復數知識結構與拓展

■河南省南陽市第一中學 鄭書芬

復數知識結構與拓展

■河南省南陽市第一中學 鄭書芬

一、知識結構

二、結構分析

復數內容在高考中一般會以選擇題的形式單獨命題,重點是代數運算,屬于容易題。高考考綱要求:(1)理解復數的概念,理解復數相等的充要條件;(2)了解復數的代數表示法及其幾何意義;(3)能進行復數代數形式的四則運算,了解兩個具體復數相加、減的幾何意義。復習時重視“化虛為實”的思想方法,切忌盲目拔高要求。

三、典例分析

題型一：復數的有關概念

方法規律：(1)復數的分類、復數的相等、復數的模及共軛復數的概念都與復數的實部和虛部有關,所以解答與復數相關概念有關的問題時,需把所給的復數化為代數形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根據題意列出實部、虛部滿足的方程(組)即可。(2)求復數模的常規思路是利用復數的有關運算先求出復數z,然后利用復數模的定義求解。

題型二：復數代數形式的四則運算

例2 已知a,b∈R,i是虛數單位,若(1+i)(1-bi)=a,則

答案解析：因為(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,又a,b∈R,所以1+b=a且1-b=0,得a=2,b=1,所以

方法規律：復數的加法、減法、乘法運算可以類比多項式的運算,除法關鍵是分式的分子和分母同乘以分母的共軛復數,注意要把i的冪寫成最簡形式。

題型三：復數的幾何意義

例3 設復數z1,z2在復平面內的對應點關于虛軸對稱,已知z1=2+i,則z1z2=( )。

A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i

答案解析：因為z1=2+i在復平面內的對應點的坐標為(2,1),又z1與z2在復平面內的對應點關于虛軸對稱,則z2在復平面內的對應點的坐標為(-2,1),即z2=-2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5。

易錯防范：(1)判定復數是實數時,僅注重虛部等于0是不夠的,還需考慮它的實部是否有意義。(2)兩個虛數不能比較大小。(3)利用復數相等a+bi=c+di列方程時,應注意a,b,c,d∈R的前提條件。(4)注意不能把實數集中的所有運算法則和運算性質照搬到復數集中來。例如,若z1,z2∈C,就不能推出z1=z2=0;z2<0在復數范圍內有可能成立。

(責任編輯 劉鐘華)