類比思想解決立體幾何問題

■鄭州市第十一中學1 8 0 5班 曹雪源

類比思想解決立體幾何問題

■鄭州市第十一中學1 8 0 5班 曹雪源

類比思想是一種十分重要的數學思想,對于高考中出現的立體幾何問題,利用類比可以給我們提供新的思路和方法。利用類比思想解決立體幾何問題的思路:二維平面→三維立體;直線→平面;平面圓→空間球。遵循著這三條路線,可以發現新結論,解決新問題。

下面以平面中點到直線的距離公式類比空間點到平面的距離公式為例進行說明。

類比1：二維直線方程→三維空間平面方程。平面中直線l的普通方程為A x+B y+C=0,由此類比,空間中平面α的普通方程為A x+B y+C z+D=0。

類比2：平面中點到直線的距離公式→空間中點到平面的距離公式。平面中點P(x0,y0)到直線l:A x+B y+C=0的距離公式為d=,由此類比,空間中點P(x,0y0,z0)到平面α:A x+B y+C z+D=0的距離公式為(此處涉及高數內容,證明略)

例題 (2 0 1 7年文科數學卷改編)如圖1,四棱錐PA B C D中,側面P A D為等邊三角形且垂直于底面A B C D,∠B A D=∠A B C=9 0°。

圖1

(1)證明:直線B C∥平面P A D;

(2)求點B到平面P C D的距離。

解析：(1)因為∠B A D=∠A B C=9 0°,所以B C∥A D且A D?平面P A D,所以B C∥平面P A D。

圖2

(2)解法1:(常規解法)如圖2,設A D的中點為E,連接P E,C E,所以四邊形A B C E是邊長為1的正方形,所以因為△P A D是正三角形,平面P A D⊥平面A B C D,E為A D的中點,所以P E⊥平面A B C D。所以中,由余弦定理得所以點B到平面P C D的距離d解法2:(利用類比公式求解)以A D的中點E為原點建立如圖3所示的空間直角坐標系E-x y z。設平面P C D的方程為A0x+B0y+C0z+D0=0,將點P(0,0,3),C(1,0,0),D(0,1,0)的坐標代入得令D0=-3,得A0=B0=3,C0=1,故平面P C D的方程為3x+3y+z-3=0。所以點B(1,-1,0)到平面P C D的距離為d=

圖3

可以看到,立體幾何問題在引入空間直角坐標系后,在類比思想的幫助下,點到平面的距離問題迎刃而解。

(責任編輯 劉鐘華)