不等式的求解歸納

■江蘇省揚州市邗江區瓜洲中學高三(5)班 陸志明

不等式的求解歸納

■江蘇省揚州市邗江區瓜洲中學高三(5)班 陸志明

不等式知識主要包括:基本不等式、一元二次不等式、線性規劃等,是高中階段學習的一個難點。筆者在學習不等式知識的過程中,遇到綜合性稍微強一點的不等式題型,經常會感覺無從下手。通過歸納與總結發現,解答不等式問題不僅要準確理解題意,更要歸納題型,總結解題方法,最后運用數學知識解答,這樣就可以把復雜問題簡單化。

一、求解不等式

分析：這是一道含絕對值符號的一元一次不等式,可先利用絕對值性質去絕對值符號,然后求解。

點評:本題是含有絕對值符號的不等式的求解問題,掌握了正確去絕對值符號的方法后,問題即可迎刃而解。

二、求證不等式

1.利用含絕對值符號不等式的性質求解。

點評:含絕對值符號的不等式的性質較多,本題是其中一個題型,需熟練掌握。

2.利用重要不等式的性質求解。

3.利用柯西不等式的性質求解。

分析：二維形式的柯西不等式“當a,b,c,d均為正實數時,有(a2+b2)(c2+d2)≥(a c+b d)2”。本題可利用柯西不等式的性質求解。

三、求解最大值或最小值

例5 若實數x,y,z滿足x+2y+z=1,求x2+y2+z2的最小值。

分析：利用柯西不等式的性質求解。

點評:本題是利用柯西不等式的性質求解最小值或最大值的題型。還有些題需要求三角函數的極值,可以利用三角函數的性質和柯西不等式進行求解。例如,求函數y=3 s i nx+2 2+2 c o s 2x的最大值。有些題為帶根號的函數,也可以利用柯西不等式求解,例如,求函數f x()=2x+1+2-x的最大值。

分析：利用柯西不等式求出左邊的取值范圍,然后再求解x的取值范圍。

解：因為 (a+b+2c)2≤(1 +1+2)·(a2+b2+c2)=4,所以a+b+2c≤2,又對任意實數a,b,c恒成立,故(a+b+2c)max=2,解得

四、求解不等式的綜合題

點評:本題其實是求極值和求解不等式的綜合題,可以先求極值,再求未知數。

(責任編輯 劉鐘華)

編后語：在學習的過程中,你一定會遇到許多問題,也需要解決這些問題,而在解決問題的過程中,如果能深入一些、細致一些,就會有新的發現,把你的發現寫出來就是一篇論文。希望同學們在學習過程中要善于發現和總結,同時也希望同學們把論文寄給我們。電子信箱:x u e x i f a x i a n@1 2 6.c o m。