極限集中關于無切線段的分析

陳成 徐芳 石麗莉

【摘 要】通過對自治系統軌線極限集和自治系統無切線段的分析，得到軌線與該軌線極限集中點的關系。為了尋找軌線與此極限集中任意點的關系，首先根據極限集具體情況（極限集中是否只有奇點），將所研究問題劃分為兩種情況進行討論。根據軌線是否經過該軌線極限集，找到在每一種情況下軌線或者屬于極限集或者無限趨近于極限集中的點。對軌線極限集含有常點的軌線而言，經過該軌線極限集任意常點，必然存在自治系統一條無切線段或者與該軌線有可列個交點或者軌線經過極限集的常點。

【關鍵詞】自治系統；軌線；極限集

中圖分類號： O175.12 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）27-0127-003

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.27.057

【Abstract】By analyzing the limit set of autonomous system trajectories and the non tangent segment of autonomous system，the relationship between the trajectory and the limit point of the trajectory is obtained.In order to find the relationship between the trajectories and the limit points，first of all，according to the specific conditions of the limit set （is there only a singularity in the limit concentration），the research problems are divided into two cases.According to whether the track line passes the limit set of the trajectory，we found the track line either belong to a limit set or infinitely close to a point of the limit set.Further discussion is concerned with the trajectories of the limit set with constant points.Through the limit set of the trajectories arbitrary points，a regular point of an autonomous system that has a non tangent line segment or an intersection with the track or the track line passes the limit set.

【Key words】Autonomous system；Trajectory；Limit set

0 引言

19世紀末，龐加萊開始了常微分方程定性理論的研究，當時，他主要研究穩定性、周期軌道的存在及回歸性等問題，創立了動力系統這一分支。隨后，美國、巴西、蘇聯和法國等諸多學者極大推動了動力系統的發展，經過一系列理論研究，他們獲得了遍歷性定理（G.D.伯克霍夫得到的）[13]、Α.Α.馬爾可夫總結伯克霍夫理論、高維系統的LaSalle不變引理[4]、平面系統著名的Poincare-Bendixson定理[2～4]和低維類梯度（或者Morse-Smale）動力系統是穩定的（雅各布.帕里斯（Jacob Palis）提出的）等一系列結果，這些結論是與極限集密不可分。

前面結論大部分用到了本文相關結論，但未作具體闡述與證明，本文深入進行分析并給予了詳盡的證明。本文分析軌線與此極限集點的關系，得到軌線與此極限集的相交情況。再得到軌線必然與經過此軌線極限中的常點某一條軌線有無窮可列個交點，或者經過極限集的此常點。本文的證明過程中結合微積分與幾何學知識，更顯形象與清晰。

2 預備知識

對于[5]給定的平面自治系統

性質2[4]若在相空間內自治系統（1）的任何兩條不同的軌線不可能相交。

4 結論

自治系統的軌線與其相應極限集中點的關系，文中不僅做了具體的說明，還給予了詳細證明，為今后利用相關知識進行自治系統的理論研究與實際運用提供了理論基礎。而文中的定理二，具體討論極限集中常點所做的無切線段與此軌線的相交情況，為軌線的性質、軌線結構以及軌線與極限集關系的進一步研究提供了理論基礎。文中第二個定理的證明，是從空間解析幾何與微積分的角度加以證明，為今后相似問題的證明提供了新的思路和方法。

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