探究概率統(tǒng)計提高數(shù)學素養(yǎng)

■河南省平頂山市第一高級中學 劉海洋

■河南省平頂山市第一中學 張玲敏

探究概率統(tǒng)計提高數(shù)學素養(yǎng)

■河南省平頂山市第一高級中學 劉海洋

■河南省平頂山市第一中學 張玲敏

概率統(tǒng)計在高考中以抽樣、折線圖、莖葉圖、頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征、回歸分析、獨立性檢驗等考查同學們應用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力。探究概率統(tǒng)計問題的求解過程,可以提高同學們的數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、合理運算等核心素養(yǎng)。

探究1：幾何概型與其他知識的網(wǎng)絡交匯

例1 記函數(shù)f(x)=6+x-x2的定義域為D。在區(qū)間[-4,5]上隨機取一個數(shù)x,則x∈D的概率是____。

解析：因為試驗的基本事件個數(shù)是無限個且是一元變量,所以選擇區(qū)間長度為測度求長度比,從解不等式切入。由6+x-x2≥0,得-2≤x≤3,根據(jù)幾何概型的概率計算公式得x∈D的概率是

點擊素養(yǎng)：幾何概型具有“無限性和等可能性”。基本事件可以抽象為點,一元變量選長度為測度,二元變量選面積為測度,可用“比例解法”求解幾何概型的概率,幾何概型的“測度”使得它與平面區(qū)域內(nèi)的長度、幾何圖形、軌跡、定積分等進行網(wǎng)絡交匯。

探究2：古典概型與排列組合的交匯

例2 從分別標有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次,每次抽取1張,則抽到的2張卡片上的數(shù)的奇偶性不同的概率是( )。

解析：元素自然分組計數(shù),注意合理分類,區(qū)分“有序”與“無序”,標有1,2,…,9的9張卡片中,所標的數(shù)是奇數(shù)的有5張,所標的數(shù)是偶數(shù)的有4張,所以抽到的2張卡片上的數(shù)的奇偶性不同的概率

故選C。

點擊素養(yǎng)：求古典概型的概率,明確所求事件本身的含義,區(qū)分“有序”與“無序”,利用排列組合計數(shù),當正面問題比較復雜時,往往采取計數(shù)其對立事件,進而用公式求解。

探究3：離散型隨機變量的概率分布列和期望

例3 從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口,設各路口信號燈工作相互獨立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為

(1)設X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望;

(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個紅燈的概率。所以隨機變量X的分布列為表1。

表1

(2)2輛車共遇到1個紅燈的事件包括:第1輛遇到1次紅燈,第2輛遇到0次紅燈;第1輛遇到0次紅燈,第2輛遇到1次紅燈。設Y表示第1輛車遇到紅燈的個數(shù),Z表示第2輛車遇到紅燈的個數(shù),用(1)的結果,則所求事件的概率為P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=所以,這2輛車共遇到1個紅燈的概率

點擊素養(yǎng)：理解隨機變量的可能取值,就是借助互斥事件進行合理分類,根據(jù)每類情況構建相互獨立事件同時發(fā)生借助排列組合計數(shù),利用古典概型公式確定分布列進而計算出數(shù)學期望。

探究4：統(tǒng)計圖表與獨立性檢驗及概率模型的交匯

例4 某中學舉行了一次詩詞競賽,組委會在競賽后,從中抽取了1 0 0名選手的成績(百分制),作為樣本進行統(tǒng)計,作出了頻率分布直方圖,如圖1所示,分析后將得分不低于6 0分的學生稱為“詩詞達 人”,低于6 0分的學生稱為“詩詞待加強者”。

圖1

(1)根據(jù)已知條件完成表2所示的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否在犯錯誤的概率不超過0.0 1的前提下認為“詩詞達人”與性別有關?

表2

(2)將頻率視為概率,現(xiàn)在從該校參與活動的學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中“詩詞達人”的人數(shù)為X,若每次抽取的結果是相互獨立的,求數(shù)學期望E(X)和方差D(X)。

表3

解析：(1)2×2列聯(lián)表如表4所示。

表4

(2)由頻率分布直方圖知,從中任意抽取1人恰為“詩詞達人”的概率為則被抽取的3人中“詩詞達人”的人數(shù)為X,依題

點擊素養(yǎng)：由頻率分布直方圖,提取信息填寫2×2列聯(lián)表,進而計算K2判斷兩變量相關性的把握程度,由直方圖確定頻率即概率,構建二項分布模型算數(shù)學期望和方差,考查同學們對數(shù)據(jù)的處理能力、統(tǒng)計思想的建立能力,以及運算求解概率統(tǒng)計問題的能力。

注:本文系河南省教育科學“十三五”規(guī)劃2 0 1 7年度課題“高中數(shù)學核心素養(yǎng)的案例研究”(課題編號:【2 0 1 7】-J K G B Y B-0 7 1 4)的階段性研究成果之一。

(責任編輯 王福華)