量天尺

孫至喆

摘 要：隨著科技的進(jìn)步，人類飛往宇宙有接近現(xiàn)實(shí)，因此對(duì)星球間距離的測(cè)算尤為重要。而利用一些簡(jiǎn)單的幾何學(xué)并進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，就可以進(jìn)行一些粗略的估算，還能在一些難以到達(dá)的地方建立觀測(cè)點(diǎn)完成一些需要大量器材資金才能做到的事。

關(guān)鍵詞：測(cè)距；幾何應(yīng)用；建模

1.“簡(jiǎn)單近距宇宙”模型

宇宙中的環(huán)境復(fù)雜而多變，因此在對(duì)星體進(jìn)行測(cè)繪時(shí)往往需要借助極具精密的儀器和繁瑣的公式。

不過(guò)，如果被測(cè)繪星體與觀測(cè)點(diǎn)之間的距離遠(yuǎn)小于其他星體與被測(cè)繪星體的距離，或其他星體的質(zhì)量等過(guò)小。則其他星體對(duì)測(cè)繪的影響（主要是對(duì)光線和運(yùn)行軌跡的影響）可以忽略。于是，可以簡(jiǎn)化為由三個(gè)或以下星體構(gòu)成的“簡(jiǎn)單近距宇宙”。

在“簡(jiǎn)單近距宇宙”中，星球可視為球體，其運(yùn)行軌跡可視為圓或近似圓的橢圓，隕石、飛行器、空間站等體積較小的物體可以視為點(diǎn)。

因此，在“簡(jiǎn)單近距宇宙”模型下，可以通過(guò)一些平面幾何定理進(jìn)行簡(jiǎn)單估計(jì)測(cè)繪。

2.古代測(cè)繪地球方法：第一把量天尺

常言道：“求人不如求己”。如果想要測(cè)繪出宇宙中其他天體的距離、半徑等數(shù)據(jù)，就必須通過(guò)某個(gè)“媒介”作為“刻度尺”。我們腳下的地球恰恰正是這樣一把合適的“量天尺”。

古人測(cè)量地球主要使用平行線的有關(guān)定理。將地球視為一個(gè)圓（過(guò)球心沿赤道的切面），將太陽(yáng)光視為平行線。在甲、乙兩地分別立一根豎直的已知標(biāo)桿（長(zhǎng)度為m），當(dāng)陽(yáng)光直射甲時(shí)，會(huì)在乙桿處留下影子（長(zhǎng)度為n）。多以圓心角為tanθ=nm，再量出甲、乙兩地間的距離（長(zhǎng)度為s），就可以測(cè)繪出地球的半徑、周長(zhǎng)等數(shù)據(jù)了。

3. 從地上到天上：利用平面幾何建立兩個(gè)特殊位置的地外觀測(cè)點(diǎn)。

待測(cè)繪星球在地球上找到與OO′對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B，作如圖所示切于兩圓的直線l1、l2，相交于甲。作如圖所示切于兩圓的直線線l3、

l4，相交于乙。在地球上測(cè)出A、B間距離，則可以得到圓心角（∠α），則∠α可求得∠1=90°-∠α，∴∠O-甲=R0cosα，同理可求得：O-乙=R0cosβ 。

于是，我們相當(dāng)于分別在離地心R0cosα的甲和離地心R0cosβ的乙各建立了一個(gè)“觀測(cè)點(diǎn)”，且甲、乙在地球與待測(cè)繪星球球心所連接線段所在直線上。利用這兩個(gè)“觀測(cè)點(diǎn)”，可以求得待測(cè)繪星球的半徑與兩星球的球心距。

于是，待測(cè)繪星球的半徑與兩星球的球心距就測(cè)出來(lái)了。

4. 三點(diǎn)測(cè)距：從“兩點(diǎn)一圓”到“三圓”

古代有一種測(cè)距方法，使遠(yuǎn)方的物體處于你的兩眼正中，分別使目標(biāo)—A（右手指）-C（右眼）；目標(biāo)-B（左手指）-D（左眼）處于同一直線上。這就構(gòu)成了兩個(gè)相似的等腰三角形，然后根據(jù)兩手指間距AB，兩眼間距CD，以及手、眼間距AC或BD，就可以測(cè)出目標(biāo)與人之間的距離。

在“簡(jiǎn)單近距宇宙”中，也可以采用類似的方法。分別在A、B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)作OA、OB及切線l1、l2，測(cè)量出lAB、∠α、∠β、∠OAB、∠OBA，可得：OB=R·sinβ，OA=R·sinα，所以△ABC可解，即

于是待測(cè)繪星球半徑及與A、B兩點(diǎn)間距離OA、OB就測(cè)出來(lái)了。

以上方法是用在當(dāng)你有兩個(gè)距離較遠(yuǎn)且距待測(cè)繪星球較近的“點(diǎn)”時(shí)。而如果你有兩顆星球時(shí)，則可以構(gòu)建“三球”模型。

在“三球”模型中，待測(cè)繪星球可視為四條切線所圍成的四邊形的內(nèi)切圓。當(dāng)然，也可以通過(guò)甲、乙兩個(gè)“地外數(shù)學(xué)測(cè)繪點(diǎn)”求解。

5. 總結(jié)

在“簡(jiǎn)單近距宇宙”中，質(zhì)量等屬性所帶來(lái)的影響極小，故而可以忽略，又因?yàn)樾求w數(shù)目在三個(gè)或以下（三點(diǎn)決定一個(gè)平面）故可以使用平面幾何來(lái)解決一些測(cè)繪問(wèn)題。

通過(guò)建立“地外數(shù)學(xué)測(cè)繪點(diǎn)”可以將地面上的測(cè)繪點(diǎn)“移”到天上。當(dāng)被測(cè)繪星球距離較近或體積較大時(shí)，可采用“雙測(cè)繪點(diǎn)模型”（3）。當(dāng)被測(cè)繪星球距離較遠(yuǎn)或體積較小時(shí)，可采用“兩點(diǎn)一圓”或“三圓”模型（4）。

總之，合理的排除一些干擾因素，并利用好“地球”、“地球-太陽(yáng)軌道”、“兩個(gè)已知飛船”等“量天尺”就可以在茫茫太空中建立坐標(biāo)系，進(jìn)行測(cè)繪。

（作者單位：山東省濟(jì)鋼高級(jí)中學(xué)，山東 濟(jì)南 250100）endprint