常用邏輯用語知識結(jié)構(gòu)與拓展

■河南省南陽市第一中學(xué) 李 娜

常用邏輯用語知識結(jié)構(gòu)與拓展

■河南省南陽市第一中學(xué) 李 娜

一、知識結(jié)構(gòu)

二、結(jié)構(gòu)分析

高考考查常用邏輯用語的形式以選擇題為主,試題多為中低檔題目,命題的重點(diǎn)有三個:一是命題及其四種形式,主要考查命題的四種形式及命題的真假判斷;二是以函數(shù)、數(shù)列、不等式及立體幾何中的線面關(guān)系等為背景考查充要條件的判斷;三是以邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”為工具,考查函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等知識。在復(fù)習(xí)時應(yīng)重視充分條件、必要條件的判斷,弄清四種命題間的關(guān)系,重視含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的判斷,掌握特稱命題、全稱命題否定的含義,特別是應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想,利用原命題和其逆否命題的等價性,進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化,巧妙判斷命題的真假。

三、典例分析

題型一：充分條件與必要條件

例1 設(shè)x>0,y∈R,則“x>y”是“x>|y|”的( )。

A.充要條件

B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案解析：當(dāng)x=1,y=-2時,x>y,但x>|y|不成立;若x>|y|,因?yàn)閨y|≥y,所以x>y。所以x>y是x>|y|的必要而不充分條件。

方法規(guī)律：充分條件、必要條件的幾種判斷方法:(1)定義法。直接判斷“若p,則q”“若q,則p”的真假。(2)等價法。利用A?B與﹁B?﹁A;B?A與﹁A?﹁B;A?B與﹁B?﹁A的等價關(guān)系。(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷。設(shè)A={x|p(x)},B={x|q(x)},若A?B,則p是q的充分條件或q是p的必要條件;若A■B,則p是q的充分不必要條件;若A=B,則p是q的充要條件。

易錯防范：判斷條件之間的關(guān)系要注意條件之間關(guān)系的方向,正確理解“p的一個充分而不必要條件是q”等語言的含義。

題型二：四種命題

例2 有下列三個命題:①“若a>b,則a2>b2”的否命題;②“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題;③“若x2<4,則-2

答案解析：①原命題的否命題為“若a≤b,則a2≤b2”,錯誤。②原命題的逆命題為“若x,y互為相反數(shù),則x+y=0”,正確。③原命題的逆否命題為“若x≥2或x≤-2,則x2≥4”,正確。故填②③。

方法規(guī)律：寫出一個命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論,然后按定義來寫;在判斷原命題的逆命題、否命題及逆否命題的真假時,要借助原命題與其逆否命題同真或同假,逆命題與否命題同真或同假來判定。

易錯防范：正確區(qū)別命題的否定與否命題。“否命題”是對原命題“若p,則q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得到的命題,既否定其條件,又否定其結(jié)論;“命題的否定”即“﹁p”,只否定命題p的結(jié)論。命題的否定與原命題的真假相反,即兩者中有且只有一個為真。

題型三：全稱命題、特稱命題及邏輯聯(lián)結(jié)詞

例3 命題“?x0∈(0,+∞),l nx0=x0-1”的否定是( )。

A.?x∈(0,+∞),l nx≠x-1 B.?x?(0,+∞),l nx=x-1

C.?x0∈(0,+∞),l nx0≠x0-1 D.?x0?(0,+∞),l nx0=x0-1

答案解析：改變原命題中的三個地方即可得其否定,?改為?,x0改為x,否定結(jié)論,即l nx≠x-1,故選A。

方法規(guī)律：(1)全稱命題與特稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別,否定全稱命題和特稱命題時,一是要改寫量詞,全稱量詞改寫為存在量詞,存在量詞改寫為全稱量詞;二是要否定結(jié)論,而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論。(2)要判斷一個特稱命題是否為真命題,只要在限定的集合M中,找到一個x=x0,使p(x0)成立即可,否則這一特稱命題就是假命題。(3)要判斷一個全稱命題是否為真命題,必須對限定的集合M中的每一個元素x,證明p(x)成立。只要找到一個反例,則該命題為假命題。(4)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷口訣:p∨q→見真即真,p∧q→見假即假,p與﹁p→真假相反。

易錯防范：(1)注意命題是全稱命題還是特稱命題,是正確寫出命題的否定的前提。(2)注意命題所含的量詞,對于量詞隱含的命題要結(jié)合命題的含義顯現(xiàn)量詞,再進(jìn)行否定。(3)由邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的新命題的否定。①﹁(p∧q)?(﹁p)∨(﹁q);②﹁(p∨q)?(﹁p)∧(﹁p)。

四、跟蹤練習(xí)

1.設(shè)有下面四個命題。p1:若復(fù)數(shù)z滿足R,則z∈R;p2:若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R,

則z∈R;p3:若復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1z2∈R,則;p4:若復(fù)數(shù)z∈R,則ˉz∈R。其中的真命題為( )。

A.p1,p3B.p1,p4

C.p2,p3D.p2,p4

2.命題“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )。

A.?x∈R,?n∈N*,使得n

B.?x∈R,?n∈N*,使得n

C.?x∈R,?n∈N*,使得n

D.?x∈R,?n∈N*,使得n

解析：由于特稱命題的否定形式是全稱命題,全稱命題的否定形式是特稱命題,所以“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式為“?x∈R,?n∈N*,使得n

3.(2 0 1 7年長沙質(zhì)檢)已知下面四個命題:①“若x2-x=0,則x=0或x=1”的逆否命題為“x≠0且x≠1,則x2-x≠0”;②“x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要條件;③“存在x0∈R,使得+x0+1<0”的否命題為“任意x∈R,都有x2+x+1≥0”;④若p且q為假命題,則p,q均為假命題。其中為真命題的是____。(填序號)

解析：①正確。②中,x2-3x+2>0?x>2或x<1,所以“x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要條件,②正確。由于特稱命題的否定為全稱命題,所以③正確。若p且q為假命題,則p,q中至少有一個是假命題,所以④的推斷不正確。故填①②③。

4.已知a>0,設(shè)命題p:函數(shù)y=ax在R上單調(diào)遞減;命題q:設(shè)函數(shù)y=,函數(shù) 恒成立。若y>1p∧

q為假,p∨q為真,則a的取值范圍是____。

解析：若p是真命題,則01。又ymin=2a,所以2a>1,所以q為真命題時。又p∨q為真,p∧q為假,所以p與q一真一假。若p真q假,則若p假q真,則a≥1。故a的取值范圍為或a≥1。

(責(zé)任編輯 劉鐘華)