求逆矩陣的一般方法與補充

黃翔 汪春華

【摘 要】逆矩陣是線性代數課程的核心內容之一，本文介紹了幾種求矩陣的逆矩陣方法，并做了比較和應用，能夠幫助學習者更加全面的認識逆矩陣這一重要概念。

【關鍵詞】矩陣；逆矩陣；分塊矩陣；初等變換

中圖分類號： O151.2 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）27-0110-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.27.049

【Abstract】Inverse matrix is one of the core contents of linear algebra course.This paper introduces several methods to find inverse matrix of matrix，and makes comparison and application.This paper can help learners comprehensively understand the important concept of inverse matrix more.

【Key words】Matrix；Inverse matrix；Partitioned matrix；Elementary transformation

在大學教育許多專業學習中，線性代數課程是其專業必修基礎課之一。通過本門課程的學習可以使學生系統掌握矩陣及線性方程組理論，了解n維向量空間，熟悉二次型理論，并能解決一些實際問題，培養學生獨特的代數思維模式及邏輯推理能力。逆矩陣知識在線性代數課程中地位十分重要，與其它知識點聯系緊密，它幾乎貫穿線性代數課程學習的始終。下面主要介紹求逆矩陣的一般方法，并給出逆矩陣求法的補充。

1 利用定義法

對于n階矩陣A，如果存在一個n階矩陣B，使得AB=BA=E，則稱矩陣A為可逆矩陣，而矩陣B稱為A的逆矩陣[1]。

例1已知A3=0，求證A-E可逆。

即A-E可逆，且（A-E）-1=-（A2+A+E2）。本題可以推廣成已知An=0，求證A±E或者E±A的可逆。

2 利用待定系數法

假設n階矩陣B存在，且B是一個含未知參數的矩陣，根據矩陣的定義，利用矩陣乘法法則與矩陣相等的條件，用方程組解出參數，從而得出矩陣B。此方法計算較復雜，不再贅述。

3 利用伴隨矩陣法

4 分塊矩陣法

將大矩陣A分成若干個小矩陣，雖然把矩陣A與B中的子塊當成數量一樣對待，但是分塊矩陣的乘法運算AB，A的列的劃分必須與B的行的劃分一致。因此分塊矩陣求逆矩陣適合高階矩陣求逆矩陣。

如果A、B、可逆，有一般式[2]

這個公式復雜，記憶難度大，可以記住它的以下幾種特殊情形

以上分塊矩陣求逆公式在求逆計算時可以直接使用，簡化計算過程。

5 初等變換法

定理2[1]n階矩陣A可逆的充要條件是A可以表示為若干初等矩陣的乘積。如果A可逆，則A-1也可逆。即存在初等矩陣G1，G2，…，Gk，使得A-1=G1G2…Gk，A-1A=G1G2…GkA，即E=G1G2…GkA……（1）

（1）式表示對A施以若干次初等行變換可化為E；（2）式表示對E施以相同的若干次初等行變換可化為A-1。

定理3若用一系列初等行、列變換將可逆矩陣A化成單位矩陣E，則必存在可逆矩陣Q和矩P，使得A-1=QP。其中，矩陣Q是由單位矩陣E實施初等列變換得到的，矩陣P是由單位矩陣E實施初等行變換得到的[3]。

6 向量法

將矩陣A化成向量組形式，對A施以初等行變換，使其化成單位矩陣，向量矩陣也施以相同的初等行變換。例如上例中

還有一些其他求逆矩陣的方法，例如特征多項式法等等，利用以上幾種方法都可以求出一個可逆矩陣的逆矩陣，定義法在抽象矩陣求逆時用起來方便，初等行（列）變換法、分塊矩陣法在求具體矩陣逆矩陣時用起來更加簡單且不容易出錯。

【參考文獻】

[1]吳贛昌.線性代數（醫藥類第二版）[M].中國人民大學出版社，2012.

[2]李一博，等.矩陣求逆基本方法的注記與補充[J].高等函授學報（自然科學版），2010，06，34-36.

[3]北京大學數學系，幾何與代數教研室代數小組編，高等代數[M]，第三版，高等教育出版社，2003.

[4]肖瀅.逆矩陣的判定及計算方法[J].高等數學研究，2016，07，72-76.

[5]杜曉寧，等.求逆矩陣的方法總結[J].佳木斯職業學院學報，2017，04，252-253.