對一道利用導數證明對數不等式問題的反思

■鄭州市第十一中學1 8 0 5班 李潔瑩

對一道利用導數證明對數不等式問題的反思

■鄭州市第十一中學1 8 0 5班 李潔瑩

筆者在對導數知識進行復習時經常遇到導數證明不等式的問題,這也是高考經常出現的問題之一。但由于綜合性較強,往往成為我們得分的一大障礙。本文通過一道例題的不同思考角度,給出常規解決思路。

(1)當a=1時,求f(x)在x∈[1,+∞)上的最小值;

(2)若f(x)存在單調遞減區間,求a的取值范圍;

(2)解法1:(分類討論)由題意得f'(x)在x∈(0,+∞)上有負值區間。

當a<0時,g(x)=a x2+2(a-1)x+a的開口向下,在x∈(0,+∞)上 一 定有負值區間。

所以h'(x)在x∈(0,1)上有h'(x)<0,在x∈(1,+∞)上有h'(x)>0。

所以h(x)min=h(1)=

評注:解法1為常規思路,考慮導數有負值區間情況,對導數分類討論;解法2非常巧妙地避開了容易出現恒成立問題的陷阱,轉化為特稱命題的證明,給人耳目一新的感覺。

(3)解法1:(構造數列)設數列{an}的前n項和Sn=l n(n+1),則an=Sn-Sn-1=l n(n+1)-l nn=l n

由①②得,原不等式成立。

評注:將上述兩種方法比較可知,解法1是構造新數列,通過比較新數列與原數列通項大小證明不等式的,是一種常規思路;解法2的數學歸納法是同學們經常使用的辦法,但不容易結合第(1)問證明。

這道例題的后兩問都是用了兩種方法,從不同角度求解證明,較好地體現了數學思想和數學方法的統一。在平時的學習中,我們要注意培養從不同角度分析問題的意識,嘗試用多種方法解題,尋找最佳解題方法,掌握通性通法。只有這樣,在解題時才能游刃有余。

(責任編輯 劉鐘華)