淺談代換法在高中數學解題中的靈活應用

趙靈瑤

【摘 要】 本文就主要從數學解題方式中的代換法入手，探討其在解決高中數學題目中的應用。

【關鍵詞】 代換法；高中數學；解題；應用方式

一、代換法概述

在數學解題方式中，代換法是極為有效的解題思路，可以解決數學問題中具有一定復雜性和含有多個未知條件的數學問題。在進行解題的過程中，可以適當利用知識間的內在聯系，合理地轉化題目中的數量關系和變量條件，實現復雜問題的簡單化。而在解決數學題目的過程中，如果可以實現對數學解題代換法的靈活運用，不僅可以提高學生的數學思維能力，而且還可以提高學生的學習效率，對學生今后的學習有著一定的意義。

二、代換法在高中數學解題中的應用

（一）在概率問題中的等量代換的應用

高中時期的概率問題，通常要求一次解決實驗中全部可能存在的結果，會涉及到排列、組合方面的知識，這就增加了解決數學問題的難度。對此，就需要將復雜的概率問題進行簡化。比如“袋子中放置了8個紅球和4個白球，這些球除了顏色之外，其他特征都相同。若從袋子中隨機取出5個球，則取出紅球的概率是多少”。在解這一概率問題時，首先可以設未知量，如果使用x來代表取出紅球的數量，求p（x=3）的值。根據題意可得p（x=3）=CC/C=14/33≈0.42421，也就是說從袋子中取出的五個球中，約有0.42421的概率取出的是紅球。在這道概率題目中，這些球除了顏色之外都相同，并且在解題時使用了代換法，將個體間幾乎沒有區別的物品，假設為有區別的個體，然后對其進行計算，提高了解題的效率，同時也簡化了解題的復雜性。

（二）在函數變量問題中變量代換的應用

在解決高中數學函數變量問題時，有很多函數題是利用已知函數等式求出結果值的。但面對一些較為復雜和綜合性的問題時，使用以往按部就班的解題方法，通常難以解決問題，此時就可以使用變量代替法來簡化函數等式。比如：在解決“已知函數值f（1nx）=1-x，求f（x）的值”這一類似的問題時，就可以使用變量進簡化解題過程。在具體的解題過程中，首先假設n=1nx，再將變量n代入到已知函數中，得出f（n）=1-x，這樣就實現了函數的簡化，然后求出x值，并將值代入到原等式中，最終就可以求出f（x）的值。由此可見，將代換法應用在一些題目較為復雜的問題中，有助于簡化等式，進而提高數學的解題效率。

（三）三角代換法的應用

在解決高中數學問題時，三角代換法屬于一種應用較為廣泛的方法。并且在使用三角代換法時，簡化了問題的復雜性，經常會取得事半功倍的效果。比如：在例題“是否存在實數x∈（-1，1），并且使得x為無理數，而2x2-1，4x3-3x和16x5-20x3+5x都是有理數”中，在解決這一問題時，可以首先假設存在x∈（-1，1）這一實數，令其中的x=cosθ，則可以得出cosθ為無理數，而由于2x2-1=cos2θ，4x3-3x=cos3θ，16x5-20x3+5x=cos5θ都屬于有理數，從而可以得出α=cosθ+cos5θ屬于無理數。另外，由于α=cosθ+cos5θ=2cos3θcos2θ還是兩個不同有理數的乘積，可以得出α是有理數，但這一結論與前一結論中的“α=cosθ+cos5θ屬于無理數”發生矛盾，因此不存在滿足x∈（-1，1）這一條件的實數。在解決這一問題時，使用cosθ代替x，并經過代換的轉變，簡化了解題的過程，同時使原本較為抽象的問題轉變為更加具體的解題過程，不僅提高了對問題的理解，而且還提高了解題的效率。

【參考文獻】

[1] 沈小芳. 代換法在高中數學解題中的應用[J]. 考試周刊，2015（25）.