Airy光纖:基于陣列波導耦合的光場調控方法?

趙浩宇 鄧洪昌 苑立波

1)(桂林電子科技大學電子工程與自動化學院,桂林 541004)

2)(哈爾濱工程大學理學院,哈爾濱 150001)

Zhao Hao-Yu2)Deng Hong-Chang1)2)Yuan Li-Bo1)?

1)(Photonics Research Center,Guilin University of Electronics Technology,Guilin 541004,China)

2)(Key Laboratory of In-Fiber Integrated Optics,Ministry of Education,College of Science,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

1 引 言

無衍射光束,顧名思義是一種在傳輸過程中光波包絡保持不變、沒有衍射展寬過程的光束.由于此類光束在傳輸方向上任意垂直切面的光強分布始終保持相同無畸變,且能量強度高度局域化,所以自Durnin等推導發現以來[1?3],引起了研究者廣泛關注.1979年,Berry和Balazs[4]以及Unnikrishnan和Rau[5]從薛定諤方程方程出發,成功求解出具有Airy函數形式的波包絡解析解,從理論上證明了Airy光束的無衍射特性.

2007年,Siviloglou等[6,7]首次從理論和實驗上得到了有限能量的Airy光束.自此,關于Airy光束研究開始加速,且不斷展現出其非凡的特質,拓展了其應用空間.比如一些研究者使用其進行光俘獲或導引[8?11],近場成像[12]、利用自由加速特性形成的自聚焦光斑進行微加工[13?15]、在大氣中形成等離子通道[16]、激發曲線型表面等離子激元[17?19].在實驗中,有限能量Airy光束一般可以采用高斯光束通過立方相位的調制,再經過傅里葉透鏡實現.生成Airy光束的方法有很多,比如使用空間光調制器[7,20]、相位模板[16]、非線性光子晶體[21]、表面金屬光柵結構等[22].我們則采用陣列光波導的光耦合來實現對輸入高斯光場的強度和相位調控,從而生成Airy光束[23?31],此方法展示了一種新型的Airy光束產生技術,且由于光纖體積小巧、可集成高等特性,極具潛在應用價值.

本文從Airy光束原理出發,介紹了Airy光束的獨特性質;討論如何使用光纖構造Airy光場;詳細闡述了基于陣列波導耦合機理能夠實現光場的轉換與重構的原理,以及高斯光場與Airy光場之間相互轉換的能量特性和相位特性;并解釋了基于Airy光纖的出射光場橫向加速的彩虹效應,最后對Airy光纖潛在應用進行了簡略的評述.

2 Airy光束

我們從二維有限能量Airy光束出發,其輸入光場表示如下:

這樣,有限能量的二維艾里光束在空間中的傳輸光場就可表示為

這里,Ai(sm)為艾里函數,ξx=z/kx20和ξy=z/ky20表示歸一化傳輸距離,sx=?x/x0和sy=?y/y0為無量綱橫向坐標,x0和y0為歸一化坐標,am＞0是截斷孔徑函數,而vm與光束的初始入射角度θm相關[32],

圖1(a)給出了有限能量艾里光束在z=0時的光強分布情況.從圖中可看出,有限能量艾里光束非對稱,且能量分布重心偏向光束主瓣.對比圖1(b)和圖1(c),可以發現高斯光束在直線傳輸過程中且發生衍射,而有限能量艾里光束的擴散則非常緩慢并且其傳輸路徑總是朝著固定方向彎曲,因此有限能量艾里光束傳輸具有近似無衍射性,其傳輸的路徑如同粒子在重力場中做拋物運動的軌跡，因此得名為“自由加速”.

圖2(a)—(d)所示為只保留L型主邊帶情況下的二維有限能量Airy光束在自由空間XY平面的傳輸情況.主瓣位置在對角線上移動,L型主邊帶內部出現與二維Airy光束類似的內部旁瓣,即傳輸過程中能量發生轉移并趨于還原成原有光束的形態.這種特性即Airy光纖第三大特性——自愈性.

3 Airy光纖結構設計

圖1 二維有限能量Airy光束 (a)入射場振幅分布;(b)在自由空間中的傳輸圖;(c)對應高斯光束的傳輸圖(圖中R為自定義坐標軸,該軸的方位角為225°)Fig.1.2D finite energy Airy beam:(a)The amplitude distribution at the initial plane;(b)side view of the propagation dynamic of the truncated 2D Airy beam;(c)the propagation distribution of the corresponding Gaussion beam.R is the 225°axis in cartesian coordinate system.

圖2 二維有限能量Airy光束自愈特性示意 (a)—(d)L形主邊帶光場傳輸Fig.2.The self-healing property of the truncated 2D Airy beam:(a)–(d)The propagation dynamic of the Airy beam without internal lobes in free space.

圖3 二維Airy光纖設計 (a)二維有限能量Airy光束L型主邊帶光場;(b)二維Airy光纖示意圖;(c)沿坐標軸排布的纖芯陣列;(d)沿坐標軸的纖芯陣列折射率分布Fig.3.Design for 2D Airy fiber:(a)The truncated 2D Airy beam without internal lobes;(b)2D Airy fiber;(c)array-core distribution along X-axis(or Y-axis);(d)refractive index pro file of array-core along X-axis(or Y-axis).

由于自愈性的存在,形態非完備的L型主邊帶光場(見圖3(a))可以近似理想的有限能量Airy光束,從這個特點出發,利用陣列芯光纖的纖芯光場來替代L型邊帶的主旁瓣,從而形成類Airy光束就成為可能.需要注意的是,由于遠離中央主瓣的旁瓣能量逐漸減少至0,越遠的旁瓣對光束性質的影響越小且幾乎可忽略不計,因此用數量有限的纖芯替代主旁瓣理論上是可行的,這里我們使用9芯光纖來進行設計近似.如圖3(b)所示,纖芯由兩組相互垂直(X向和Y向)的纖芯陣列組成,且每組纖芯的大小、空間排布都如圖3(c)所示滿足或近似滿足Airy函數.向中央纖芯輸入光纖基模LP01或高斯光或后,如圖3(d)所示,由于纖芯陣列折射率保持非均勻排布,光能量會從低折射率部耦合到高折射率部,從而讓每個纖芯傳輸一部分能量進而形成L型邊帶光場.

圖4(a)所示為波長980 nm情況下在9.7 mm長的二維Airy光纖橫截端面處的光場分布.其出射光場幾何分布近似圖3(a)所示的二維有限能量Airy光束L型主邊帶光場,纖芯能量幅度同樣近似Airy函數主旁瓣幅度大小.而出射光場在傳輸過程中,主瓣在R對角線方向進行自由加速偏轉,且逐漸自愈形成多個容易區分的內部旁瓣(見圖4(b)),充分體現了Airy光束的三大特性,也證明了使用陣列芯光纖生成的類Airy光束的可靠性.

圖4 二維Airy光纖光場特性示意 (a)波長為980 nm時Airy光纖9.7 mm橫截端面處出射光場;(b)出射光場在自由空間的傳輸示意Fig.4.The characteristics of the optical field for 2D Airy fiber:(a)The transversal output field from the end face of 9 mm Airy fiber at wavelength 980 nm;(b)the propagation dynamics of the output beam in free space in R direction.

4 Airy光纖內部光束生成機理

首先,我們采用超模理論來分析光波在Airy光纖中的傳輸[29?31]. 在二維陣列芯Airy光纖(圖3(b))中,光波在波導之間的耦合可表示為下面的耦合方程:

把(5)式轉化為其矩陣形式得

當向纖芯1(中央主芯)輸入高斯光時,激發出纖芯基模LP01.由(9)式可求得各個超模的復振幅′i:

其中,A0=[1,0,···,0]為1×9的初始條件矩陣.由(10)式和(11)式就可得到在整個纖芯陣列傳輸的總電場:

通過(12)式就可計算出在Airy光纖二維陣列纖芯中光波的傳輸光場和各個纖芯的功率耦合曲線,如圖5(a)和圖5(b)所示.從圖中可以發現,當Airy光纖中央主芯輸入高斯光場時,光能量會逐漸耦合到外側纖芯中,并且耦合到更外側纖芯中的能量依次減少.這種陣列纖芯的耦合也呈現周期性,如圖5(b)所示,其耦合周期T0為3.74 mm.圖5(c)給出了在一個耦合周期內,光纖在不同長度Z=(3.5+m/6)T0時的輸出光場分布,其中m為?3—3的整數,它們分別對應的光纖長度記作ZA到ZK.在前半周期內,即光纖長度從ZA到ZF時,光能量從中央主芯1耦合到側芯(纖芯2—5或纖芯2′—5′)中,并且在ZF處得到最接近于理想的Airy光場,這樣通過陣列波導的光場振幅和相位的調控就實現了高斯光場與Airy光場的轉化;同樣,在后半周期內,即光纖長度從ZF到ZK時,光能量又從側芯耦合到主芯,并在ZK處得到了高斯光場,這樣Airy光場又轉化為高斯光場.因此,當采用高斯光場激發Airy光纖時,我們就可以分別用(2m?1)T0/2和mT0長的Airy光纖實現Airy光場和高斯光場的轉化.

如上所述,Airy光纖可以實現周期性的高斯光場與Airy光場的轉換,那么這種轉換的具體機理是怎樣的呢？下面我們采用在Airy光纖陣列波導中傳輸的超模耦合來分析這一轉換機理.

圖5 在二維陣列波導芯Airy光纖中光波的傳輸 (a)在XZ平面上的光場強度分布;(b)陣列纖芯各個纖芯傳輸光能量耦合曲線;(c)在纖芯1光功率耦合曲線上標記的點A到點K所對應的光纖橫截面光場分布Fig.5.Wave propagation in Airy fiber:(a)Intensity pattern in the XZ plane;(b)the normalized power curves of arrayed cores as a function of fiber length;(c)intensity snapshots taken at planes as marked in light power curve of core 1.

由(10)和(11)式可以分別計算出在Airy光纖中傳輸的九個超模光場的振幅分布(見圖6(a1)—(a9))以及對應的模式傳輸常數(參見圖6中用“?”表示的曲線).從圖中可看出,由于Airy光纖陣列波導獨特的折射率分布特性(見圖3(d)),使得低階超模能量主要分布在折射率較高的外側纖芯中,而高階超模能量則主要分布在折射率較低的中央纖芯及其鄰近纖芯中.然而,由于采用了中央主芯的高斯光場激發,因此并不是所有9個超模都被激發,只有振幅分布關于X1軸(45°)方向對稱分布的超模被激發,它們主要對應于模式數為3,5,7和9的超模(參見圖6(b)中用“□”表示的曲線).其中,模式9占所有激發超模總能量的80%以上.從(12)式中可看出,當輸入激勵光場為高斯光場時,在Airy光纖輸入端(Z=0)上超模光場的總光場即為高斯光場;而當Airy光纖長度為Z=mT0時,經過計算發現,超模傳輸的光程都為2π的整數倍,也就是,因此,此時的橫向總光場仍為高斯光場當Airy光纖長度為Z=(2m?1)T0/2時,我們發現四個主要激發超模的相位差恰好為π,如圖6(c)所示.這樣就通過Airy光纖的波導耦合同時實現了對輸入高斯光場的Airy強度和Airy相位的調制,輸出類Airy光場,如圖7(a)和圖7(b)所示.同理想Airy光場類似,該輸出光場不但滿足Airy強度分布,并且其相鄰光瓣之間的相位差為π,和激發超模的相位差相符(見圖6(c)和圖7(b)).

圖6 Airy光纖的超模特性(a1)—(a9)分別對應于九個超模的振幅分布;(b)超模的振幅a′i和傳輸常數β′i曲線;(c)在Z=(2m?1)T/2處四個激發超模對于的相位分布Fig.6.The supermodes of Airy fiber:(a1)–(a9)Amplitude distributions of nine supermodes;(b)the amplitude a′iand the propagation coefficient β′ias a function of mode number i;(c)phases of four excited supermodes at Z=(2m?1)T0/2.

圖7 Airy光纖輸出光場特性 (a)在ZF=13.09 mm(3.5T)處Airy光纖輸出橫截面光場強度分布;(b)在X或Y軸上的強度(實線)和相位(虛線)分布曲線Fig.7.The intensity and phase properties of the output beam from Airy fiber:(a)The transverse intensity pattern of the output beam from ZD=13.09 mm(3.5T0)length of the Airy fiber;(b)the corresponding intensity and phase distributions along X-aixs(or Y-aixs).

5 光場橫向加速的彩虹效應(波長響應)

在實驗中,有限能量Airy光束一般通過對高斯光束的立方相位調制和傅里葉透鏡變換實現,并且可以通過沿著垂直于光軸的方向平移傅里葉透鏡來增加額外的初始相位,從而改變Airy光束的自由加速傳輸路徑[32].由(1)式可知,Airy光束的初始附加相位可表示為

而Km=?vm/m0則表示附加相位Δφ關于x或者y的斜率.這樣(4)式可變形為

利用(14)式,可通過Airy光束的初始附加相位的斜率K來計算出光束的初始入射角θ.當有限能量Airy光束的入射角分別為0和5 mrad時,它們的相位分布曲線分布如圖8(a)中的實線和短劃線所示.它們的相位之差是由入射角引起的額外附加相位Δφ,見圖8(a)中的點線.由(14)式可知,利用附加相位Δφ的直線斜率就可求得此時的光束入射角:

(15)式的計算結果與實際相符.因此,通過這種方法,只要知道Airy光纖出射場的相位分布情況,就可以計算出光束的初始入射角,從而對出射光束的自由加速能力進行評估.從圖8(b)中可看出,三束波長分別為970,980和990 nm,而初始入射角都為0的二維有限能量Airy光束在傳輸過程中,其光束主瓣的偏移量曲線幾乎無法分開.然而,如果把980 nm波長的Airy光束的初始入射角變為5 mrad,其主瓣的偏移量曲線則明顯地和其他曲線分離開.這說明初始入射角對理想二維有限能量Airy光束的自由加速影響巨大;初始入射角度越大,光束的偏移越明顯,自由加速的能力越強.但光束波長的微小變化則對自由加速能力影響甚微.在陣列芯Airy光纖中,光波長的變化對其出射的近似Airy光場則表現出不一樣的性質.

圖8 一維有限能量Airy光纖的自由加速特性 (a)入射角分別為和5 mrad的光束的初始相位及其相位差曲線;(b)不同波長下光束主瓣隨傳輸距離的偏移量變化曲線(插圖為局部視圖)Fig.8. Self acceleration of 2D Airy finite energy beam:(a)Phase distributions of two truncated Airy beams with different initial launch angle θm=0 and θm=5 mrad,the dotted line depicts the phase difference Δ? of the two beams;(b)the parabolic trajectories of main lobes of the truncated Airy beams with different wavelengths,the enlarged image is shown in the inset.

當二維Airy光纖長度為9.7 mm時,圖9給出了它在光波長為990,980和970 nm時的輸出光場及其在自由空間中相應的傳輸圖.除了輸出光場的旁瓣能量都隨著光波長的減小而出現明顯的降低(見圖9(a)—(c)),準Airy光場各個光瓣(特別是旁瓣或內部光瓣)在傳輸過程中的振幅衰減也明顯增大(見圖9(d)—(f)),“無衍射”能力也隨之減弱.另外可以很明顯地觀察到光束朝著225°方向彎曲傳輸,且970 nm情況下的彎曲程度大一些.下面從Airy光纖出射的準Airy光場的相位分布特性出發來分析這些問題.

圖9 二維Airy光纖出射光場的自由加速 (a)—(c)分別為在光波長為990,980和970 nm下Airy光纖的出射光場;(d)—(f)為對應在自由空間RZ平面上的傳輸光場Fig.9.The amplitude pro files of output beams from 2D Airy fiber with different incident wavelength:(a)λ=990 nm;(b)λ=980 nm;(c)λ=970 nm;(d),(c),(f)are corresponding to wave propagation of(a)–(c)along the 255°axis in free space,respectively.

圖10(a)分別給出了在波長為990,980和970 nm時二維Airy光纖出射的準Airy光場相位曲線.圖中點劃線表示初始入射角為零的理想有限能量Airy光場的相位分布,其相位分布在π和2π之間周期變化.而準Airy光場的相位分布近似于立方相位分布,它們與理想Airy光場的相位差如圖10(b).從圖中可看出,光波長的不同導致Airy光纖出射的準Airy光場與理想Airy光場的相位差曲線產生分離,離中央主瓣越遠(即是X,Y越大)的旁瓣相位差曲線分得越開.因此隨著波長的改變,相位差曲線的變化趨勢也發生相應變化,如圖10(c)所示.這樣,就得到了二維Airy光纖輸出的準Airy光場相對于理想Airy光束的相位變化趨勢.由(14)式可知,通過這些相位變化趨勢直線的斜率就可求得Airy光纖輸出的準Airy光場的等效初始入射角.對于二維Airy光纖的出射光場,在波長為990,980和970 nm時的相位變化趨勢直線的斜率分別為:?0.0196,?0.0478和?0.0888,如圖10(c)所示.這樣,利用(14)式就可計算出相應的準Airy光場的初始入射角為3.1,7.5和13.7 mrad.

通過以上的分析可以發現,隨著光波長的減小,Airy光纖出射的準Airy光場的初始入射角在增加.由此可以判斷,隨著光波長的減小,準Airy光場的自由加速特性在加強.如圖11所示,準Airy光場的主瓣偏移量曲線隨著光波長的不同而出現明顯的分離,而偏移量的大小則體現了自由加速特性的強弱.當輸入到光纖的光波長增加時,其輸出的準Airy光束在傳輸過程中的偏移量減小,圖中的結果顯然與圖9的分析結果符合.

圖10 不同波長下二維Airy光纖的出射光場相位分布特性 (a)—(c)分別為出射場的相位分布、與理想Airy光束的相位差分布及其相位差變化趨勢Fig.10.The phase characteristic of output beam from Airy fibers in different wavelength:(a)The real phase distributions of output beam,the dash-dot line depicts the phase pro file of the ideal Airy beam;(b)the additional phase of three output beams compared to ideal truncated Airy beam;(c)is corresponding to linear fitting curves of(b).

如果向陣列芯Airy光纖輸入一窄帶光源的話,那么其出射光場在傳輸過程中會出現“色散”,在光束拋物線形傳輸路徑上,短波因其具有較強的自由加速能力而處于內側,而長波因自由加速特性較弱而處于外側.這與因陽光射到空中接近球形的小水滴造成色散及反射而成的彩虹現象類似,因此我們把這種波長響應特性稱為彩虹效應.在實驗中,改變理想有限能量二維Airy光束的傳輸路徑(改變自由加速特性)的常用方法是通過平移傅里葉透鏡來實現,而這里則利用陣列芯Airy光纖對光波長的調制來實現.這種波長調制異常敏感,可以到達納米量級.從圖中可以看出,光波長相差10 nm就可造成陣列芯Airy光纖出射光場的偏移量曲線的明顯差異.

圖11 在不同波長時兩種陣列芯Airy光纖出射光場的主瓣隨傳輸距離偏移量的變化(插圖為彩虹示意圖)Fig.11.De flection of main lobes of output beams from the Airy fibers as a function of propagation distance in free space.

圖12 不同波長下環形Airy光纖輸出光束在自由空間中傳輸的Z軸光強分布[31]Fig.12.Intensity curve of output beam from annularcore Airy fiber along Z-axis[31].

其他種類的Airy光纖具有類似的波長響應特性,比如環形Airy光纖出射光束在不同波長下其自聚焦點在Z軸上會產生偏移,但其強度幾乎沒有變化(如圖12所示).這種光束橫向偏移量隨著入射波長變化而改變的特性為Airy光纖所特有,也為Airy光纖在不同領域的實際應用提供了多種可能.

6 Airy光纖的潛在應用

近年來,因為理論的逐漸完善,Airy光束的應用也得到了極大發展.由于光纖的優良特性,Airy光纖也得到了很多研究者的關注.如圖13所示,Guan等[22]將單模光纖表面鍍上金膜,并將部分金膜制成陣列光柵結構,光纖出射光只從第一個凹槽狹縫中出射并激發表面等離子波,因為凹槽陣列符合Airy結構,因此解耦出射光會形成極微小的準Airy光束,可廣泛應用于光俘獲、光束整形、光纖器件集成當中.

圖13 光纖式等離子Airy光束生成器 (a)和(b)為金膜微結構光纖的橫截面顯微圖;(c)不同傳輸距離光強監測圖Fig.13.All- fiber Airy-like beam generator:(a)and(b)Scanning electron microscope images of the nanostructured gold-coated optical fiber facet;(c)images pro files at different distances.

巴斯大學的Gris-Sánchez等[33]則介紹了一種可以出射Airy斑模式的光纖,他們從原理函數出發,對每一個旁瓣進行模場函數的近似,從而合并形成近似的最佳模場匹配并由此獲得實際光纖折射率分布,為實際制備Airy光束或其他新型光束光纖提供了新方法,光纖在波長1550 nm的情況下,衰減為11.0 dB/km,可應用到天文光信號長程傳輸領域.

使用二維Airy光束[13]和環形Airy光束可以進行材料微加工.如圖15(a)所示,環形Airy光束匯聚后會形成貝塞爾光束,使得焦點附近為一個高強度的“長條”,并且不會很快彌散,利用該焦點強聚焦的性質可以進行大縱深的材料打孔.Airy光纖無疑擁有類似的應用前景,比如環形Airy光纖所出射的準環形Airy光束的焦點性質即與此類似.如圖15(b)所示,在本文提及的光學下其焦點位置光強非常尖銳,歸一化光強為入射光的6倍以上,增大環形纖芯的直徑或者增加環形纖芯的數量都可以進一步增強聚焦能力,并且由于光纖的易集成性使得加工裝置更加微型化.

圖14 Airy斑生成光纖 (a)光纖橫截面顯微圖;(b)光纖中的Airy斑模場近場圖像Fig.14.The Airy disc fiber:(a)Optical micrograph of the Airy disc fiber;(b)measured near- field image of the output of the fiber when trying to excite the Airy mode.

圖15 環形Airy光束材料的微加工應用 (a)材料微加工實驗裝置[15];(b)環形Airy光束焦點位置光強Fig.15.Materials processing by using abruptly autofocusing beam:(a)Experimental setup[15];(b)the transverse intensity pro file of focus of annular Airy fiber.

若將Airy光束用作光鑷,其散射力可驅動微粒獲得沿光束傳輸方向上的動量.如圖16所示[34],Airy光束在無衍射傳輸段其主旁瓣涇渭分明,處于路徑上的微粒會彎曲傳輸.所以一些研究者將其應用在微粒引導[9]、路徑清掃[35],粒子分選等[36]方面,在生物化學、醫療領域有很好的前景.而Airy光纖可生成微小的Airy光束,同樣可以實現以上功能,且理論上并無顯微視場即操作范圍的限制,可實現觀測與微操裝置的分離.

圖16 Airy場下微粒傳輸示意Fig.16.The guiding effect of an Airy beam.

近幾年還有報道Airy光束被應用改善顯微鏡近場成像分辨率[12]、產生和操控Airy型金屬表面等離子體激元等[17?19]領域,逐漸呈現出完善Airy光束理論發展的同時,應用更加多樣化、專業化的特點.且Airy型波包并不局限于光學、微波、聲波、超聲波、電子波等多領域,結合Airy光纖技術與這些領域建立有機聯系,同樣具有非常大的應用潛力.

7 結 語

本文從Airy光束的理論出發介紹了多種Airy光纖設計原理及其結構特點;基于耦合模理論討論了光纖中傳輸場特點以及Airy場轉換重構的原理;重點討論了Airy光纖對波長的響應特點;對比Airy光束的實際研究意義,介紹了Airy光纖潛在的應用范圍.我們認為:可生成準Airy光束的Airy光纖不僅可擁有Airy光束的多數已知優點,更因為本身光纖的易操控易集成等特點進一步地拓展了Airy光束的應用范圍,使得此新型光束有了更大的發展前景.現階段我們的工作主要體現在構造新型Airy光束及其生成機理方面,而研究復雜環境對Airy光纖的影響——比如力場、溫度場、聲場等多種感知量對Airy光場的影響——探索光纖傳感方面的多重應用,會成為以后研究工作的重點之一.

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