解答幾何問題的幾點技巧

龔柏源

解答幾何問題的幾點技巧

龔柏源

幾何問題屬于高中階段數學一大難點，其難點在于偶然龐大的計算量與靈活多變的解題模式。幾何問題很少有固定的解題模式，因此在面臨幾何問題時候有的學生感覺頭疼。本文就解決幾何問題的幾點技巧做簡要闡述。

在我國中學階段，涉及到幾何問題有平面幾何以及立體幾何兩種，高中階段主要是平面幾何的計算，較少會考到平面幾何的證明，立體幾何則證明題與計算題都比較常見。關于解答幾何問題，下面就解答幾何問題的幾點技巧進行闡述。

建立適當坐標系

無論是平面幾何還是立體幾何，解決幾何問題最簡單的方法就是建立坐標系，建立坐標系后的思路比起傳統的證明方法來要更清晰，因此當在思考傳統方法的途徑上有一定問題時，不妨就將幾何圖形放在坐標系中，通過坐標系解決該類問題。但在建立坐標系時，要注意確定坐標系原點與幾何圖形的關系。一般說來，是將幾何圖形的某一定點作為坐標系原點，這些定點中，又以幾何圖形的頂點或對稱點為坐標原點的最為常見。在解決實際問題時候，要根據實際問題選擇對應的坐標系建立方法，不能夠生搬硬套。

例如：拋物線上有兩點P、Q，這兩點的連線必定經過拋物線焦點F，拋物線頂點為O，焦點到頂點的距離為a，試求△OPQ的最小面積。

圖1

解析：該題要直接解答并不容易，因此，考慮以F為坐標原點，建立坐標系。同時，假設PQ與x軸所形成的夾角為θ，如圖1，因此，就可以建立以θ為未知數的拋物線方程：k∈Z）。于是，就可以用a來表示|PQ|，可以得到|PQ|=：，通過這樣的表示，再從三角形的面積上入手，可以將三角形面積看作是△POF與△QOF的面積相加，或者直接利用OF與△PQO高的位置關系，都能夠得到S△POQ的表達式，最終得到其表達式為通過三角函數，就能夠知道當：θ=時，所求三角形的面積取得最小值，這個值為2a2。

在遇到幾何問題時候，需要根據問題建立一個適當的坐標系，如果坐標系建立不夠恰當，如上題，若以O點為原點建立坐標系，原本方程組就不再適合較好地用未知數：θ表示，故而在建立坐標系時，要根據實際情況建立。

注重數與形的相互轉換

在高中階段的數學幾何問題中，數量關系與圖形關系是解決幾何問題的一個重要途徑。在計算過程中，與高中階段幾何問題牽涉比較大的為參數方程、韋達定理、弦長公式等等，這些比較重要的公式定理靈活運用到幾何問題當中能夠在很大程度上減少計算量，提高幾何問題計算的正確率。其中，參數方程的參數理解不僅對于利用數字解決最值問題有很大幫助，同時在建立坐標系、建立數學表達式等方面也很有幫助，韋達定理主要運用到交點橫縱坐標的數量關系上，弦長公式通常會涉及到利用韋達定理求兩點橫坐標的和值或乘積。

例如：已知拋物線方程y2=2px，（p＞0），有一條通過拋物線焦點的直線y=m-x與拋物線交于兩點，這兩點的距離為2，求p。

12以后，利用韋達定理去求y1、y2的和與積。得：y1+y2=-2p，y1y2=-p2，因此，將這兩個結果與弦長的計算結果整合到一起，最終

確定定量與變量

在幾何問題中，常常會有定量、定點，變量、動點，著兩種相互對立的點之間一般會要求學生去尋找他們之間的關系。遇到這種題型時候，當不存在定點時，需要構造定點，便于研究動點關系。在實際解題過程中，定點對于解決問題的幫助十分重大。也就是說，在確定定點時候需要靈活將定點確定，防止定點向其他動點轉換，或防止因為參考定點的確定不當，而造成最終計算量十分龐大，導致相關問題的解答出現問題。這里就立體幾何的點線面確定簡析。

例如：如圖2，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，正方體各邊棱長為1，線段BD與AC交于點O，M在線段D1O上移動，過M做一條直線與面ACD1垂直，這條直線與平面A1B1C1D1交于點N，求N到點A的最小距離。

圖2

解析：通過傳統方法解決這一類型問題的關鍵在于找到與A點有最小距離的N點。如圖4，連接B1D1，可以知道N點的軌跡在B1D1上，因此，在△AB1D1中，就將問題轉化為A點到底邊B1D1的最小距離，根據點與線距離關系可以知道，過A點做底邊B1D1的垂線，這條垂線段的長度就是A點到底邊距離的最小值。通過△AB1D1又能夠知道，這個三角形是一個等邊三角形，因此可以過A點做底邊的垂線三線合一，由此，就能夠得到N點與A點的最小距離

在解決這一類圖形問題時候，往往都會利用到一個比較特殊的位置關系，射影，靈活應用線與平面構成的射影能夠解決諸多立體幾何問題。這道題的關鍵是將N點所可能的范圍確定了出來，而其中用于確定其移動范圍的是利用了平面之間的位置關系。

數學幾何問題是高中階段常考難點，它的難點往往在計算與邏輯分析上，對于計算，只要靈活運用韋達定理以及弦長公式等等，就能夠很大程度縮小計算量。在邏輯分析上，確定定量與變量的關系，或建立與幾何圖形適應的坐標系，都能夠較好對問題進行邏輯分析。

長沙市長郡中學）