含參廣義向量擬均衡問題強有效解映射下半連續性最優條件

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(南昌航空大學 科技學院， 江西 南昌 330034)

含參廣義向量擬均衡問題強有效解映射下半連續性最優條件

孟旭東,郭林,張傳美

(南昌航空大學科技學院，江西南昌330034)

為了在賦范向量空間中研究含參廣義向量擬均衡問題弱有效解與強有效解映射的下半連續性，在近似錐-次類凸的條件下，運用標量化的方法得到弱有效解的標量化結果，并給出弱有效解與強有效解映射下半連續的最優條件。結果表明，2種有效解映射下半連續的最優條件具有統一性。

弱有效解；強有效解；解映射；下半連續性；含參廣義向量擬均衡問題

向量均衡問題是一類重要的數學模型，更是運籌學研究的熱點問題，主要包含向量優化、向量變分不等式、向量Nash平衡以及向量補問題。目前，諸多學者已經研究了各種類型向量均衡問題解的存在性[1-3]。同時，解的穩定性分析也是向量均衡理論研究的重要方向，特別是解映射的下半連續性[4-13]，受到廣大科研工作者的關注。文獻[4-11]中運用標量化的技巧，研究了向量均衡問題各種有效解或近似有效解映射的下半連續性。Peng等[12]運用標量化方法，在新假設條件下，給出含參廣義向量均衡問題弱有效解映射與強有效解映射的下半連續性。Li等[13]在實Hausdorff拓撲向量空間中借助標量化技巧，證明了含參廣義強向量均衡問題有效解映射的下半連續性。

受文獻[12]、[13]中思想的啟發，本文中在賦范向量空間中，引進一類含參廣義向量擬均衡問題，給出弱有效解與強有效解的概念；在近似錐-次類凸的條件下，得到弱有效解的標量化結果；在適當的假設條件下，得到含參廣義向量擬均衡問題強有效解映射的下半連續性。

1 預備知識

本文中設X、Y、Z、W為賦范向量空間，Y*為Y的拓撲對偶空間，C為Y中的閉凸點錐且intC≠○/，其中intC表示C的拓撲內部。記C的共軛錐為C*，即

C*={f∈Y*∶f(y)≥0,?y∈C}。

記C*的擬內部為C#，即

C#={f∈Y*∶f(y)>0, ?y∈C{0}}。

設D是Y的非空子集，D的閉包記為cl(D)，且D的錐包定義如下：

cone(D)={td∶t≥0,d∈D}。

凸錐C的一個非空凸子集B稱為C的一個基，如果C=cone(B)且0?cl(B)。顯然，C#≠○/當且僅當C有一個基。

設A?X為非空子集，F∶A×A→2Y{○/}為給定集值映射，考慮以下廣義向量均衡問題(GVEP)，找出x∈A，使得

F(x,y)∩(-C{0})=○/,?y∈A。

(1)

GVEP的全體有效解集記為V。

設Λ?Z,Ω?W為非空指標集，考慮以下含參廣義向量擬均衡問題(PGVQEP)。對每個(λ,μ)∈Λ×Ω，找出x∈A(x,λ)，使得

F(x,y,μ)∩(-C{0})=○/,?y∈A(x,λ)，

(2)

對每個(λ,μ)∈Λ×Ω， 將PGVQEP的全體強有效解集記為V(λ,μ)，即

V(λ,μ)={x∈T(λ)∶F(x,y,μ)∩

(-C{0})=○/,?y∈T(λ)}，

則V∶Λ×Ω→2X{○/}集值映射為式(2)的強有效解映射。

考慮以下廣義弱向量擬均衡問題(GWVQEP)，找出x∈A，使得

F(x,y)∩(-intC)=○/,?y∈A。

(3)

GWVQEP的全體有效解集記為Vw。

對每個(λ,μ)∈Λ×Ω，考慮以下含參廣義弱向量擬均衡問題(PGWVQEP)，找出x∈T(λ)，使得

F(x,y,μ)∩(-intC)=○/,?y∈T(λ)。

(4)

PGWVQEP的全體有效解集記為Vw(λ,μ)，即

Vw(λ,μ)={x∈T(λ)∶F(x,y,μ)∩(-intC)=○/,?y∈T(λ)}。

對每個f∈C*{0}，記Vf為GVEP的f-有效解，即

對每個f∈C*{0}及每個(λ,μ)∈Λ×Ω，記Vf(λ,μ)為PGVQEP的f-有效解，即

注PGVQEP有以下2種特殊情況：

1)如果W=Z，Λ=Ω，λ=μ，則PGVQEP為文獻[12]中所討論的廣義強向量均衡問題，即，對每個μ∈Λ，找出x∈A(μ)，使得

F(x,y,μ)∩(-C{0})=○/,?y∈A(μ)，

2)如果W=Z=Λ=Ω，λ=μ，則PGVQEP為文獻[3]中所討論的廣義強向量均衡問題，即，對每個μ∈Λ，找出x∈A(μ)，使得

F(x,y,μ)?-C{0}，?y∈A(μ)，

其中A∶Λ→2X{○/}為集值映射，F∶X×X×Λ→Y為給定向量值映射。

假設對每個f∈C*{0}及(λ,μ)∈Λ×Ω，Vf(λ,μ)≠○/，研究強有效解映射的下半連續性。

定義1[5]稱x∈A為GVEP的正真有效解，如果存在f∈C#，使得

設G∶Λ→2X為給定的集值映射，給定λ0∈Λ。

定義2[14]1)稱G在點λ0∈Λ處是下半連續的，如果對任何開集V?X,滿足G(λ0)∩V≠○/，存在λ0的鄰域U(λ0)，使得G(λ)∩V≠○/，?λ∈U(λ0)。

2)稱G在點λ0∈Λ處是上半連續的，如果對任何開集V?X，滿足G(λ0)?V，存在λ0的鄰域U(λ0)， 使得G(λ)?V，?λ∈U(λ0)。

3)稱G在點λ0∈Λ處是閉的，如果對于每個(λn,xn)∈graph(G)={(λ,x)∶λ∈Λ，x∈G(λ)}(n∈)，滿足(λn,xn)→(λ0,x0)，則有(λ0,x0)∈graph(G)。

4)稱G在Λ上為下半連續(上半連續)的，如果G在Λ上的每一點處都是下半連續(上半連續)的；稱G在Λ上為連續的，如果G在Λ上既上半連續又下半連續。

定義3[15]設X，Y為實Hausdorff拓撲向量空間，A?X為非空子集，G∶X→2Y為集值映射。G在A上稱為近似C-次類凸的，如果clcone[G(A)+C]為Y中的凸集。

引理1[14]1)G在點λ0∈Λ處下半連續，當且僅當對任何序列{λn}?Λ，λn→λ0，以及任何x0∈G(λ0), 存在xn∈G(λn)，使得xn→x0。

2)如果G為緊值的，即對每個λ∈Λ，G(λ)為緊集，則G在點λ0∈Λ處上半連續，當且僅當對任何序列{λn}?Λ，λn→λ0，以及任何xn∈G(λn)，存在x0∈G(λ0)及子列{xnk}?{xn}(k∈)，使得xnk→x0。

在論證PGVQEP的強有效解映射的下半連續性時，引理2具有重要作用。

2 下半連續性

引理3 設intC≠○/，對每個(λ,μ)∈Λ×Ω，及每個x∈T(λ),F(x,·,μ)在T(λ)上近似C-次類凸， 則

記B(y0,δ)為Y中以y0∈Y為中心，以δ>0為半徑的開球。為了討論PGVQEP強有效解映射在Λ×Ω上的下半連續性，首先證明Vf(·,·)在Λ×Ω上的下半連續性。

引理4 設f∈C*{0}，假設以下條件成立：

1)T(·)在Λ上連續且具非空緊值；

2)F(·,·,·)在E×E×Ω上下半連續且具有非空緊值；

則Vf(·,·)在Λ×Ω上下半連續。

證明：假設存在(λ0,μ0)∈Λ×Ω，使Vf(·,·)在(λ0,μ0)處不是下半連續的。于是存在序列{(λn,μn)}?Λ×Ω，(λn,μn)→(λ0,μ0)且x0∈Vf(λ0,μ0)，因此對任意xn∈Vf(λn,μn)有xn→/x0。

(5)

根據yn∈Vf(λn,μn)及T(·)在λ0處上半連續且具有緊值，由引理1的2)可知，存在y0∈T(λ0)以及子列{ynk}?{yn}，使得ynk→y0。特別地，由式(5)得，

(6)

f(zynk)≥0且f(zx0)≥0。

(7)

在式(7)中，令nk→+∞注意到f的連續性，有

f(zy0)≥0。

(8)

根據式(7)、(8)及f的線性性質，得

f(zx0+zy0)=f(zx0)+f(zy0)≥0。

(9)

再由式(6)可知，

(10)

在式(10)中，令nk→+∞注意到C的閉性，有

(11)

假設y0≠x0， 由式(11)可知，zx0+zy0∈-intC， 再根據f∈C*{0}， 得f(zx0+zy0)<0， 這與式(9)矛盾。 由此可知，y0=x0， 這與已知條件矛盾， 則Vf(·,·)在Λ×Ω上下半連續。

定理1 設f∈C*{0}，假設以下條件成立：

1)T(·)在Λ上連續且具有非空緊值；

2)F(·,·,·)在E×E×Ω上下半連續且具有非空緊值；

3)對每個(λ,μ)∈Λ×Ω，x∈T(λ)Vf(λ,μ)， 存在y∈Vf(λ,μ)， 使得

4)對每個(λ,μ)∈Λ×Ω，及每個x∈T(λ)，F(x,·,μ)在T(λ)上近似C-次類凸；則Vw(·,·)在Λ×Ω上下半連續。

證明：對每個(λ,μ)∈Λ×Ω以及每個x∈T(λ)，由F(x,·,μ)在T(λ)上近似C-次類凸。由引理3可知，

由引理4可知，對每個f∈C*{0}，Vf(·,·)在Λ×Ω上下半連續。再由引理2可知，Vw(·,·)在Λ×Ω上下半連續。

根據文獻[5]、[17]中的思想，在適當的條件下，GVEP的正真有效解集在GVEP的有效解集中稠密。定義集值映射H∶C*→2A為

引理5 假設以下條件滿足：

1)A為X的非空緊子集；

2)F(·,·)在A×A上下半連續并且具有非空緊值；

3)D=F(A,A)為Y的有界緊子集；

4)對每個f∈C*{0}，x∈AVf，存在y∈Vf，使得

則H(·)在C*上下半連續，其中C*為C在Y中關于強拓撲β(Y*,Y)的共軛錐。

證明：假設存在f0∈C*，使得H在f0處不是下半連續的，則存在序列{fn}?C*{0}，fn→f0，x0∈H(f0)， 其中fn→f0指fn關于強拓撲β(Y*,Y)收斂于f0，使得對任何x0∈H(fn)，xn→/x0。

(12)

根據yn∈H(fn)=Vfn，有yn∈A。由A為緊集可知，存在yn∈A及子列{ynk}?{yn}滿足ynk→y0，使得

(13)

fnk(zynk)≥0。

(14)

由f的連續性可知，

(15)

由3)可知，D=F(A,A)為Y的有界子集，定義

易知，PD為Y*中的半范。 對任何ε>0，U={y*∶PD(y*)<0}為Y中關于強拓撲β(Y*,Y)的零元鄰域。由fn→f0可知，存在N0∈N+，使得fn-f0∈U，?n≥N0。于是，

對每個x∈A，y∈A，及z∈F(x,y)，有

|(fn-f0)(z)|=|fn(z)-f0(z)|<ε，?n≥N0。

|(fnk-f0)zynk|=|fnk(zynk)-f0(zynk)|<ε，?nk≥N0。

由此可知，

(16)

由式(14)可知，fnk(zynk)-f0(zynk)≥-f0(zynk)，因此

再結合式(15)與(16)可知，

f(zy0)≥0。

(17)

另一方面，根據x0∈Vf0及zx0∈F(x0,y0)，有

f(zx0)≥0。

(18)

再根據f的線性性質，得

f(zx0+zy0)=f(zx0)+f(zy0)≥0。

(19)

(20)

在式(20)中，令nk→+∞，并且注意到C的閉性，有

(21)

設zx0≠zy0，由式(21)得，zx0-zy0∈-intC，又f∈C*{0}，于是

f(zx0+zy0)<0。

(22)

這與式(19)矛盾，因zx0=zy0，這又與已知矛盾，由此可知，H(·)在C*上下半連續。

引理6 設C*≠○/且intC≠○/，假設以下條件成立：

1)A為X的非空緊凸子集；

2)D=F(A,A)為Y的有界緊子集；

3)F(·,·)在A×A上下半連續并且具有非空緊值；

4)每個x∈A，F(x，·)在A上近似C-次類凸；

5)對每個f∈C*{0}，x∈AVf， 存在y∈Vf，使得

證明：對每個f∈C#由記號Vf,V,Vw的意義可知

(23)

對每個x∈A，F(x,·)在A上近似C-次類凸，由引理3可知，

(24)

由式(23)、(24)可知，

(25)

fk=f0+g/k,

則fk∈C#，且fk關于強拓撲β(Y*,Y)收斂于f0。

對關于強拓撲β(Y*,Y)的任何零元鄰域U， 存在有界集Bj?Y(j=1, 2, …,l，l∈+)及ε>0，使得

由Bj有界且g∈Y*可知，|g(Bj)|有界，則存在N0，使得

(26)

由式(25)、(26)可知，

定理2 設C#≠○/且intC≠○/。假設以下條件滿足

1)T(·)在Λ上連續且具有非空緊值；

2)對每個(λ,μ)∈Λ×Ω，F[T(λ),T(λ),{μ}]為Y的有界緊子集；

3)對每個(λ,μ)∈Λ×Ω，每個x∈T(λ),F(x,·,μ)在T(λ)上近似C-次類凸；

4)F(·,·,·)在E×E×Ω上下半連續且具有非空緊值；

5)對每個f∈C*{0}， 以及每個x∈T(λ)Vf(λ,μ)，存在y∈Vf(λ,μ)，使得

則V(·,·)在Λ×Ω上下半連續。

證明：由引理6，有

(27)

設對任何(λ0,μ0)∈Λ×Ω，則V(·,·)必在(λ0,μ0)處下半連續。

于是，存在f0∈C#使得

Vf0(λ0,μ0)∩ [x+U(0x)]≠○/。

由引理4可知，Vf0(·,·)在(λ0,μ0)處下半連續。對以上U(0x)，存在(λ0,μ0)的鄰域U(λ0)×U(μ0)，使得

Vf0(λ,μ)∩[x+U(0x)]≠○/,

?(λ,μ)∈U(λ0)×U(μ0)。

(28)

根據Vf0(λ,μ)?V(λ,μ)，結合式(28)，有

V(λ,μ)∩[x+U(0x)]≠○/,

?(λ,μ)∈U(λ0)×U(μ0)。

即V(·,·)在(λ0,μ0)處下半連續。再由(λ0,μ0)的任意性可知，V(·,·)在Λ×Ω上下半連續。

3 結論

1)在賦范向量空間中，引進一類含參廣義弱向量擬均衡問題和含參廣義向量擬均衡問題，給出含參廣義弱向量擬均衡問題的弱有效解與含參廣義向量擬均衡問題的f-有效解及強有效解的概念。

2)在錐-次類凸的條件下，運用標量化技巧，得到含參廣義弱向量擬均衡問題弱有效解的標量化結果在適當的假設條件下，給出含參廣義向量擬均衡問題強有效解映射下半連續的充分性條件。

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OptimalConditionsforLowerSemicontionuityofStrongEfficientSolutionMappingtoParametricGeneralizedVectorQuasi-equilibriumProblems

MENGXudong,GUOLin,ZHANGChuanmei

(Science and Technology College, Nanchang Hangkong University, Nanchang 330034, China)

To study the lower semicontionuity of weak efficient solution and strong efficient solution mappings to parametric generalized vector quasi-equilibrium problems in normed vector spaces, under the condition of nearly cone-subconvexlike, characterization of weak efficient solution was gained by using the scalar method. The optimal conditions for the lower semicontionuity of weak efficient solution and strong efficient solution mappings were given. The results show that the optimal conditions for lower semicontionuity of the two solution mappings is unified.

weak efficient solution; strong efficient solution; solution mapping; lower semicontionuity; parametric genera-lized vector quasi-equilibrium problems

2016-06-02 < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2017-12-13 16:48

國家自然科學基金項目(11061023，11201216); 江西省教育廳科學技術研究項目(GJJ161597)

孟旭東(1982—)，男，江西南昌人。講師，碩士，研究方向為向量優化理論。電話：13732936695，E-mail：mxudongm@163.com。

http://kns.cnki.net/kcms/detail/37.1378.N.20171212.1637.016.html

1671-3559(2018)01-0053-07

10.13349/j.cnki.jdxbn.2018.01.008

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(責任編輯:王耘)