概率統計求解中的“多種思維方法”

■山東東營勝利第十三中學 張魯豫

概率統計求解中的“多種思維方法”

■山東東營勝利第十三中學 張魯豫

本文對概率統計中某些經典試題進行多方位的審視,探究多種求解思維方法,希望能幫助同學們提高數據處理能力,以及應用計數方法和概率模型求解實際應用問題的能力。

一、統計圖表應用中的“多種思維方法”

例1 如圖1所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產量數據(單位:件)。若這兩組數據的中位數相等,且平均值也相等,則x和y的值分別為( )。

圖1

A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7

解法1：借助兩組數據的中位數和平均數利用選擇支去驗證。對于選項A,由題意,甲組數據為5 6,6 2,6 5,7 0+3,7 4,乙組數據為5 9,6 1,6 7,6 0+5,7 8。要使兩組數據的中位數相等且為6 5,此時平均數相同,則故選A。

解法2：理解莖葉圖表示的數據,構建方程組求解,由題意,甲組數據為5 6,6 2,6 5,7 0+x,7 4,乙組數據為5 9,6 1,6 7,6 0+y,7 8。要使兩組數據的中位數相等,有6 5=6 0+y,所以y=5。又因為兩組數據的平均數相同,所以解得x=3。故選A。

品味：莖葉圖是一種將樣本數據有條理地列出來,從中觀察樣本分布情況的圖。在莖葉圖中,“莖”表示數的高位部分,“葉”表示數的低位部分。從莖葉圖中能看到原始數據,沒有任何信息損失,且莖葉圖便于記錄和表示。

二、古典概型求解中的“多種思維方法”

例2 分別從寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張,放回后再隨機抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數大于第二張卡片上的數的概率為( )。

表1

由表1知總計有2 5種情況,滿足橫坐標大于縱坐標的點的有1 0種,所以所求概率為P(A)

解法2：(基本事件空間法)容易知道,基本事件總數n=5×5=2 5,抽得的第一張卡片上的數大于第二張卡片上的數包含的基本事件有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2)(5,3),(5,4),共1 0個基本事件,所以抽得的第一張卡片上的數大于第二張卡片上的數的概率為

解法3：(分類討論)根據題意,抽得的第一張卡片上的數大于第二張卡片上的數的情況有以下四種:(1)第一張抽到2,第二張抽到1,概率(2)第一張抽到3,第二張抽到1或2,概率

品味：構建古典概型求概率,正確找出隨機事件A包含的基本事件的個數n(A)和試驗中基本事件的總數n(Ω),代入公式可。明確所求事件本身含義,利用枚舉法、樹狀圖法和列表法計數,或構建基本事件空間計數,利用對立事件簡化計數是求解的關鍵。有時還可以借助互斥事件分類計算概率。

三、隨機變量分布列和期望求解中的“多種思維方法”

例3 (2 0 1 7屆黑龍江省哈爾濱市高三二模)近年來,空氣質量成為人們越來越關注的話題,空氣質量指數(A i rQ u a l i t y I n d e x,簡稱AQ I)是定量描述空氣質量狀況的指數,空氣質量按照AQ I的大小分為六級:0～5 0為優;5 1～1 0 0為良;1 0 1～1 5 0為輕度污染;1 5 1～2 0 0為中度污染;2 0 1～3 0 0為重度污染;大于3 0 0為嚴重污染。環保部門記錄了2 0 1 7年某月(這個月按3 0天計算)哈爾濱市1 0天的AQ I的莖葉圖,如圖2所示。

圖2

(1)利用該樣本估計該地本月空氣質量優良(A Q I≤1 0 0)的天數;

(2)現工作人員從這1 0天中空氣質量為優良的日子里隨機抽取2天進行某項研究,求抽取的2天中至少有一天空氣質量是優的概率;

(3)將頻率視為概率,從本月中隨機抽取3天,記空氣質量優良的天數為ξ,求ξ的分布列和數學期望。

解析：(1)由莖葉圖知空氣質量優的天數為2,空氣質量良的天數為4,故該樣本中空氣質量優良的頻率為,從而估計該月空氣質量優良的天數3 0×

(2)解法1:利用對立事件間接法求概率。由題意可知,1 0天中有6天是優良,其中2天優,所以

解法2:利用互斥事件直接分類求概率。由題意可知,1 0天中有6天是優良,其中2天優,所以

(3)解法1:離散型隨機變量確定分布列求期望。由(1)估計某天空氣質量優良的概率為,ξ的所有可能取值為0,1,2,3,則故ξ的分布列為表2。

表2

解法2:構建二項分布模型簡化求分布列和期望。由(1)估計某天空氣質量優良的概率為故ξ的分布列為表3。

表3

品味：概率計算中常常可以借助互斥事件直接分類或利用對立事件簡化求解,對于特殊的離散型隨機變量的概率分布列和期望,可以構建幾何分布或二項分布模型簡化求解,還可以確定離散型隨機變量的取值求概率,構建分布列進而用公式求期望。

(責任編輯 王福華)