群觀點下的線性代數(shù)教學(xué)探究

齊蓮敏

【摘 要】本文通過給出線性代數(shù)課程中幾類矩陣與群的關(guān)系、向量與群的關(guān)系、線性方程組的解與群的關(guān)系，說明在開放教育線性代數(shù)課程的教學(xué)工作中，在群的觀點下把握與進(jìn)行教學(xué)，更有利于提高教學(xué)質(zhì)量。

【關(guān)鍵詞】群;矩陣;向量;線性方程組

線性代數(shù)課程是開放教育專、本科理工類各專業(yè)學(xué)員的一門必修的重要基礎(chǔ)理論課。線性代數(shù)與現(xiàn)代科技高度融合，它廣泛應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域，尤其是計算機(jī)日益發(fā)展和普及的今天。因此，提高線性代數(shù)課程的面授課教學(xué)及網(wǎng)上教學(xué)質(zhì)量是實現(xiàn)開放教育基本目標(biāo)的重要內(nèi)容，也是提升開放教育學(xué)員科學(xué)文化素質(zhì)的重要途徑。

一、預(yù)備知識

一般說來，群指的是對于某一種運(yùn)算*，滿足以下四個條件的集合G：

1.封閉性

若a，b∈G，則存在唯一確定的c∈G，使得a*b=c;

2.結(jié)合律成立

任意a，b，c∈G，有（a*b）*c=a*（b*c）;

3.單位元存在

存在e∈G，對任意a∈G，滿足a*e=e*a=a，稱e為單位元，也稱幺元;

4.逆元存在

任意a∈G，存在唯一確定的b∈G，a*b=b*a=e（單位元），則稱a與b互為逆元素，簡稱逆元，記作a^（-1）=b。

通常稱G上的二元運(yùn)算*為“乘法”，稱a*b為a與b的積，并簡寫為ab。

若群G中元素個數(shù)是有限的，則G稱為有限群。否則稱為無限群。有限群的元素個數(shù)稱為有限群的階。

二、群觀點下線性代數(shù)教學(xué)探究

（一）群觀點下矩陣的教學(xué)探究

矩陣是線性代數(shù)中的重要概念，矩陣的類型紛繁復(fù)雜、難以理清，但是采用群的觀點可以很好地把握。

例1.考察m×n的矩陣構(gòu)成的集合：

兩個m×n的矩陣相加是m×n的矩陣，即m×n的矩陣對于矩陣的加法封閉;

若A、B、C是m×n的矩陣，則A+（B+C）=（A+B）+C，即m×n的矩陣對矩陣的加法滿足結(jié)合律;

對任意m×n的矩陣A，有m×n的零矩陣0使得：A+0=0+A=A，即m×n的矩陣中存在單位元;

對任意矩陣A，有-A使得A+（-A）=0，即m×n的矩陣中每個矩陣都有逆元。

綜合以上四條可知：m×n的矩陣對于矩陣的加法構(gòu)成群。

例2.考察n階可逆方陣構(gòu)成的集合：

兩個n階可逆方陣相乘仍是n階可逆方陣，即n階可逆方陣對于矩陣的乘法封閉;

若A、B、C為n階方陣，則A×（B×C）=（A×B）×C，即n階方陣對于矩陣的乘法滿足結(jié)合律;

對任意n階可逆方陣A，有n階方陣單位陣E使得：A×E=E×A=A，即n階可逆方陣中存在單位元E;

對任意n階可逆方陣A，有A■使得A×A■=E，即n階可逆方陣中每個方陣都有逆元。

綜合以上四條可知：n階可逆方陣對于矩陣的乘法構(gòu)成群。

由例1和例2可以推出：n階可逆方陣對于矩陣的加法與乘法這兩種運(yùn)算構(gòu)成環(huán)。

例3.考查n階數(shù)量陣kE（k≠0）構(gòu)成的集合：

設(shè)A、B是兩個n階數(shù)量陣，且A=kE，B=hE，則AB=（kh）E，即n階數(shù)量陣對于矩陣的乘法封閉;

設(shè)A、B、C為n階數(shù)量陣，且A=kE，B=hE，C=mE，則（AB）C=（khm）E=A（BC），即n階數(shù)量陣對矩陣的乘法滿足結(jié)合律;

對任意n階數(shù)量陣kE，有E（kE）=（kE）E=kE，所以E是單位元;

對任意一個n階數(shù)量陣kE，有k■E使得（kE）（k■E）=（kk■）E=E，所以每個數(shù)量陣kE都有逆元k■E。

由以上四條可知：n階數(shù)量陣對矩陣的乘法構(gòu)成群。

例4.考查n階對角陣構(gòu)成的集合：

它對矩陣的加法封閉;對矩陣的加法滿足結(jié)合律;單位元是n階零矩陣;每個對角陣A都有逆元-A。因此，n階對角陣對于矩陣的加法構(gòu)成群。

同理可得：n階可逆對角陣對于矩陣的乘法構(gòu)成群。其中單位元為n階單位陣E;任意n階可逆對角陣都有逆元（主對角線上的元素取倒數(shù)）。

所以n階可逆對角陣對于矩陣的加法、矩陣的乘法這兩種運(yùn)算構(gòu)成環(huán)。

（二）群觀點下的向量教學(xué)探究

線性代數(shù)（Linear Algebra）是數(shù)學(xué)的一個分支，它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要課題;因而，向量的教學(xué)在線性代數(shù)教學(xué)中占至關(guān)重要的位置。

例5.考察n維向量α構(gòu)成的集合：

因為N維向量α對于向量的加法封閉;

對向量的加法滿足結(jié)合律;

單位元是n維零向量;

每個n維向量都有逆元-α存在。

所以，n維向量對向量的加法構(gòu)成群。

例6.考察n維向量組成的線性相關(guān)的向量組構(gòu)成的集合G：

此集合的元素是線性相關(guān)的向量組，算法是指添加，

即：當(dāng)組1={α■，α■，…，α■}，組2={β■，β■，…，β■}時，存在不全為0的數(shù)L■，L■，…，L■使得L■α■+L■α■+…+L■α■=0;存在不全為0的數(shù)k■，k■，…，k■使得k■β■+k■β■+…+k■β■=0;

那么，存在不全為0的數(shù)L■，L■，…，L■，k■，k■，…，k■使得L■α■+L■α■+…+L■α■+k■β■+k■β■+…+k■β■=0;

所以，組1+組2={α■，α■，…，α■，β■，β■，…，β■}∈G，也就是說，G對于“添加”封閉。

顯然，G對于這種運(yùn)算也滿足結(jié)合律。

由以上兩條可知：G對于“添加”構(gòu)成半群。

（三）群觀點下的線性方程組教學(xué)探究

例7.齊次線性方程組AX=0的解集合：

齊次線性方程組AX=0的解集合對于解向量的加法封閉。因為Aα=0，Aβ=0，必有A（α+β）=0;

AX=0的解集合對于解向量的加法滿足結(jié)合律。因為Aα=0，Aβ=0，Aγ=0，則α+（β+γ）=α+（β+γ）;

AX=0的解集合中的零解為n維零向量，是解集合對加法的單位元;

AX=0解集合中的每個解向量α，都有逆元-α存在，因為Aα=0，必有A（-α）=0。

綜上所述，AX=0的解集合對于解向量的加法構(gòu)成群。

又因為A（α+β）=A（β+α）=0，所以AX=0解集合對于解向量的加法構(gòu)成交換群。

三、結(jié)語

開放教育理工科的線性代數(shù)是其它各專業(yè)課的基礎(chǔ)，矩陣?yán)碚摗⑾蛄靠臻g理論及線性方程組是線性代數(shù)的主要組成部分，線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有各種重要應(yīng)用，因而它在各種代數(shù)分支中占居首要地位，各種實際問題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計算機(jī)的發(fā)展，線性化了的問題又可以計算出來，線性代數(shù)正是解決這些問題的有力工具。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，1978

[2]王萼芳，丘維聲.高等代數(shù)講義[M].北京：北京大學(xué)出版社，1984