鉛酸電池剩余放電時間預(yù)測模型與求解

彭亞發(fā)

（浙江安防職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程系，浙江 溫州 325016）

0 引 言

鉛酸電池被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、軍事、日常生活中。鉛酸電池經(jīng)過長時間使用或放置，充滿電后的荷電狀態(tài)會發(fā)生衰減，要準確預(yù)測電池在當前負荷下以當前電流強度放電到最低保護電壓的剩余放電時間非常困難。針對鉛酸電池的剩余放電時間預(yù)測，學(xué)者開展了諸多研究。如李勃等采用Levenberg-Marquardt優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，進行模糊分類及自適應(yīng)求解，并預(yù)測電池在斷電狀態(tài)下的供電時間[1]。王宏亮等就鉛酸電池剩余放電時間建立了改進的卡爾曼濾波算法，并結(jié)合該算法提出基于雙卡爾曼濾波的鉛酸電池SOC估算方法[2]。總體上看，這些方法都

有一定的局限性。為了準確預(yù)測鉛酸電池剩余放電時間，在不考慮鉛酸電池的自放電，即鉛酸電池在不工作時存在放電現(xiàn)象，以及鉛酸電池工作環(huán)境不變，即不考慮環(huán)境對鉛酸電池影響的情況下，繪制以固定電流放電時的放電曲線，針對放電的不同階段，分析其中的放電規(guī)律，選取不同初等函數(shù)對放電曲線進行擬合，最后計算出不同初等函數(shù)擬合放電曲線的平均相對誤差（MRE），擇優(yōu)得到電壓隨放電時間的最佳擬合曲線。

1 鉛酸電池放電曲線規(guī)律分析

為了分析鉛酸電池放電曲線規(guī)律，在選用初等函數(shù)對鉛酸電池放電曲線進行描述時，先根據(jù)電壓隨時間變化值，分別繪制放電曲線，分析放電曲線規(guī)律。通過對鉛酸電池固定電流為20A時的放電情況進行實證分析，將放電曲線劃分為放電初期、中期和末期三個階段，最后借助MRE值的計算方法，對鉛酸電池放電曲線進行分階段和整體擬合，并對擬合結(jié)果加以分析，以期準確分析鉛酸電池放電規(guī)律。

1.1 MRE值的計算方法

設(shè)n, n, n分別代表三個階段所測電壓樣本點總123數(shù)，先按比例分配，即放電初期應(yīng)選取樣本點個數(shù)電中期選取樣本點個數(shù)為：p=2電末期選取樣本點個數(shù)若某一階段存在p＜ n(i=1, 2, 3)，則p=n。剩下213-ninipn個應(yīng)選采樣點，按照相同方法進行分配。

MRE計算公式為：

其中，Z為根據(jù)模型得到的預(yù)測剩余放電時間，Z'為對應(yīng)實際測量的剩余放電時間，n為樣本點個數(shù)。

通過以上方法對20～100A的固定電流放電曲線進行分階段和整體擬合，計算出MRE值（見表1）。

由表1可知，對鉛酸電池放電曲線進行分段處理得到的MRE值要小于整體處理的MRE值，即分段處理模型的精度比整體擬合更高。

1.2 放電規(guī)律分析

鉛酸電池放電規(guī)律主要對其固定電流20A時放電曲線的擬合進行實證分析。通過MATLAB工具箱計算得到鉛酸電池放電初期不同擬合函數(shù)的MRE值（見表2）。

表1 鉛酸電池放電曲線擬合MRE值

表2 鉛酸電池放電初期不同擬合函數(shù)的MRE值

由表2可知，采用四種函數(shù)對鉛酸電池固定電流20A時放電初期曲線進行擬合時，擬合效果最好的函數(shù)為：

f (x) = a0+ a1cos(ωx)+ b1sin(ωx)

鉛酸電池以固定20A電流放電初期曲線擬合為：

f (x)=5.76+46.29cos(-8.947x)-79.88sin(-8.947x)

其中，x為放電時間，f (x)為當前時刻鉛酸電池的端電壓。鉛酸電池固定電流20A時放電初期擬合曲線與實際曲線的比較如圖1所示。

由圖1可看出，初期擬合效果并不好，主要原因可能在放電初期鉛酸電池電壓不穩(wěn)定，由于鉛酸電池自身原因造成放電電壓驟減之后又出現(xiàn)回升。

圖1 鉛酸電池固定電流20A時放電初期擬合曲線與實際曲線的比較

鉛酸電池固定電流20A時放電中期曲線擬合為：

f (x) = -63.43x3+494.5x2+6337x-4.707×104

其對應(yīng)的MRE值為0.022 6。鉛酸電池固定電流20A時放電中期擬合曲線與實際曲線的比較如圖2所示。

圖2 鉛酸電池固定電流20A時放電中期擬合曲線與實際曲線的比較

由圖2可看出，對比圖1，圖2的擬合效果顯著提高，鉛酸電池在放電中期擬合曲線與實際曲線吻合度較高，主要原因可能是，經(jīng)過放電初期的調(diào)整，鉛酸電池在放電中期電壓不再表現(xiàn)出驟增驟減的現(xiàn)象。

鉛酸電池固定電流20A時放電末期曲線擬合為：

f (x) = 1415x2-2.581×104+1.214×105

其對應(yīng)的MRE值為0.000 05。鉛酸電池固定電流20A時放電末期擬合曲線與實際曲線的比較如圖3所示。

圖3 鉛酸電池固定電流20A時放電末期擬合曲線與實際曲線的比較

由圖3可看出，對比圖1和圖2，圖3的擬合效果最好，主要原因是經(jīng)過放電中期放電，鉛酸電池電壓下降，在放電末期急速下降，該時段數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)簡單，因而具有較好的擬合效果。

2 預(yù)測模型比較分析

為了對比鉛酸電池剩余放電時間預(yù)測模型的效果，主要對鉛酸電池放電進行初等函數(shù)的整體描述精度，比較預(yù)測模型的擬合效果。通過f (x) = -1343+2.402×104-1.036×105函數(shù)進行擬合，對應(yīng)的MRE值為0.049 4。鉛酸電池固定電流20A時放電整體擬合曲線與實際曲線的比較如圖4所示。

圖4 鉛酸電池固定電流20A時放電整體擬合曲線與實際曲線的比較

由圖4可看出，以固定電流20A時放電整體擬合效果并不理想，尤其是放電初期和放電末期的擬合相差較大。

2.1 基于初等函數(shù)擬合的放電時間預(yù)測模型

根據(jù)得到的放電曲線模型，可對鉛酸電池剩余放電時間進行預(yù)測。電壓為9.8V時剩余放電時間的預(yù)測值見表3。

表3 電壓為9.8V時剩余放電時間的預(yù)測值

首先對鉛酸電池放電曲線規(guī)律進行分析，然后針對不同階段進行分段擬合，在擬合中選取不同的初等函數(shù)，利用MRE得到最佳擬合函數(shù)，根據(jù)得到的最佳擬合函數(shù)對不同放電電流進行放電剩余時間預(yù)測[3]。

2.2 基于組合預(yù)測的任意電流放電曲線預(yù)測模型

（1）鉛酸電池端電壓與放電電路曲線分析。求解任意電流的放電電壓曲線，分析相同時間不同鉛酸電池以不同電流進行放電時電壓隨電流變化的曲線，如圖5所示。

由圖5可看出，在放電初期，電壓隨放電電流的增加而增加，之后隨著放電電流的增大，放電電壓逐步減小，在放電中期和放電末期，鉛酸電池端電壓隨放電電流的增大而減小[4]。電壓隨電流的變化比較單一，沒有放電曲線中出現(xiàn)的驟增和驟減，初等函數(shù)基本可滿足圖5各曲線的描述。

圖5 鉛酸電池端電壓隨電流變化的曲線

（2）基于多項式擬合的任意電流的放電電壓預(yù)測模型。由于在同一時刻，只有20～100A 9個數(shù)據(jù)點，因而采用最簡單的二次多項式對其進行擬合。鉛酸電池放電起始時（0 min）各電流對應(yīng)的電壓見表4。

表4 鉛酸電池放電起始時各電流對應(yīng)端電壓

利用MATLAB工具箱擬合得到，表4的關(guān)系式為：

V = 0.0058I2-0.0454I +11.17

其中，I為電流，V為電壓。由此可計算0時刻鉛酸電池固定電流55A時放電對應(yīng)端電壓為：11.085 V。同理，可計算其他時刻。鉛酸電池固定電流55A時放電對應(yīng)端電壓見表5。

表5 鉛酸電池固定電流55A時放電對應(yīng)端電壓

鉛酸電池固定電流55A時放電曲線如圖6所示。

由圖6可看出，利用多項式擬合求解得到鉛酸電池固定電流55A時放電曲線很不平滑，主要因為電流采樣點只有20～10A，導(dǎo)致二次多項式精度不高。在實際測量中，電壓應(yīng)是光滑的曲線。

圖6 鉛酸電池固定電流55A時放電曲線

在得到鉛酸電池固定電流55A時放電電流的電壓時間序列后，就可對放電曲線進行分段擬合，從而最終得到擬合方程為：

鉛酸電池固定電流55A時放電曲線擬合MER值見表6。

表6 鉛酸電池固定電流55A時放電曲線擬合MER值

至此，通過擬合方程可得到該時刻任意電流所對應(yīng)的電壓值，由此可得到鉛酸電池以任意電流的放電曲線。

3 模型的建立與求解

3.1 模型的建立

考慮因變量Y與自變量X的建模問題。偏最小二乘回歸的基本方法是：首先在自變量中提出第一成分t1，t1是x1, x2, …, xm的線性組合，且盡可能多地提取原自變量集的變異信息。同時在因變量中也提取第一成分u1，并要求t1與u1相關(guān)程度達到最大。然后建立因變量y與t1的回歸，如果回歸方程已達到滿意的精度，則算法中止；否則繼續(xù)第二對成分的提取，直到達到滿意的精度為止。若最終對自變量集提取r個成分t1, t2, …, tr，偏最小二乘回歸將通過建立y與t1,t2, …, tr的回歸式，然后再表示為y與原自變量的回歸方程式，即偏最小二乘回歸方程式[5]。

為了方便起見，因變量組和自變量組的標準化觀測數(shù)據(jù)陣分別記為F0, E0，即：

偏最小二乘回歸模型建立的具體步驟如下：

（1）分別提取兩變量組的第一對成分，并使之相關(guān)性達到最大。假設(shè)從兩組變量分別提出第一對成分為t1, u1，t1是自變量集x1, x2, …, xm的線性組合：t1=合：u1=Y。為了回歸分析的需要，由兩組變量集的標準化觀測數(shù)據(jù)陣E0, F0，可計算第一對成分的得分

（2）建立y對t1的回歸及x1, x2, …, x5對t1的回歸。假定回歸模型為：

其中，α1=(α11, α12, α13, …, α1m)T, β1=(β11, β12, β13,…, β19)T分別是多對一的回歸模型中的參數(shù)向量，E1,F1是殘差陣。回歸系數(shù)向量α1, β1的最小二乘估計為：

其中，α1, β1為模型效應(yīng)負荷量。

（3）用殘差陣E1, F1代替E0, F0，重復(fù)以上步驟。標準化觀測數(shù)據(jù)陣E的秩為r≤min(n-1, m)，則存在 r個成分t1, t2, …, tr，使得

把tk=wkx1+…+wkmxm(k=1, 2, …, r)代入Y=t1β1+…+trβr，即得到因變量的偏最小二乘回歸方程式。

3.2 模型的求解

不同主成分下保留因變量的信息變化如圖7所示。

由圖7可看出，當主成分選取4個時，主成分保留了99.99%的因變量信息。

圖7 偏最小二乘回歸主成分的選取

由此，最終得到鉛酸電池在衰減狀態(tài)3的放電時間表達式為：

t3=881.9385-84.4118V+0.3652T+0.4272t1-0.2372t2

其中，V為鉛酸電池端電壓，T為新電池放電時間，t1, t2分別為鉛酸電池在衰減狀態(tài)1和衰減狀態(tài)2的放電時間。

通過擬合方程可得到鉛酸電池在衰減狀態(tài)3的放電曲線，如圖8所示。

圖8 鉛酸電池在衰減狀態(tài)3的放電曲線

通過回歸方程可得到當電壓為9V時的時刻為第829min，即從當前時刻第596min后經(jīng)過233min鉛酸電池放電完畢，電壓下降到9V，因而鉛酸電池在衰減狀態(tài)3還可使用233min。

至此，建立以衰減狀態(tài)3的放電時間為因變量，以鉛酸電池電壓、衰減狀態(tài)1、衰減狀態(tài)2的放電時間為自變量的偏最小二乘多元線性回歸模型，求解得到鉛酸電池在衰減狀態(tài)3的剩余放電時間。

3.3 模型的優(yōu)勢

一是依據(jù)放電規(guī)律將鉛酸電池固定電流時放電過程劃分為初期、中期和末期三個階段。對放電曲線分階段建立基于初等函數(shù)擬合的預(yù)測模型，并采用MRE檢驗多種初等函數(shù)的擬合精度，同時也直接對放電曲線進行擬合。在得到放電曲線擬合方程后，便可計算剩余放電時間，模型根據(jù)鉛酸電池放電規(guī)律對放電曲線進行分段處理，提高了預(yù)測精度。二是對在相同時刻鉛酸電池電壓與電流的關(guān)系進行分析，并對這一關(guān)系進行多項式擬合，即可得到該時刻任意電流所對應(yīng)的電壓。在獲取一系列電壓值后，利用所建立的模型，對放電曲線進行初等函數(shù)擬合。在求解任意電流的電壓時，直接采用多項式進行擬合，操作方便簡單。綜合考慮鉛酸電池衰減對剩余放電時間的影響，鉛酸電池在三種衰減狀態(tài)下的放電時間與鉛酸電池的電壓均有關(guān)系，因而通過模型比較建立的偏最小二乘多元線性回歸模型更加直觀。

4 結(jié)束語

本文建立的偏最小二乘多元線性回歸模型在擬合和預(yù)測精度上都較傳統(tǒng)方法有明顯的優(yōu)勢。利用分階段建立基于初等函數(shù)擬合的預(yù)測，并采用MRE檢驗多種初等函數(shù)的擬合精度的方法，讓預(yù)測模型更加直觀，且易于實現(xiàn)計算機編程。該模型的算法還能用于各類衰減現(xiàn)象的預(yù)測，后續(xù)將借助該模型應(yīng)用于其他衰減的預(yù)測中，從而實現(xiàn)模型的推廣價值。

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