排列組合、二項式定理知識結構與拓展

■河南省南陽市第一中學 王 策

排列組合、二項式定理知識結構與拓展

■河南省南陽市第一中學 王 策

一、知識結構框架

二、結構分析

本章是高中數學中相對獨立的內容,也是密切聯系實際的一部分。正確區分和使用兩個原理是解決計數問題的關鍵。利用分類計數原理時,所分的每一類都可以獨立地解決問題。利用分步計數原理時,需要依次完成每一步才能解決問題;仔細審題,分清允許重復還是不允許重復,才能正確選擇利用排列還是組合。兩個基本性質(組合數的兩個性質)、兩個基本公式(排列數公式和組合數公式)、組合數的兩個性質、兩個基本規定(0!=1和C0n=1)是進行運算的利器。有些復雜的問題,既要“分類”,又要“分步”,應明確按什么標準“分類”、“分步”,不同的標準,可以有不同的解法,解題時應擇優而行。

(a+b)n其實就是n個a+b相乘,在每一個a+b中選擇a還是選擇b是個問題,通項公式解決了這個問題。展開式包含了次數、項數、系數、順序等諸因素,其中最豐富的是二項式系數的性質,熟練掌握這些基本理論和基本方法是解決二項式問題的基礎。

三、實例分析

例1 3本相同的小說和2本相同的詩集全部分給4名同學,每名同學至少1本,則不同的分法有( )。

A.2 4種 B.2 8種 C.3 2種 D.3 6種

解析：把5本書分給4名同學,每名同學至少1本,那么這4名同學中有且僅有1名同學分到2本書。

解法1：分類優先。設3本相同的小說都是a,2本相同的詩集都是b,則1名同學分到2本書有三類情況:第一類a a、a、b、b,這種情況有);第二類b b、a、a、a,這種情況有第三類a b、a、a、b,這種情況有。總共有2 8種。

小結：解法1明顯優于解法2,分步時如果第一步結束后造成第二步情況復雜,那么就可以把第一步轉化成不同的類,再整體考慮,從而使解題思路更清晰,更有條理。

解 析 ：Tr+1=令6-2r=2,解得r=2,所以x2的系數為

小結：求二項展開式中的指定項,一般是先化簡通項公式,再令字母的指數符合要求(求常數項時,指數為零;求有理項時,指數為整數等),最后解出項數r+1,代回通項公式即可。

例3 中國南北朝時期的著作《孫子算經》中,對同余除法有較深的研究。設a,b,m(m>0)為整數,若a和b被m除得的余數相同,則a稱b和對模m同余,記為a=b(m o dm)。若a=b(m o d 1 0),則b的值可以是( )。

A.20 1 1 B.20 1 5 C.20 1 7 D.20 1 9

解析：因為a=(1+2)20=320=910=(1 0-1)10=所以被1 0除得的余數為1,而20 1 1被1 0除得的余數是1,故選A。

四、跟蹤練習

1.《中國詩詞大會》(第二季)亮點頗多,十場比賽每場都有一首特別設計的開場詩詞,在聲光舞美的配合下,百人團齊聲朗誦,別有韻味。若《將進酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩詞排在后六場,且《將進酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后,則后六場的排法有( )。

A.1 4 4種 B.2 8 8種

C.3 6 0種 D.7 2 0種

解析：《將進酒》、《望岳》和另確定的兩首詩詞排列全排列共有A44種,滿足《將進酒》排在《望岳》的前面的排法共有種,再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在4個空里(最后一個空不排),有種排法,《將進酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后,則后六場的排法有=1 4 4(種),故選A。

(責任編輯 劉鐘華)