概率偽形態學的自適應參數設置研究

黃嘉艷+蔣金山

摘要：概率偽形態學是一種新的形態學處理方法，與傳統形態學的基本運算不同，它無需對原數據進行排列而求得極值，而是基于切比雪夫不等式估計鄰域內數據的兩個偽極值來定義腐蝕和膨脹結果，其中參數k可用來調節偽極值與實際極值的逼近程度，并使概率偽形態學方法兼具線性和非線性特性。通過對圖像直方圖進行規定化處理自適應地確定參數k，減小了直接在原直方圖上估計參數造成的誤差。與傳統形態學方法對比，概率偽形態學方法的腐蝕膨脹結果較好地保持圖像的形狀和細節結構，同時在邊緣提取中得到的結果較理想。

關鍵詞：概率偽形態學；參數選取；自適應；腐蝕；膨脹

中圖分類號：TP317.4 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2017）11-0075-06

1 引言

數學形態學（Mathematical Morphology，MM）是幾何描述分析和非線性圖像處理的有力工具，這一理論框架是上世紀80年代由Matheron[1]和Serra[2]等人提出的。MM最初在二值圖像上得到廣泛應用，后來將其推廣到灰度圖像上，并根據定義的序關系比較鄰域內數據的大小，來定義形態學膨脹、腐蝕運算[3]。由于二值圖像和灰度圖像都是標量函數，在標量域中數據之間存在自然的序關系，因此，二值形態學和灰度形態學本質上無區別[4]。而將MM拓展到彩色圖像上就不那么直接，首先需要定義彩色圖像像素之間的全序關系。文獻[5]定義了4種矢量序來對多元數據進行排序：邊緣序（M-Ordering）、約簡序（R-Ordering）、偏序（P-Ordering）、條件序（C-Ordering）。基于邊緣序、條件序、約簡序的形態學方法在彩色圖像中得到普遍的應用[6]。然而，由于目前對向量的排序并沒有統一標準，上面定義的四種矢量序關系在不同應用中存在各自缺點和不足，具有一定的局限性。傳統數學形態學方法（Gray-Level Mathematical Morphology， GLMM）就是基于序關系對圖像進行處理的。

概率偽形態學方法（Probabilistic Pseudo-Morphology，PPM）[7]是在偽形態學[8， 9]的基礎上提出來的，不同于傳統數學形態學需要考慮數據序關系定義問題，PPM基于切比雪夫不等式估計鄰域內的兩個“偽極值”，來定義形態學的基本運算，并從灰度圖像推廣到彩色圖像（這里的彩色圖像為RGB圖像）。在彩色圖像處理過程中結合主成分析法（Principal Component Analysis， PCA），在第一主成分數據上結合切比雪夫不等式估計局部變量的偽極值，重新定義了形態學的基本運算：偽腐蝕、偽膨脹。與傳統形態學定義邊緣序方法對比，邊緣序方法將R、G、B各分量分開處理來進行運算，容易引入“假色”，PCA的應用能有效的緩解了此問題。本文首先闡述概率偽形態學方法定義的基本運算，再在灰度圖像上討論參數k的選取，并說明在參數k下的偽極值很好的逼近真實極值，然后對參數k的作用意義進行分類。最后，通過誤差分析驗證，在選取的k值下概率偽形態學方法得到的基本運算結果與傳統灰度形態學的結果數值上相似，但視圖結果顯示，概率偽形態學方法抗造性強，能更好的保持了圖像的細節結構和形狀，另外，運用兩種方法進行邊緣提取，概率偽形態學方法能得到邊緣更加清晰，輪廓線條更加平滑。

2 概率偽形態學

概率偽形態學方法是以切比雪夫不等式為理論基礎，該不等式表示任意隨機變量分布在某個以均值為中心點的特定區間以外的最大概率，適用于任意分布，要求該分布滿足均值和方差是有限的[10]。現令為任意隨機變量，分別是表示其均值和標準差（都為正數），則切比雪夫不等式表示如下：

3.2.2 誤差分析及驗證參數k的有效性

利用誤差進行定性分析，計算二者：不同參數k下的概率偽形態學方法PPM、傳統形灰度態學方法GLMM在相同結構元素下的膨脹腐蝕結果之間的二次誤差，根據公式：

其中n圖像像素點的個數，xi、yi分別是PPM、GLMM的運算結果。通過對比在不同參數下二者的誤差，來驗證存在參數k使二者誤差最小，進一步比較得到經過高斯規定化圖像直方圖上得到的參數下的誤差更小。即概率偽形態學在此參數下的運算結果更好的逼近傳統數學形態學得到的真實運算結果。

由于概率偽形態學方法通過借助切比雪夫不等式估計傳統灰度形態學得到的運算結果，通過比較由規定化直方圖估計得到的參數以及在原直方圖上估計的參數各自的誤差大小，來說明前者得到參數使結果更優。圖4為其中3幅圖像在不同參數k下的誤差情況。使用5*5、11*11方形結構元素對圖像進行膨脹、腐蝕運算。左邊為二次誤差，右邊為對應的總誤差，由圖可見，每幅圖像都存在某一k*使得概率偽形態學的運算結果與傳統數學形態學的誤差最小，為了進一步說明在高斯函數規定化直方圖上設置的參數比在原直方圖上進行估計得到的參數使運算結果誤差更小，即基于高斯函數規定化直方圖參數設置方法更優，通過比較各自參數下的膨脹、腐蝕誤差結果及總誤差，具體數據見表2，其中參數設置列中“規：”表示在經過高斯函數規定化直方圖圖像上進行的參數設置；“原：”表示在原圖像直方圖上進行參數設置。通過比較各項運算結果不難發現，前者誤差不同程度小于后者且總誤差也較小，3幅圖像在高斯函數規定化直方圖得到的k=2、1.73、2.11，對比在原直方圖上估計的參數k=2.64、1.97、3.07的結果誤差更小，由此證明高斯函數規定化設置參數這種方法的有效性。

4 對比實驗結果分析

圖5（a）、（c）分別是兩種方法設置的參數下的概率偽形態學（PPM）腐蝕和膨脹結果視圖，與傳統灰度形態學（GLMM）對應的結果視圖（b）進行對比，發現：①PPM腐蝕膨脹視圖結果比GLMM腐蝕膨脹視圖結果輪廓更加清晰，圖像的對比度改進明顯；②在對比高斯函數規定化直方圖參數和原直方圖參數得到的腐蝕膨脹結果，發現前者比后者的視圖輪廓線更加平滑，后者得到圖像的輪廓線較粗，使得腐蝕膨脹后的圖像細節結構難以辨析，但前者更好地保持了圖像的細節和結構，輪廓線更分明，視圖效果更好。endprint

圖6、圖7是在高斯函數規定化直方圖上得到的參數k的概率偽形態學和傳統灰度形態學的腐蝕膨脹結果作對比，使用5*5方形平面結構元素11*11方形平面結構元素進行操作，其由局部細節圖可明顯看出它們之間差異。GLMM受圖像的紋理復雜性和結構元素尺寸的影響較大，使圖像遺失了某些特征，而PPM更好的保留了圖像的紋理結構，且結果更加平滑柔和。如圖6（b）右局部放大圖中樹杈和小船船體形狀受方形結構元素影響明顯，圖7（b）人像五官呈現方塊狀，而PPM偽腐蝕結果受結構元素形狀影響小，如圖6（a）、（c）、（e）和（g），其結果比較平滑；另外，PPM的結果比GLMM更好的保持了圖像的細節，如圖6（e）、（g），較大程度地保留了樹的輪廓、樹干粗細形狀，圖7（a）、（c）人像眉毛、眼睛鼻梁等細節形狀得到保持。這是由于PPM的偽腐蝕偽膨脹運算涉及局部的鄰域數據分布（均值和標準差），從動態統計角度看，該方法抗噪性較強。對比傳統方法，PPM對局部噪聲不敏感，使它更好的保持圖像的局部結構。

將概率偽形態學在參數k*下邊緣提取結果與傳統形態學比較，在相同形狀、尺寸的結構元素下，定義形態學梯度算子如下：

其中dil_img表示圖像的膨脹；ero_img表示圖像的腐蝕。圖8是在3*3方形結構元素作用下概率偽形態學和傳統形態學邊緣提取結果，由圖8可以看出，在確定的參數k*下概率偽形態學方法得到的邊緣更加清晰，與背景對比度較高，更加平滑。總體上講，概率偽形態學能獲得較理想的邊緣結果。

5 結語

本文主要對概率偽形態學方法中參數k的自適應設置進行探討，通過高斯函數規定化直方圖后再進行參數設置，對比在原圖像進行參數估計，前者得到的參數能使概率偽形態學的基本運算結果和傳統形態學方法的基本運算結果誤差更小，從視圖效果來看，參數k下的概率偽形態學比傳統數學形態學抗噪性強，能更好地保持圖像的細節結構和形狀。對彩色圖像進行PPM的偽腐蝕、偽膨脹運算是在RGB空間上進行，由于該空間上的三個軸表示三基色的數量級，具有相關性，在這種顏色空間上更適用PCA；也可在其他如HSV、CIELAB[15]等顏色空間上嘗試執行該方法。另外由于概率偽形態學方法應用PCA在處理彩色圖像，圖像數據通過在不相關的特征方向上進行投影得到新數據空間，考慮將該方法應用到圖像去噪中，對去除高斯非相關性噪聲有顯著效果，后續會沿這個方向作進一步探究。

參考文獻

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Abstract：Probabilistic pseudo-morphology is a new morphological method differing from the traditional in the basic operational process：dilation and erosion. It does not need to rank the original data then obtain the extremes， instead， it estimates two pseudo-extremes of neighborhood data based on Chebyshev inequality to determine the operations. The parameter k can be used to adjust the approximation degree of the pseudo-extreme value and the actual extreme value， and makes the probabilistic pseudo-morphological method have both linear and nonlinear characteristics. By regularizing the image histogram can adaptively determine the parameter k， then reducing the error caused by estimating directly on the original histogram. Compared with the traditional morphological methods， the results of probabilistic pseudo-morphological erosion and dilation can keep better shape and structure of the details of the image， and the results in the edge extraction is also better.

Key Words：probabilistic pseudo-morphology； parameter setting； adaptivity； erosion； dilationendprint