化工原理中伯努利方程的教學(xué)探討

秦正龍

(江蘇師范大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

流體流動(dòng)原理不但是流體輸送、攪拌、過濾等動(dòng)量傳遞過程的理論基礎(chǔ)，也是熱量傳遞、質(zhì)量傳遞過程中各種單元操作的理論基礎(chǔ)，而伯努利方程又是流體流動(dòng)中最重要、最核心的內(nèi)容，是貫穿整個(gè)化工原理教學(xué)過程的重點(diǎn)和難點(diǎn)[1,2]。因此，準(zhǔn)確理解和掌握伯努利方程對(duì)于學(xué)好化工原理顯得尤為重要。然而，在實(shí)際教學(xué)過程中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生上課時(shí)似乎聽懂了，方程也記住了，但遇到實(shí)際問題時(shí)卻又不知從何著手[3]。為此，我們?cè)诮虒W(xué)方法上作了一點(diǎn)探索。

1伯努利方程的表達(dá)形式

化工原理是化工類各專業(yè)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，主要研究流體流動(dòng)、輸送、傳熱、非均相機(jī)械分離、傳質(zhì)等單元操作的過程原理、過程計(jì)算、設(shè)備選型等[4,5]，具有較強(qiáng)的工程特性。尤其是對(duì)于少學(xué)時(shí)化工原理的教學(xué)，過分強(qiáng)調(diào)理論知識(shí)和傳遞知識(shí)基礎(chǔ)，未必能收到好的教學(xué)效果[6]。因此，我們?cè)诮虒W(xué)過程中教材上所有公式的推導(dǎo)一律刪除不講，把重點(diǎn)放在加強(qiáng)學(xué)生對(duì)方程物理意義的理解上，在應(yīng)用上多挖掘公式的內(nèi)涵，為學(xué)生熟練掌握公式、應(yīng)用公式奠定基礎(chǔ)。

伯努利方程是理想流體在定常態(tài)下流動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，即在重力場(chǎng)中，同一流管上的任何一個(gè)截面處，流體的位能、動(dòng)能和壓強(qiáng)能之和是一個(gè)常數(shù)。伯努利方程的表達(dá)形式主要有四種。

(1)

(2)

(3)

(4)

以上四式雖然表達(dá)形式不同，表示能量的單位也不同，但其實(shí)質(zhì)是一樣的，應(yīng)用時(shí)可靈活選擇。

如果令上述四式中的u1=u2=0，則四式均變?yōu)椋?/p>

p2=p1+ρg(z1-z2)

(5)

式(5)即為流體靜力學(xué)方程。可見，流體靜力學(xué)方程是伯努利方程的一種特殊形式，同時(shí)也說明了“靜止是運(yùn)動(dòng)的一種特殊形式”這一哲學(xué)思想。

2伯努利方程的適用條件

伯努利方程的適用條件在教學(xué)過程中是比較容易被忽視的。盡管伯努利方程的推導(dǎo)過程在課堂上沒有具體的講解，但它是在一定條件下得到的，因此，其適用條件必須向?qū)W生交待清楚。具體的使用條件[7,8]是：①理想流體作定常流動(dòng)，在系統(tǒng)中沒有其它的吸入和損失。由于流體沒有粘性，所以在流動(dòng)過程中沒有摩擦阻力。②流體不可壓縮，其密度不隨壓強(qiáng)變化而變化。液體一般可以認(rèn)為是不可壓縮流體；對(duì)于氣體，兩衡算截面間的壓強(qiáng)變化不能超過20%。③流體流動(dòng)過程中沒有熱量的加入和引出，流體的溫度恒定，內(nèi)能不變。④作用在流體上的體積力只有重力。

3伯努利方程的解題技巧

3.1 實(shí)際流體伯努利方程

由于化工生產(chǎn)中處理的流體都是實(shí)際流體，所以在流動(dòng)過程中使一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，造成機(jī)械能的損失。為了保證流體作定常態(tài)流動(dòng)，必須用泵等作功機(jī)械給流體補(bǔ)充能量。因此，在截面1流體輸入的機(jī)械能與輸送設(shè)備所作的有效功的能量之和一定等于截面2 輸出的機(jī)械能及兩截面之間流體的阻力損失之和，即

(6)

或

(7)

式(6)、(7)為實(shí)際流體伯努利方程，也稱機(jī)械能守恒方程。其中的hf、Hf分別是單位質(zhì)量流體、單位重量流體從截面1流到截面2損失的機(jī)械能，且滿足gHf= hf。We、He依次是單位質(zhì)量流體、單位重量流體從輸送設(shè)備獲得的機(jī)械能，且滿足gHe= We。

3.2 伯努利方程的解題要點(diǎn)

在化工原理的“流體流動(dòng)”和“流體輸送設(shè)備”兩個(gè)章節(jié)中，有關(guān)大型的計(jì)算題幾乎都要用到伯努利方程，這也是考研的一個(gè)重點(diǎn)。如果掌握了伯努利方程的解題技巧，可以大大地簡(jiǎn)化計(jì)算，很快得到結(jié)果。其解題要點(diǎn)是：

(1)根據(jù)題意，畫出過程的示意圖，確定衡算范圍。

(2)截面的選取。截面的選擇一般需要滿足以下四點(diǎn)。①截面必須處在流體的均勻流段，在兩個(gè)截面之間可以是急變流。②截面必須與流體的流動(dòng)方向垂直，且在兩個(gè)截面之間流體是連續(xù)的。③所求的未知量應(yīng)在兩個(gè)截面上或在兩個(gè)截面之間。④截面上的參數(shù)盡可能多是已知的。當(dāng)然，截面既可選在管道入口、出口的內(nèi)側(cè)，也可選在管道入口、出口的外側(cè)。如果選擇內(nèi)側(cè)，則計(jì)算動(dòng)能，局部阻力為零；相反，如果選擇外側(cè)，則計(jì)算局部阻力，動(dòng)能為零。

(3)基準(zhǔn)面的選擇。基準(zhǔn)面的選取可以是任意的，但必須與地平面平行。一般選擇兩個(gè)截面中低的且通過其中心的面作為基準(zhǔn)面。如果截面與基準(zhǔn)面不平行，z必須取截面中心與基準(zhǔn)面之間的垂直距離。

(4)統(tǒng)一方程中各個(gè)物理量的單位。在應(yīng)用伯努利方程計(jì)算前，應(yīng)把每個(gè)物理量的單位都換算成國(guó)際單位。特別是壓強(qiáng)，除了要用國(guó)際單位表示外，其表示方式兩邊也要統(tǒng)一，要么都用絕對(duì)壓，要么都用表壓，千萬不能混合使用。此外，還必須明確，壓力表的讀數(shù)是表壓，真空表的讀數(shù)是真空度；如果截面與大氣聯(lián)通，則該截面上的表壓為零；如果截面的面積比管路的橫截面積或其他截面的面積大得多，則該截面上流體的流速為零。

4伯努利方程的應(yīng)用

應(yīng)用伯努利方程，可以計(jì)算流體的流速、流量及流體輸送所需要的壓頭和功率[9,10]。

4.1 確定設(shè)備間的相對(duì)位置

為了保證管路中一定的液體輸送能力，兩個(gè)設(shè)備之間必須要有一定的高度差。高度差小了，液體的流量低；高度差大了，液體的流量高。根據(jù)題意，把已知參數(shù)代入伯努利方程，即可求出。此類問題通常是求高位槽的高度。

4.2 計(jì)算管道中流體的流量

由于流體的流量未知，因此流體流動(dòng)的摩擦阻力系數(shù)也無法獲得，只能采用試差法。首先假設(shè)一個(gè)摩擦阻力系數(shù)，然后代入伯努利方程計(jì)算流速，再計(jì)算雷諾準(zhǔn)數(shù)，根據(jù)雷諾準(zhǔn)數(shù)和相對(duì)粗糙度由莫狄圖

查得摩擦阻力系數(shù)，如果查得的摩擦阻力系數(shù)與假設(shè)的摩擦阻力系數(shù)相等，則假設(shè)成立，流速乘管路的橫截面積即為流量。如果查得的摩擦阻力系數(shù)與假設(shè)的摩擦阻力系數(shù)不相等，則重新假設(shè)，直到相等為止。

4.3 確定輸送設(shè)備的有效功率和軸功率

根據(jù)伯努利方程，計(jì)算出單位質(zhì)量流體從輸送設(shè)備處獲得的有效機(jī)械能，然后乘以流體的質(zhì)量流量即為輸送設(shè)備的有效功率，有效功率再除以流體輸送設(shè)備的效率得到軸功率。據(jù)此可以選擇適宜的流體輸送機(jī)械。

4.4 計(jì)算管道中流體的壓強(qiáng)

通過在已知壓強(qiáng)截面與管道中某截面之間列伯努利方程，即可得到某截面上流體的壓強(qiáng)，但兩個(gè)截面之間流體一定要連續(xù)。下面通過一個(gè)具體的例子來說明。

用一根虹吸管將水從池中吸出，水池液面與虹吸管出口的垂直距離為8 m，管路最高點(diǎn)與水面的垂直距離為2 m，求虹吸管出口處水的流速。已知水溫30 ℃，水的密度取1 000 kg/m3，大氣壓為101.3 kPa，水按理想流體處理。

解：取水池液面為截面1，虹吸管出口為截面2，并以截面2為基準(zhǔn)面。則：

p1=p2=0(表壓)，u1=0，z1=8m，z2=0

將上述參數(shù)代入伯努利方程(3)，整理得：

絕大部分學(xué)生都是這樣做的。那么，上述方法對(duì)嗎？

我們可以作如下分析：首先假設(shè)截面1、2之間的流體水是連續(xù)的，則應(yīng)用伯努利方程，可解出虹吸管出口流速為12.52 m/s。

顯然，在虹吸管的最高點(diǎn)流體的壓強(qiáng)最小。取虹吸管的最高點(diǎn)并與流體流動(dòng)方向垂直的面為截面3，以截面1為基準(zhǔn)面。則：

p1=1.013×105Pa，z1=0m，z3=2m，u1=0，u3= u2=12.52 m/s

將上述參數(shù)代入伯努利方程(3)，整理得：

p3= p1-(2+8)ρg=101 300-10×1 000×9.8=3 300 Pa

查得30 ℃時(shí)水的飽和蒸氣壓pV為4 242 Pa，顯然大于p3，故在最高點(diǎn)3附近流體水發(fā)生汽化，此時(shí)截面3處的壓強(qiáng)不再按伯努利方程的規(guī)律變化，而是保持流體的飽和蒸氣壓pV不變。因此，截面1、2之間的流體水不連續(xù)，伯努利方程不適用，虹吸管出口流速為12.52m/s無效。但截面1、3之間的流體是連續(xù)的，在截面1、3之間列伯努利方程，得：

這一習(xí)題表面上看是應(yīng)用伯努利方程求流體的流速，實(shí)際上考察的是伯努利方程的使用條件，這一點(diǎn)學(xué)生往往容易忽略。

5結(jié) 語

有關(guān)伯努利方程的教學(xué)，絕大部分教師都十分重視方程的理論推導(dǎo)。但我們發(fā)現(xiàn)，由于學(xué)生的流體力學(xué)、高等數(shù)學(xué)等知識(shí)都比較欠缺，因此，往往是教師講了一節(jié)課、寫了一黑板，學(xué)生還沒理出個(gè)頭緒，反而影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和對(duì)方程的理解。我們直接給出伯努利方程，把重點(diǎn)放在介紹方程中各參數(shù)的含義，講清方程的物理意義，強(qiáng)調(diào)方程適當(dāng)?shù)臈l件，理清解題的思路，討論、總結(jié)相關(guān)計(jì)算的方法和技巧。經(jīng)過多年的實(shí)踐，收到了良好的效果。

[1] 孫喆,尹曉紅,盧世榮,等.理想流體伯努利方程在化工原理教學(xué)中的應(yīng)用[J].化工高等教育,2012,(1):102～104.

[2] 邵友元.機(jī)械能守恒方程應(yīng)用中的幾個(gè)問題的討論[J].廣州化工,2010,37(1):164～165.

[3] 張麗.淺談伯努利方程在流體力學(xué)中的應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇,2016,(28):207～208.

[4] 王志祥,黃德春.制藥化工原理(第三版)[M].北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2014:2.

[5] 馮尚華,何國(guó)芳,趙仁高,等.化工原理的案例教學(xué)[J].化工高等教育,2010,(6):79～81.

[6] 潘鶴林,齊鳴齋,黃婕,等.少學(xué)時(shí)化工原理課程教學(xué)改革初探[J].化工高等教育,2012,(4):97～100.

[7] 陳敏恒,叢德濨,方圖南,等.化工原理(上冊(cè),第三版)[M].北京:高等教育出版社,2013:13～14.

[8] 張斌.伯努利方程的擴(kuò)展討論[J].塔里木大學(xué)學(xué)報(bào)[J].2008,20(4): 32～33.

[9] 夏清,陳長(zhǎng)貴.化工原理(上冊(cè),修訂版)[M],天津:天津大學(xué)出版社,2010:33～35.

[10] 官葉斌.實(shí)際流體伯努利方程式教學(xué)的幾點(diǎn)討論[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,18(2):122～123.