ1sθ2sθ4))-
Hcθ5(cθ3sθ1-cθ1cθ2sθ3)

上式中，sθi=sinθi，cθi=cosθi，i=1,2，…,5。至此，該U+RRR串聯機械臂運動學正解求解完畢。

2.2 U+RRR串聯機構運動學反解分析

機器人逆運動學為正運動學的逆過程，即已知機器人末端執行器在基坐標系中的位置和姿態，求解相應的各關節變量，它是機器人運動控制和軌跡規劃的基礎，也是運動學的重要部分。本文采用解析法求解該U+RRR機械臂的逆解，求解過程如下：

(1)求解θ3

設該機械臂所期望的位姿為

0T6=0T11T22T33T44T55T6

(2)

式(3)～(5)平方相加，化簡得

(6)

即

(7)

(8)

由式 (7)、(8)可得

(9)

(2)求解θ2

由式(4)得

(10)

(11)

由式(10)、(11)可得

(12)

(3)求解θ1

由式(5)得

-Asinθ1+Bcosθ1=N

(13)

其中

N=-d1cosθ3

利用三角函數代換關系，引入中間變量r和φ，設

A=rcosφ

(14)

B=rsinφ

(15)

(16)

得

φ=Atan2(B,A)

(17)

則式 (13) 可轉換為

(18)

利用三角函數和差化積公式，式(18)可轉換為

(19)

(20)

則有

(21)

(4)求解θ4

令L=Hcosθ4sinθ5，K=Hsinθ4sinθ5，式(23)與式(22)相除，化簡得

θ4=Atan2(K,L)

(24)

(5)求解θ5

p65x=py[sinθ1(sinθ2sinθ4+cosζ2cosθ3cosθ4)-
cosθ1cosθ4sinθ3]+
px(cosθ2sinθ4-cosθ3cosθ4sinθ2)-
a1cosθ3cosθ4-pz[cosθ1(sinθ2sinθ4+
cosθ2cosθ3cosθ4)+cosθ4sinθ1sinθ3]=Hsinθ5

(25)

p65y=py(cosθ1cosθ3+cosθ2sinθ1sinθ3)+
pz(cosθ3sinθ3-cosθ1cosθ2sinθ3)+
d1-a1sinθ3-pxsinθ2sinθ3=-Hcosθ5

(26)

令W=Hsinθ5，G=-Hcosθ5，式(25)與式(26)相除，得

θ5=Atan2(W,-G)

(27)

至此，完成了對該U+RRR機械臂的逆運動學求解。

由式(9)、(12)、(21)可知，逆解θ1、θ2和θ3均存在正負2種可能解，因此該機械臂逆解具有多解性，即可以有多個位形來到達機械臂所要求的位姿，而對機械臂進行控制時，只需選擇其中一個適合的解來處理。在實際應用中，一般根據最短行程原則從多組關節角中選出機械臂的最優解。最短行程原則是指選擇與當前關節角差距最小的下一組解作為最優解，從而使兩時刻之間關節運動距離最短，以減少機器人運動過程中能量的消耗。在關節角最優解選擇過程中，一旦遇到有2個可能解，立刻應用最短行程原則進行判斷，再利用新確定的最優解根據最短行程原則確定后續關節角，以此類推，每個關節只有一組關節角是合理的。最優解的確定流程如圖4所示。

圖4 機械臂逆解唯一性確定流程圖Fig.4 Flow chart of inverse kinematics ascertain for robot arm

2.3 機械臂運動學正反解驗證

為驗證上述機械臂運動學正反解求解的正確性，設機械臂末端執行器沿一直線運動，直線的起始點、中間點和終止點坐標分別為ps=(0,-89,132)、pm=(10,-94,137)和pe=(20,-99,142)，運動過程中其末端執行器z軸姿態始終為a=(ax,ay,az)=(0,-1,0)。以機械臂在直線起始點、中間點和終止點時正反解為例，在Matlab中編寫程序對正反解正確性進行驗證，驗證流程如圖5所示。

圖5 機械臂運動學正反解驗證流程圖Fig.5 Verification flow chart of inverse/forward kinematics for robot arm

根據圖4所示流程圖求出機械臂在直線起始點、中間點和終止點時最優關節角，如表2所示。將表2中求得的3組機械臂最優關節角代入運動學正解方程式(1)中，求得機械臂末端位置和姿態，如表3所示。

表2 U+RRR 機械臂逆解求解Tab.2 Inverse kinematics of U+RRR series mechanism

表3 U+RRR機械臂正解求解Tab.3 Forward kinematics of U+RRR series mechanism

從表2和表3可以看出，表3中機械臂3組最優關節角對應的末端執行器位置和姿態與表2中機械臂3組關節角對應的位置和姿態完全一致，說明運動學正反解的正確性。

2.4 2SPU+U并聯機構運動學分析

當求出上述U+RRR串聯機械臂θ1、θ2后，通過坐標變換可求出并聯機構兩電動缸的長度與θ1、θ2的關系。

在靜平臺B0點建立固定坐標系B0X0Y0Z0與動坐標系B0uvw，X0軸與約束支鏈上虎克鉸U的固定轉動軸軸線重合，Z0軸與靜平臺垂直，Y0軸根據右手定則確定；u軸與X0軸重合，w軸沿B0A0方向，v軸根據右手法則確定，在A0點建立動坐標系A0x0y0z0，x0軸為從點A0指向點A1的方向，z0軸沿B0A0方向，y0軸根據右手法則確定，如圖2所示。初始時刻固定坐標系B0X0Y0Z0與動坐標系B0uvw重合，機構動、靜平臺平行，且θ1=0，θ2=0，動坐標系A0x0y0z0在固定坐標系B0X0Y0Z0中位置為(0,0,Z)，其中，Z為動平臺與固定平臺的初始距離。Bi(i=0,1,2)在固定坐標系B0X0Y0Z0中坐標為

(28)

點Ai(i=0,1,2)在動坐標系A0x0y0z0中位置為

(29)

設動平臺首先繞u軸旋轉θ1，然后繞v軸旋轉θ2，由于所有變換矩陣均相對運動坐標系B0uvw進行，根據“從左向右”計算原則，得相應的齊次變換矩陣為

此時，動平臺上Ai(i=0,1,2) 點在固定坐標系B0X0Y0Z0中的位置可表示為

(30)

式中TZ——初始時刻動平臺相對于固定坐標系的齊次變換矩陣

則SPU驅動分支的長度可表示為

(31)

3 空間圓弧插補算法研究

提出了一種基于等弧度數據采樣的空間圓弧插補算法，該方法對圓弧路徑進行等弧度離散分割，再對分割后的圓弧進行粗插補，不需求解圓弧所在的平面方程，也無需坐標轉換，簡化了插補算法的計算量。對于圓心角θ，需考慮0<θ≤π和π<θ<2π兩種情況。

圖6 空間圓弧插補原理Fig.6 Interpolation principle of space arc

(1)對于圓心角0<θ≤π的情況

設給定圓弧上起始點ps=(xs,ys,zs)、終止點pe=(xe,ye,ze)以及圓弧圓心p0=(x0,y0,z0)，設圓弧半徑為R，則有

lp0ps=lp0pe=R

(32)

現根據起始點ps、終止點pe以及圓心p0求取圓弧上插補點pi的位置坐標，如圖6a所示。首先從起始點ps到終止點pe對圓弧進行等弧度分割，弧長的分割精度為ΔL，由于弧長與其圓心角有關，故采取對圓心角等角度細分的方法對圓弧進行等弧度細分，根據分割弧長ΔL計算完成整個圓弧軌跡所需的插補次數n，再計算圓弧上第j個插補點的坐標pj，具體計算過程如下：

通過起始點ps和終止點pe的位置坐標可計算出弦pspe的長度L，即

(33)

根據半徑R及弦長L計算圓心到弦pspe的距離H，即

(34)

根據半徑R以及圓心角計算圓弧pspe的長度K為

K=Rθ

(35)

根據圓弧分割精度ΔL計算圓弧插補次數n為

(36)

設第j個插補點為pj，其與圓心p0的連線與弦pspe相交于點p′j，則psp′j的長度為

(37)

點p′j的坐標為

(38)

直線p0p′j的長度為

(39)

因點p0、p′j和pj共線，進而求得插補點pj的坐標為

(40)

(2)對于圓心角π<θ<2π的情況

圓弧pspe對應圓心角π<θ<2π的情況如圖6b所示，欲求圓弧pspe上的插補點pj，可延長直線psp0與圓弧交于點p′s，延長直線pep0與圓弧交于點p′e，此時，圓弧pspe被分為圓弧psp′e、圓弧p′ep′s以及圓弧p′spe，上述每段圓弧所對應的圓心角均小于π，故對每段圓弧可采用圓心角0<θ≤π對應的情況進行插補點的計算，在此不再敘述。

根據以上推導可求出每個插補點pj的位置坐標，對機器人在這些插補點的位置進行逆解計算，便可求出機器人各驅動關節所需的位移。

4 空間圓弧插補算法驗證

4.1 圓弧插補算法Matlab仿真驗證

(1) 對圓心角0<θ≤π的情況進行Matlab仿真：設圓弧的起始點、終止點和圓心坐標分別為ps=(0,-89,142)、pe=(10,-89,132)和p0=(10,-89,142)。設圓弧分割精度為ΔL=0.1 mm，在Matlab中編寫圓弧插補算法程序，繪制的圓弧軌跡如圖7a所示。

圖7 空間圓弧插補軌跡圖Fig.7 Track charts of space arc interpolation

(2) 對圓心角π<θ<2π的情況進行圓弧Matlab仿真：設圓弧的起始點、終止點和圓心坐標分別為ps=(10,-89,132)、pe=(0,-89,142)和p0=(10,-89,142)。直線psp0延長線與圓弧交點坐標為p′s=(10,-89,152)，直線pep0延長線與圓弧交點坐標為p′e=(20,-89,142)，在Matlab中編寫圓弧插補算法程序，繪制的圓弧軌跡如圖7b所示。

(3) 繪制一個整圓：取上述圓弧圓心角0<θ≤π與圓心角π<θ<2π兩種情況相同的起始點、終止點和圓心坐標點，在Matlab中編寫繪制整圓的圓弧插補算法程序，繪制的圓弧軌跡如圖7c所示。

4.2 插補算法試驗樣機驗證

為對上述圓弧插補算法進行驗證，基于提出的2SPU+U+RRR五自由度混聯機構，搭建實驗樣機，控制系統采用“運動控制卡(DSP28335) + PC機”的方法，以PC機作為上位機，運動控制卡 (DSP28335) 作為下位機，由DSP28335控制器完成控制信號的生成，采用毛筆在白紙上畫出圓弧軌跡的方法對上述圓弧插補算法進行驗證。通過TI公司提供的CCS5.5編譯軟件對該混聯機構運動控制程序進行編譯處理，實現對機構的運動控制。

通過上述圓弧插補算法可得圓弧的實時插補坐標，圖8為該混聯機構所畫的圓弧軌跡。其中，圖8a為圓弧圓心角0<θ≤π，圓弧的起始點、終止點和圓心坐標分別為ps=(0,-89,142)、pe=(10,-89,132)和p0=(10,-89,142)所對應的空間圓弧；圖8b為圓弧圓心角π<θ<2π，且圓弧的起始點、終止點和圓心坐標分別為ps=(10,-89,132)、pe=(0,-89,142)和p0=(10,-89,142)所對應的空間圓弧；圖8c為上述兩個圓弧合并成整圓。

圖8 圓弧插補實驗Fig.8 Experiment pictures of space arc interpolation

由圖8可以看出，所畫的圓弧軌跡平滑，銜接緊密，筆畫清晰，驗證了上述圓弧插補算法的正確性。

5 結論

(1)提出了一種由兩自由度并聯機構和三自由度串聯機構構成的五自由度混聯機構，其中，兩自由度并聯機構增加機構的承載能力和剛度，三自由度串聯機構增加機器人的剛度、靈活性和工作空間，相對傳統混聯機構，該機構具有更大工作空間和更高剛度。

(2)將五自由度混聯機構等效為U+RRR串聯機構，對串聯機構進行運動學正反解分析，確定了逆解唯一解的選取原則，并驗證了運動學正反解解析表達式的正確性。根據得到的虎克鉸U兩軸線轉動角度θ1、θ2，通過坐標轉換求得了兩驅動分支SPU桿長的表達式，為機構的運動控制奠定理論基礎。

(3)為滿足對工件復雜曲面的加工需要，提出了一種基于等弧度數據采樣的新型空間圓弧插補算法，該方法對圓弧路徑進行等弧度離散分割，直接在笛卡兒坐標系中進行，無需坐標轉換，簡化了插補算法的計算量，通過Matlab仿真和樣機實驗驗證了該方法的正確性。

1 MENG X D, GAO F, WU S F. Type synthesis of parallel robotic mechanisms: framework and brief review [J]. Mechanism and Machine Theory, 2014, 78: 177-186.

2 LIM H, LEE S H, SO B R, et al. Design of a new 6-DOF parallel mechanism with a suspended platform [J]. International Journal of Control, Automation, and Systems, 2015, 13(4): 942-950.

3 PLITEA N, SZILAGHYI A, PISLA D. Kinematic analysis of a new 5-DOF modular parallel robot for brachytherapy [J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 2015, 31: 70-80．

4 耿明超, 趙鐵石, 王唱, 等. 4-UPS/UPR并聯機構動力學分析 [J/OL]. 農業機械學報, 2014, 45(8): 299-306.http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?file_no=20140848&flag=1.DOI:10.6041/j.issn.1000-1298.2014.08.048.

GENG Mingchao, ZHAO Tieshi, WANG Chang, et al. 4-UPS /UPR parallel mechanism dynamic analysis [J/OL]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2014, 45(8): 299-306. (in Chinese)

5 DU X D, SHAO H K, CHEN Y J, et al. An online method for serial robot self-calibration with CMAC and UKF [J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 2016, 42: 39-48.

6 MUSTAFA A, KERIM C, SHI Z P, et al. Comparison of four different heuristic optimization algorithms for the inverse kinematics solution of a real 4-DOF serial robot manipulator [J]. Neural Computing and Applications, 2016, 27: 825-836.

7 王夢, 付鐵, 丁洪生，等. 7自由度串聯機器人運動學分析[J]. 機械設計與制造, 2016(8): 8-11.

WANG Meng, FU Tie, DING Hongsheng, et al. Kinematics analysis of a 7-DOF serial robot [J]. Machinery Design and Manufacture, 2016(8): 8-11. (in Chinese)

8 田海波, 馬宏偉, 魏娟. 串聯機器人機械臂工作空間與結構參數研究 [J/OL]. 農業機械學報, 2013, 44(4): 196-201.http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?file_no=20130434&flag=1.DOI:10.6041/j.issn.1000-1298.2013.04.034.

TIAN Haibo, MA Hongwei, WEI Juan. Workspace and structural parameters analysis for manipulator of serial robot [J/OL]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2013, 44(4): 196-201. (in Chinese)

9 LU Y, DAI Z H, YE N J. Dynamics analysis of novel hybrid robotic arm with three fingers [J]. Robotica, 2016, 34(12): 2759-2775.

10 GUO W J, LI R F, CAO C Q. Kinematics, dynamics, and control system of a new 5-degree-of-freedom hybrid robot manipulator [J]. Advances in Mechanical Engineering, 2016, 8(11): 1-19.

11 ZHOU H, QIN Y, CHEN H, et al. Structural synthesis of five-degree-of-freedom hybrid kinematics mechanism [J]. Journal of Engineering Design, 2016, 27(4-6): 390-412.

12 曹毅, 秦友蕾, 陳海, 等. 基于GF集理論的五自由度混聯機器人構型綜合[J/OL]. 農業機械學報, 2015, 46(11): 392-398. http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?file_no=20151153&flag=1. DOI: 10.6041/j.issn.1000-1298.2015.11.053.

CAO Yi, QIN Youlei, CHEN Hai, et al. Structural synthesis of 5-DOF hybrid mechanisms based on GF set [J/OL]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2015, 46(11): 392-398. (in Chinese)

13 盛東義, 趙勇, 王皓, 等. Tricept 并聯機構的彈性動力學性能[J]. 機械設計與研究, 2012, 28(6): 23-29.

SHENG Dongyi, ZHAO Yong, WANG Hao, et al. Kineto-elastic-dynamics (ked) analysis of Tricept parallel mechanism [J]. Machine Design and Research, 2012, 28(6): 23-29. (in Chinese)

14 HUANG T, LI T M, ZHAO X M, et al. Conceptual design and dimensional synthesis for a 3-DOF module of the TriVariant-a novel 5-DOF reconfigurable hybrid robot [J]. IEEE Transactions on Robotics, 2005, 21(3): 449-456．

15 LIU H T, HUANG T, ZHAO X M, et al. Optimal design of the TriVariant robot to achieve a nearly axial symmetry of kinematic performance [J]. Mechanism and Machine Theory, 2007, 42(12): 1643-1652.

16 李彬, 黃田, 張利敏, 等. 一種新型五自由度混聯機械手的概念設計及尺度綜合[J]. 中國機械工程, 2011, 22(16): 1900-1905.

LI Bin, HUANG Tian, ZHANG Limin, et al. Conceptual design and dimensional synthesis of a novel 5-DOF hybrid manipulator [J]. China Mechanical Engineering, 2011, 22(16): 1900-1905. (in Chinese)

17 張東勝, 許允斗, 趙永生, 等. 五自由度混聯機器人逆動力學分析 [J/OL]. 農業機械學報, 2017, 48(9): 384-391.http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?file_no=20170949&flag=1.DOI:10.6041/j.issn.1000-1298.2017.09.049.

ZHANG Dongsheng, XU Yundou, ZHAO Yongsheng, et al. Inverse dynamic analysis of novel 5-DOF hybrid manipulator [J/OL]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2017, 48(9): 384-391. (in Chinese)

18 王書森, 梅瑛, 李瑞琴. 新型3T2R龍門式混聯機床動力學模型[J]. 機械工程學報, 2016, 52(15): 81-90.

WANG Shusen, MEI Ying, LI Ruiqin. Solving dynamics for a novel 3T2R gantry hybrid machine tool [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2016, 52(15): 81-90. (in Chinese)

19 高宏卿, 賓鴻贊. 空間圓弧變換插補原理與算法[J]. 組合機床與自動化加工技術,1993(3): 2-6.

GAO Hongqing, Bin Hongzan. Theory and algorithm of space circular are transformation interpolation [J]. Modular Machine Tool and Automatic Manufacturing Technique, 1993(3): 2-6. (in Chinese)

20 王忠平, 田作華. 基于矢量的DDA 空間圓弧插補算法[J]. 機械設計與制造, 2007(9): 164-165.

WANG Zhongping, TIAN Zuohua. DDA 3D circular interpolation based on vector [J]. Machinery Design and Manufacture, 2007(9): 164-165. (in Chinese)

21 李盛前, 謝小鵬. 基于旋量理論和Sylvester 結式法的6 自由度機器人逆運動學求解分析[J]. 農業工程學報, 2015, 31(20): 48-54.

LI Shengqian, XIE Xiaopeng. Analysis of inverse kinematic solution for 6R robot based on screw theory and Sylvester resultant [J]. Transactions of the CSAE, 2015, 31(20): 48-54. (in Chinese)

22 李國利, 姬長英, 顧寶興, 等. 多末端蘋果采摘機器人機械手運動學分析與試驗[J/OL].農業機械學報,2016,47(12):14-29. http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?file_no=20161203&flag=1.DOI:10.6041/j.issn.1000-1298.2016.12.003.

LI Guoli, JI Changying, GU Baoxing, et al. Kinematics analysis and experiment of apple harvesting robot manipulator with multiple end-effectors [J/OL]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2016, 47(12): 14-29. (in Chinese)

23 高藝, 馬國慶, 于正林, 等. 一種六自由度工業機器人運動學分析及三維可視化仿真[J].中國機械工程, 2016, 27(13): 1726-1731.

GAO Yi, MA Guoqing, YU Zhenglin, et al. Kinematics analysis of an 6-DOF industrial and 3D visualization simulation [J]. China Mechanical Engineering, 2016, 27(13): 1726-1731. (in Chinese)

24 黃真, 趙永生, 趙鐵石. 高等空間機構學[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.

25 熊有倫. 機器人技術基礎[M]. 武漢: 華中科技大學出版社, 2011.