應變疲勞試驗中小梁剛度損傷模型研究

丁 彪，鄭傳超，彭子馨，陳團結

(1.中交第一公路勘察設計研究院有限公司，陜西 西安 710075；2.長安大學 公路學院，陜西 西安 710064；3.西安西北民航項目管理公司，陜西 西安 710065)

瀝青混合料的疲勞損傷與多種因素相關，如材料因素、控制方式、荷載大小、試驗方法、加載波形等[1-2]。國內外學者從不同的角度研究了瀝青混合料的疲勞損傷機理，針對不同的研究對象，提出了相應的疲勞損傷模型，使得瀝青混合料的疲勞損傷的認識不斷的深化[3- 6]。然而學者們關注的重點是瀝青混合料的疲勞壽命與以上各因素之間的關系，很少去探究試件在疲勞試驗過程中結構力學性能的變化。另外，現有瀝青路面設計規范把路面結構層層底拉應力作為控制指標具有一定的局限性，其主要考慮了車輪荷載作用下路面結構底部的拉應力，忽視了路表疲勞對面層開裂的影響，導致了部分研究者認為路面疲勞是由結構層層底往上逐漸擴展。因此，筆者基于瀝青混合料四點彎曲疲勞試驗，建立了相應的力學模型，分析了不同的加載波形情況下小梁的剛度變化狀況，模擬了路面結構層由上下兩邊往中間發展和由下往上擴展的情況。

1 瀝青混合料疲勞試驗加載波形

1.1 加載波形

車輪在路面上滾動是不斷加載和卸載的過程，在計算過程中，一般將這種周期變化的形式用波來表示，在疲勞試驗中小梁的荷載波形有3種形式，即正弦波、半正弦波和半正矢波[7]。對應的表達式和圖形分別如式(1)和圖1。

F(t)=Asinωt

F(t)=A·|sinωt|

(1)

式中：A為振幅；ω=2πf，f為頻率。

圖1 正弦波、半正弦波、半正矢波示意Fig.1 Schematic of sine wave, half sinewave and haversine wave

假設小梁截面下部受拉時所受的荷載為正，由圖1可見，在正弦荷載作用的一個周期內，小梁經過加載-卸載-加載-卸載4個階段，前半個周期內，小梁截面下部受拉，上部受壓，而后半個周期內小梁截面的上部受拉，下部受壓，并且兩者是對稱的。對于半正弦波和半正矢波，在一個周期內，小梁的荷載變化經過兩個階段，即加載-卸載，此時，小梁的下部始終處于受拉狀態，而上部始終處于受壓狀態。

由以上分析可知，小梁的損傷與所選用的加載波形是密切相關的，當小梁為均質材料時，采用正弦波進行加載，小梁的疲勞損傷由梁的上下截面同時向中性軸位置擴展；當采用半正矢波或者半正弦波進行加載時，損傷會由梁的下部向上擴展。

1.2 不同加載波形對應的路面受力狀態

疲勞試驗中的加載波形需要與路面實際受力狀態相對應，車輪荷載作用下路面受力狀態如圖2。由圖2可見，當車輪行駛至B點時，路表A點、C點和車輪正下方的D點產生拉應力，車輪下方的路表B點為壓應力；當車輪向C點方向行駛時，路表C點處由受拉狀態變為受壓狀態，整個過程可以用正弦波來描述；在車輪荷載用下，當路表處產生的拉應力較小，即當圖2中的A點和C點處的應力趨于0時，可以不考慮其影響，即認為路面從層底開始受重復拉應力作用而破壞，該過程可以假設為半正弦波和半正矢波。

圖2 車輪荷載作用下路面受力狀態Fig.2 Stress state of pavement under wheel load

2 瀝青混合料剛度損傷模型

2.1 損傷模型的建立

為了模擬四點彎曲小梁疲勞試驗，筆者設計一個簡支梁模型，小梁的長度為L, 寬度為b, 高度為h，見圖3，且假設小梁是均質的。

圖3 應變疲勞小梁荷載Fig.3 Load on the small beam in strain fatigue test

由第1節的分析可知，小梁的損傷擴展有兩種形式，在正弦波作用下，截面的損傷由兩側向中性軸位置擴展(圖4)，在半正弦波和半正矢波作用下，截面的損傷由下部向上擴展(圖5)。

圖4 損傷由截面上下兩側向中性軸位置擴展Fig.4 Damage developing from the upper and lower sides of the cross-section to the neutral axis

圖5 損傷由截面下側向上擴展Fig.5 Damage extending from lower sides of the section to the upper sides

其中z為中性軸位置，hn為截面中性軸到截面上表面的距離，h0為損傷區域的高度，當h0/h=0時，表示截面未損傷，當h0/h=1時，表示截面完全損傷。

2.2 疲勞試驗終止條件

在應變疲勞試驗中，一般認為小梁截面的終止勁度與初始勁度減小到一定的比值時即認為小梁截面破壞，勁度在循環荷載作用下衰變規律如圖6。

圖6 小梁勁度在循環荷載作用下的衰變規律Fig.6 Attenuation rule of small beam stiffness under cyclic loading

本研究中假設E0為終止勁度，E為初始勁度，考察E0/E為不同的比值時，損傷的擴展對截面剛度的影響。

2.3 小梁剛度

材料力學中，小梁的截面彎曲剛度以EI來表示，由彈性均質梁的撓曲線微分方程導出[8]：

EI=M/(1/ρ)=M/φ

(2)

式中：M為跨中最大彎矩；ρ為截面曲率半徑；φ為截面曲率。

3 小梁相對剛度變化分析

3.1 損傷由上下兩邊往中間擴展時截面相對剛度變化分析

小梁的總高度為h，假設損傷由上下兩側向中間擴展時是對稱的，則中性軸位置不變。

由圖4及式(1)可得：

則截面損傷后的剛度為

相對剛度為

截面相對剛度隨損傷擴展的變化規律如圖7。

圖7 損傷由上下兩邊向中間發展時截面相對剛度變化Fig.7 Variation of the relative stiffness of the cross-section when the damage develops from the upper and lower sides to the middle

3.2 損傷由截面下側往上擴展時截面的相對剛度變化分析

當小梁截面的損傷由下側往上擴展時(圖5)，小梁截面的中性軸位置也會隨之不斷變化，由小梁截面合力為0的條件得：

整理后得小梁的中性軸位置：

為了便于分析，中性軸與截面上表面的距離采用hn/h來表示，中性軸位置隨損傷擴展時的變化規律見圖8。

圖8 損傷由小梁截面下側往上發展時截面中性軸位置的變化Fig.8 Variation of the neutral axis position of the cross-section when damage develops from the lowers sides to the upper sides

由式(2)得：

則截面損傷后的剛度：

截面相對剛度隨損傷擴展的變化規律如圖9。

圖9 損傷由小梁下表面往上發展時截面相對剛度變化Fig.9 Variation of the relative stiffness of the cross-section when the damage develops from the lower sides to the upper sides

由圖8可見，當損傷由小梁的下表面向上逐漸擴展時，小梁中性軸與上表面的距離hn從初始的0.5h先減小然后再增大，最后中性軸又回到0.5h處，在整個變化過程中，hn存在一個極小值，當E0/E越小時，極小值越小，并且出現極值點的位置相對較晚。

由圖9可見，小梁截面剛度的變化大致可以分為3個階段：①小梁的剛度下降較大；②小梁的剛度變化較為平緩；③小梁的剛度下降幅度又有所變大，并且E0/E越大，第2階段越明顯。

4 損傷沿截面線性擴展時小梁截面的相對剛度變化分析

以上所討論的損傷是完全的，即認為損傷區域內部各處的損傷都達到了小梁的終止勁度后才會繼續發展。而實際小梁的損傷區域內部的損傷嚴重程度有可能是不同步的，即首先損傷的部位最先達到小梁的終止勁度，而后損傷部位的勁度會大些，在本節中假設損傷區域的勁度是線性變化的，分別如圖10和圖11。

圖10 損傷由上下兩邊向中間發展Fig.10 Damage developing from the upper and lower sides of the section to the middle

圖11 損傷由小梁截面下側向上發展Fig.11 Damage developing from the lower sides to the upper sides of the cross-section of the small beam

4.1 損傷由兩側往中間擴展時截面相對剛度變化

由圖10所示，損傷由上下兩側往中性軸擴展，模量在上下兩邊最小為E0，沿著損傷區域向內部逐漸增大，到h0/2處為E，在損傷區域，縱坐標y處的模量為

由式(2)得：

則剛度為

截面相對剛度隨損傷擴展的變化規律如圖12。

圖12 損傷由上下向中間發展時截面相對剛度變化Fig.12 Variation of the relative stiffness of the cross-section when the damage develops from the upper and lower sides to the middle

4.2 損傷由截面下側往上擴展時截面的相對剛度變化

由截面合力為0的條件得

整理后得小梁的中性軸位置：

中性軸位置隨損傷擴展時的變化規律見圖13。

圖13 損傷由小梁下表面往上發展時截面中性軸位置的變化Fig.13 Variation of the neutral axis position of the cross-section when the damage develops from the lower sides to the upper sides of the small beam

由式(1)和式(2)得

則截面的剛度為

截面的相對剛度隨損傷擴展的規律見圖14。

圖14 損傷由小梁下表面往上發展時截面相對剛度的變化Fig.14 Variation of the relative stiffness of the cross-section when the damage develops from the lower sides to the upper sides of the small beam

由圖13可見，隨著損傷的擴展，小梁中性軸與截面上表面的距離hn由0.5h先減小然后再增加；同3.2節，中性軸在變化過程中會出現一個極小值，E0/E越小，則極小值越小；并且當整個截面都損傷后，E0/E越小，中性軸距離截面上表面的距離越近。

由圖14可見，截面的剛度會隨著損傷的擴展而逐漸增大，E0/E越小，則剛度下降的幅度越大。

5 結 論

瀝青混合料的損傷變化規律與加載采用的波形相關，在正弦波作用下，小梁的損傷由上下截面同時向中性軸位置發展，而在半正矢波或半正弦波荷載作用下，小梁的損傷由截面下側向上擴展?；跉W拉公式理論，筆者建立了相應理論模型對以上兩種情況進行探討，得出了以下結論：

1)在正弦波作用下，小梁的相對剛度在初始階段下降較快，而后期下降速度較慢。

2)在半正弦波或者半正矢波作用下，小梁的中性軸與截面上表面的距離hn由初始的0.5h逐漸減小，當達到一定的值時，又逐漸加大，最后又返回到0.5h處。

3)在半正弦波或者半正矢波作用下，小梁的相對剛度下降分為3個階段，首先下降較快，隨后進入穩定變化階段，最后小梁的剛度又會有所下降。

4)分析了損傷沿截面線性擴展時截面的相對剛度變化，當損傷由兩側向中間擴展時，小梁的相對剛度在初期下降較快，隨后變緩；當損傷由截面下側往上擴展時，小梁的中性軸與截面上側的距離hn由初始的0.5h先減小后增大，截面的相對剛度變化在初始階段下降較大，隨后逐漸變緩，最后下降幅度又會增加。

[1] 張肖寧，尹應梅，鄒桂蓮.不同空隙率瀝青混合料的粘彈性能[J].中國公路學報，2010, 23(4): 1- 6.

ZHANG Xiaoning, YIN Yingmei, ZOU Guilian. Viscoelastic performance of asphalt mixture with different void contents[J].ChinaJournalofHighwayandTransport, 2010, 23(4): 1- 6.

[2] 許志鴻，李淑明，高英，等.瀝青混合料疲勞性能研究[J].交通運輸工程學報，2001,1(1): 20-24.

XU Zhihong, LI Shuming, GAO Ying, et al. Research on fatigue characteristic of asphalt mixture[J].JournalofTrafficandTransportationEngineering, 2001, 1(1): 20-24.

[3] 謝軍，郭忠印.瀝青混合料疲勞響應模型試驗研究[J].公路交通科技，2007，24(5)：21-25.

XIE Jun, GUO Zhongyin. Research on fatigue model of asphalt mixtures[J].JournalofHighwayandTransportationResearchandDevelopment, 2007, 24(5): 21-25.

[4] 關宏興，張起森，鄭健龍. 瀝青混合料粘彈性疲勞損傷模型研究[J].力學與實踐，2007，29(2):50-53.

GUAN Hongxin, ZHANG Qisen, ZHENG Jianlong. Viscoelastic fatigue damage model of bituminous mixture[J].MechanicsinEngineering, 2007, 29(2): 50-53.

[5] 鄭健龍，呂松濤. 瀝青混合料非線性疲勞損傷模型[J]. 中國公路學報，2009,22(5)：21-28.

ZHENG Jianlong, LV Songtao. Nolinear fatigue damage model for asphalt mixtures[J].ChinaJournalofHighwayandTransport, 2009, 22(5): 21-28.

[6] 關宏興. 瀝青混合料粘彈性疲勞損傷性能研究[D].長沙：中南大學，2005.

GUAN Hongxin.AResearchonViscoelasticFatigueDamageModelofAsphaltMixture[D]. Changsha: Central South University, 2005.

[7] 王旭東. 瀝青路面材料動力特性與動態參數[M]. 北京：人民交通出版社，2001.

WANG Xudong.DynamicCharacteristicsandDynamicParametersofAsphaltPavementMaterials[M]. Beijing: China Communications Press, 2001.

[8] 孫訓方，方孝淑，關來泰. 材料力學[M]. 北京：高等教育出版社，2006

SUN Xunfang, FANG Xiaoshu, GUAN Laitai.MaterialsMechanics[M]. Beijing: Higher Education Press, 2006.