例談解含參不等式恒成立應(yīng)注意的問(wèn)題

江蘇省南菁高級(jí)中學(xué) 花 敏

例談解含參不等式恒成立應(yīng)注意的問(wèn)題

江蘇省南菁高級(jí)中學(xué) 花 敏

含有參數(shù)的不等式的恒成立問(wèn)題是不等式中的重要題型，也是各類考試的熱點(diǎn)。該類問(wèn)題通常可化為最值問(wèn)題來(lái)解決，但由于這類問(wèn)題既含參數(shù)又含變量，學(xué)生在處理時(shí)普遍感到難以駕馭，不是方法煩瑣，就是思路不清。本文通過(guò)不等式恒成立中幾個(gè)應(yīng)注意問(wèn)題的舉例說(shuō)明，幫助學(xué)生理清這類問(wèn)題的解決思路，并避免一些易犯錯(cuò)誤。

一、分清主元與參數(shù)

分析：由于常見(jiàn)的思維定式，易看成是關(guān)于x的二次不等式，從而思路不清。其實(shí)抓住題中“對(duì)任意的恒成立”，應(yīng)將m看成主元，而x是參數(shù)。

點(diǎn)評(píng)：這類既含參數(shù)又含變量的問(wèn)題關(guān)鍵首先要分清誰(shuí)是主元，誰(shuí)是參數(shù)。一般題中對(duì)什么恒成立，什么就可以看成主元，另一個(gè)則看成參數(shù)，進(jìn)而揭示函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題明朗化。另外，對(duì)任意的恒成立但若真的去求則需對(duì)x-2分大于0、等于0、小于0三種情況討論，此時(shí)抓住f(m)的圖象為一條線段，其最小值只可能在端點(diǎn)處取到，故只需考慮兩個(gè)端點(diǎn)值大于0即可。在求函數(shù)最值時(shí)，恰當(dāng)利用數(shù)形結(jié)合思想，往往可使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。

二、何時(shí)需分離參數(shù)

分離參數(shù)就是把含參數(shù)的式子分離出來(lái)放在不等號(hào)的一側(cè)，而含主元的式子放在不等號(hào)的另一側(cè)。在解決含參的不等式恒成立問(wèn)題時(shí),常需要用到分離參數(shù)法，但學(xué)生對(duì)何時(shí)需要分離參數(shù)往往不能準(zhǔn)確識(shí)別。

點(diǎn)評(píng)：不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題時(shí)，若所求函數(shù)最值需要分類討論，則可考慮用分離參數(shù)法。分離參數(shù)后，需求最值的函數(shù)便不含參數(shù)，求最值較為方便。 但若分離參數(shù)也要討論，則視具體情況選擇分與不分。

三、最值取到與否對(duì)參數(shù)范圍的影響

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題時(shí)，若最值取不到，則應(yīng)注意端點(diǎn)處，應(yīng)停頓思考是否有等號(hào)，確保考慮全面，不失分。

例3 已知兩個(gè)函數(shù)f（x）=x2+2x-m，g（x）=x3+3x2=3x，其中m為實(shí)數(shù)。

（1）對(duì)任意的x∈[-2,2]，都有f（x）≤g（x）成立，求m的取值范圍；

分析：要注意分清一個(gè)變量還是兩個(gè)變量。

分析：注意等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)邏輯連接詞“且”與“或”的區(qū)別。

（3）若在x∈D上f（x）與g（x）的大小不定，則先解不等式f（x）＜g（x），得，使f（x）＜a＜g（x）成立其中