基于Kelly公式的倉位管理策略及經(jīng)驗證據(jù)

王志強，張 聰(東北財經(jīng)大學 金融學院，遼寧 大連 116025)

·金融與投資·

基于Kelly公式的倉位管理策略及經(jīng)驗證據(jù)

王志強，張 聰
(東北財經(jīng)大學 金融學院，遼寧 大連 116025)

基于Kelly公式及其擴展模型，本文在倉位管理理論分析的基礎上，用中國A股市場部分指數(shù)對最優(yōu)倉位估計和倉位管理策略進行了經(jīng)驗分析。研究結果表明：(1)中國A股市場中存在實現(xiàn)資產(chǎn)長期增長率最大化的最優(yōu)倉位，進行倉位管理是有利可圖的。(2)倉位管理的額外回報源于其高杠桿。(3)簡單動態(tài)倉位管理策略無法達到最優(yōu)倉位，會造成資產(chǎn)的重大損失。(4)經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位管理策略能夠顯著提高資產(chǎn)增長率，但不能完全戰(zhàn)勝買入持有策略。(5)買賣信號增強的經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位管理策略能夠完勝買入持有策略，尤其是對偏重于大市值的指數(shù)效果更佳。

Kelly公式；倉位管理；波動率；交易杠桿；技術分析

一、問題的提出

倉位(Position)指投資者的風險資產(chǎn)市值占其總資產(chǎn)(風險資產(chǎn)+無風險資產(chǎn))市值的比率。倉位與組合之間的區(qū)別在于，倉位考察某類或某種風險資產(chǎn)占總資產(chǎn)的比率，而組合考察不同種類資產(chǎn)之間的比重。倉位管理關注的是風險資產(chǎn)價格波動給投資者帶來的損失，倉位管理的目標是使得投資者資產(chǎn)的長期增長率最大，是一個多期投資決策問題，其核心在于應對風險資產(chǎn)收益波動的不對稱性；組合選擇關注的是不同種類資產(chǎn)之間的搭配給整個組合帶來的收益與風險變化，組合選擇的目標是組合的效用最大化，是一個單期投資決策問題，其核心在于應對不同資產(chǎn)收益之間的相關性。

倉位管理的一個理論基礎是Kelly公式，它是Kelly[1]通過研究博彩者在追求財富長期增長最大化的目標下如何選擇投注而得到的。Kelly[1]的研究結果顯示，在一個可以進行無限次投注的博彩游戲中，博彩者每次按其財富的某一比率(被稱之為最優(yōu)投注比率)進行投注，可以使得自己的財富長期增長最大。當然，該模型假設博彩者的財富是無限可分的，且所有財富(包括本金和利潤)都可以用于博彩游戲。將Kelly公式應用到股票市場，計算出其最優(yōu)投注比率，就是我們需要的最優(yōu)倉位[2]。考慮到股票價格的波動特點，其中需要假設：(1)投資者的目標是使資產(chǎn)長期增長率最大化。(2)每期投資僅在股票資產(chǎn)(可以是個股也可以是股票組合或指數(shù))和現(xiàn)金之間選擇。(3)股票價格變動遵循幾何布朗運動，這意味著股票短期收益率近似服從正態(tài)分布，每期收益率獨立同分布。結果顯示，最優(yōu)倉位與股票收益率的期望值正相關，與股票收益率的方差負相關。投資者應根據(jù)對未來收益率及其波動的預期來決定做多還是做空，是加倉還是減倉，是提高杠桿還是降低杠桿。簡言之，由于股票收益波動存在不對稱性，最優(yōu)倉位能夠讓投資者在損失的情況下不至于傷筋動骨，在盈利的情況下盡可能實現(xiàn)快速增值。

后續(xù)的相關研究主要圍繞上述三個假設或放松或擴展進行展開：(1)由于資產(chǎn)長期增長率的目標函數(shù)中沒有考慮風險因素，因而許多研究者將該目標函數(shù)擴展到包含風險的各種效用函數(shù)。(2)部分研究將一項風險資產(chǎn)擴展到多項風險資產(chǎn)，并考慮各項風險資產(chǎn)之間的相關性。(3)考慮風險資產(chǎn)的收益率并不獨立同分布于正態(tài)分布，而是具有尖峰厚尾和時間序列相關特性，因而部分研究主要采用經(jīng)驗研究方法考察Kelly公式的實用效果。

在目標函數(shù)方面，Samuelson[3]將最大化資產(chǎn)長期增長的目標函數(shù)換成冪效用函數(shù)考察最優(yōu)倉位，研究結果顯示，最優(yōu)倉位獨立于投資者的財富水平，每期中投資者根據(jù)其總資產(chǎn)的某一比率投資于風險資產(chǎn)。Hakansson[4]采用四種效用函數(shù)(包括正冪效用函數(shù)、負冪效用函數(shù)、對數(shù)效用函數(shù)和指數(shù)效用函數(shù))將Samuelson[3]的研究問題擴展到更一般的形式，得到類似結果。Merton和Samuelson[5]將最大化資產(chǎn)長期增長的目標函數(shù)簡單直接地擴展為對數(shù)效用函數(shù)，結果發(fā)現(xiàn)將其用于多期投資決策時風險較高。Miller[6]的研究結果表明，當投資期限趨近無窮大時，最大化資產(chǎn)的期望對數(shù)效用函數(shù)所得到的投資比重是最優(yōu)的，此時資產(chǎn)的長期增長率主要取決于資產(chǎn)的期望收益率。Aucamp[7]的研究結果顯示，在跨期和不確定環(huán)境中，采用最優(yōu)倉位策略進行投資的話，需要非常長的投資期限才能實現(xiàn)資產(chǎn)長期增長最大化的目標。但從中期來看，只要資產(chǎn)風險較小，最優(yōu)倉位策略優(yōu)于其他策略。Maclean等[8]模擬了Kelly最優(yōu)倉位策略中期運行效果，其研究表明Kelly最優(yōu)倉位策略不但可以實現(xiàn)資產(chǎn)長期增長的最大化，而且能夠避免破產(chǎn)的發(fā)生，另外還優(yōu)于所有其他策略。

擴展到多項資產(chǎn)情形，Maslov和Zhang[9]假設組合中各資產(chǎn)價格變動遵循多維幾何布朗運動，將單項資產(chǎn)形式擴展到多項資產(chǎn)形式，得到與單項資產(chǎn)形式類似的結果。Medo等[10]考察了相互獨立的多項資產(chǎn)情形，結果顯示，在不超過5項資產(chǎn)的情形下，能夠得出最優(yōu)倉位的解析解；超過5項資產(chǎn)，只能采用數(shù)值方法近似求解。Medo和Zhang[11]考察了存在相關性的多項資產(chǎn)情形，結果發(fā)現(xiàn)，組合中風險資產(chǎn)之間的正相關會導致組合中資產(chǎn)的配置比重相應減少。

在經(jīng)驗分析方面，Samuelson[12]的研究結果顯示，從長期來看，采用最優(yōu)倉位策略的基金經(jīng)理將獲得更多的資產(chǎn)增長；即使風險資產(chǎn)的期望收益為正，Kelly最優(yōu)倉位策略在長期投資期限內(nèi)也可能出現(xiàn)虧損，在實際運用時要做好風險控制；相對于基于其他效用函數(shù)的倉位管理策略，Kelly最優(yōu)倉位策略最優(yōu)。Rotando和Thorp[13]基于S&P500指數(shù)考察了Kelly最優(yōu)倉位策略的實用效果，發(fā)現(xiàn)其具有相對比較優(yōu)勢。Maclean等[14]基于資產(chǎn)增長與安全的測度方法考察了動態(tài)投資過程中資產(chǎn)增長與安全問題，研究表明，風險資產(chǎn)的配置比重不能超過Kelly最優(yōu)倉位。如果風險資產(chǎn)的配置比重超過Kelly最優(yōu)倉位，投資風險增加，資產(chǎn)增長率降低，他們認為Kelly最優(yōu)倉位策略優(yōu)于其他策略。Anderson和Faff[15]用五分鐘高頻期貨數(shù)據(jù)對Kelly最優(yōu)倉位策略進行回測和檢驗，結果表明，倉位管理策略在期貨交易中非常重要，只有清楚倉位管理的可行范圍，才能避免破產(chǎn)，同時實現(xiàn)資產(chǎn)長期增長率的最大化。

國內(nèi)對基于Kelly公式的倉位管理研究相對較少。凌士勤[16]提出了基于VAR及Kelly增長體系的“基于最優(yōu)增長路徑的增長-安全模型”，并在離散條件下，用基于情景分析的方法考察了模型的實用效果，他認為該模型可作為投資活動的一種實踐工具。羅勇[17]基于Kelly理論，建立了風險約束下的Kelly動態(tài)投資組合模型，采用理論模型和經(jīng)驗分析研究了在最大資金衰落與交易成本約束下的基金資產(chǎn)動態(tài)最優(yōu)增長問題。

綜上所述，筆者認為，已有的相關研究存在兩個不足：第一，理論模型的假設與現(xiàn)實不完全相同致使Kelly最優(yōu)倉位管理策略的效果無法保證。事實上，許多證據(jù)顯示風險資產(chǎn)收益率并不獨立同分布于正態(tài)分布，而是具有尖峰厚尾和時間序列相關特性，這要求Kelly最優(yōu)倉位管理策略的實效性需要回測與檢驗。第二，已有的國內(nèi)外相關研究并沒有告訴我們Kelly最優(yōu)倉位管理策略在中國A股市場中是否適用。鑒于此，本文嘗試采用中國A股部分指數(shù)對Kelly最優(yōu)倉位管理策略進行回測和檢驗，在此基礎上尋求更好的倉位管理策略。

本文的可能貢獻在于：第一，首次嘗試采用中國A股市場指數(shù)回測與檢驗最優(yōu)倉位的存在性，我們確定最優(yōu)倉位存在于中國A股市場，且其額外回報來源于投資者對交易杠桿的使用。第二，首次提出采用波動率調(diào)整和買賣信號增強的方法動態(tài)調(diào)整倉位，經(jīng)驗檢驗結果證明該方法可以極大地提高投資者的收益率。

二、基于Kelly公式的倉位管理理論分析

(一)基本模型：Kelly公式

假設一個博彩者的初始財富為W0，該博彩者可以將其財富的一部分不斷重復地投入到一個風險游戲中。每輪游戲中，博彩者贏的概率為p，輸?shù)母怕蕿?-p，如果獲勝，博彩者可以得到投注的兩倍，否則失去投注。若每輪游戲中博彩者的收益率為Rt，則博彩者贏時Rt=1，博彩者輸時Rt=-1。若博彩者每次下注比率(或投入比率，我們稱之為倉位)為f，那么T期期末投資者的財富WT為：

(1)

由于每輪游戲中博彩者的收益率Rt可以視為獨立同分布于兩點分布(1,-1; p,1-p)，因而博彩者的資產(chǎn)長期指數(shù)增長率為[1]：

(2)

最大化式(2)獲得最優(yōu)倉位為：

f*=(2p-1)×100%

(3)

式(3)顯示，如果贏的概率大于1/2，博彩者就下注，其最優(yōu)下注比率隨著概率增加而增加。譬如，贏的概率p=0.6000時最優(yōu)下注比率為20%，此時博彩者的資產(chǎn)長期指數(shù)增長率為2.03%。

(二)擴展模型：Kelly公式的擴展

將Kelly公式應用到股票市場，同時考慮到股票市場的特點，我們假設投資者每期的收益率獨立同分布于兩點分布(rw, -rl; p, 1-p)，則投資者的資產(chǎn)長期指數(shù)增長率為：

(4)

最大化式(4)可以得到最優(yōu)倉位為：

f*=[prw-(1-p)rl]/rwrl×100%=E(R)/rwrl×100%

(5)

式(5)顯示，如果期望收益為正，投資者應該做多；如果期望收益為負，投資者應該做空。投資者的最優(yōu)倉位大小與期望收益正相關，與rwrl負相關。實際上，由于該兩點分布的方差為Var(R)=p(1-p)(rw+rl)2，可以證明，當p和E(R)固定不變的情況下，rwrl會隨著方差Var(R)增加而增大。因此，我們可以推出，該兩點分布的方差越大，最優(yōu)倉位f*越小。這意味著，投資者的最優(yōu)倉位大小與兩點分布的方差負相關。

考慮到股票收益率服從兩點分布的假設較為特殊，我們將假設改為常用的假設：股票價格S的變動遵循幾何布朗運動，即dS=Sdt+Sdz，在此假設下股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布，股票的短期收益率近似服從正態(tài)分布N(-2/2,)。考慮一個由股票和無風險資產(chǎn)組成的組合，其倉位(或投資比率)分別為f和1-f，無風險收益率記為r，則投資者的資產(chǎn)長期指數(shù)增長率為：

g=fμ-1/2(fσ)2+(1-f)r

(6)

最大化式(6)可以得到最優(yōu)倉位為：

f*=(μ-r)/σ2×100%

(7)

基于式(7)，我們從理論上進一步證明了最優(yōu)倉位與股票收益率的期望值正相關，與股票收益率的方差負相關。這表明，在收益率的方差不變的條件下，預期收益越高，最優(yōu)倉位越大，投資者的資產(chǎn)長期增長速度就越快；在期望收益率不變的條件下，收益率的方差越大，最優(yōu)倉位越小，投資者的資產(chǎn)長期增長速度就越快。投資者應根據(jù)對未來收益率及其波動的預期，來決定做多還是做空，是加倉還是減倉，是提高杠桿還是降低杠桿。

需要說明的是，最優(yōu)倉位的計算公式建立在不同時期的投資收益是獨立同分布的，且每期的倉位是固定的。實踐中，很多經(jīng)驗證據(jù)顯示股票收益具有均值回復特點，且股價波動具有聚集效應，即股價波動在一段時期內(nèi)較小而下一段時期較大，周而復始。

三、最優(yōu)倉位估計：來自中國A股部分指數(shù)的經(jīng)驗證據(jù)

(一)最優(yōu)倉位測算

在下文的具體分析過程中，我們選擇中國A股市場中7個主要指數(shù)對最優(yōu)倉位進行回測和檢驗，這7個指數(shù)分別是滬深300指數(shù)、上證指數(shù)、上證50指數(shù)、上證180指數(shù)、深圳成份指數(shù)、中小板指數(shù)和創(chuàng)業(yè)板指數(shù)。之所以選擇指數(shù)進行回測和檢驗，是因為指數(shù)收益率相對于個股收益率更接近正態(tài)分布，這一結果獲得許多經(jīng)驗證據(jù)支持，同時也是因為部分指數(shù)可以通過相關的衍生產(chǎn)品進行杠桿交易或做空交易。我們使用這7個指數(shù)周收益率的全部樣本分別估計其樣本均值和樣本方差，根據(jù)式(7)計算其最優(yōu)倉位，這里我們不考慮閑置資金的無風險投資收益，即假設r=0，則f*=μ/σ2×100%。考慮到現(xiàn)行的漲跌停限制始于1996年年底，此前的股市波動幅度顯著高于此后的股市，譬如，1995年5月15日至1995年5月19日上證指數(shù)上漲超過46%，1996年12月2日至1996年12月6日上證指數(shù)上漲超過17%，1996年12月16日至1996年12月20日上證指數(shù)下跌超過20%，我們對較早開始的上證指數(shù)和深圳成份指數(shù)增加了1997年之后的樣本區(qū)間進行回測和檢驗。具體測算結果如表1所示。

表1 基于指數(shù)的最優(yōu)倉位估計與收益率測算 單位：周，%

注：周均收益率是指樣本區(qū)間內(nèi)總收益率的幾何平均收益率。下同。

從表1可以看出，第一，除了上證指數(shù)在1990年12月21日至2017年8月25日樣本區(qū)間內(nèi)的最優(yōu)倉位估計值下周均收益率(0.2435%)低于該區(qū)間內(nèi)買入持有的周均收益率(0.2534%)之外，其他指數(shù)的最優(yōu)倉位估計值下周均收益率均高于該區(qū)間內(nèi)買入持有的周均收益率。這表明，有一個更好的倉位能夠讓投資指數(shù)的長期收益超過簡單被動的買入持有收益。第二，除了上證指數(shù)在1990年12月21日至2017年8月25日樣本區(qū)間內(nèi)的最優(yōu)倉位估計值(0.9202)小于1之外，其他指數(shù)的最優(yōu)倉位估計值都大于1，這表明為實現(xiàn)高于買入持有策略的資產(chǎn)增長率，投資者應該借助杠桿手段加大倉位。第三，滬深300指數(shù)和中小板指數(shù)的最優(yōu)倉位估計值下周均收益率顯著高于該區(qū)間內(nèi)買入持有的周均收益率，其他指數(shù)不明顯。這表明，采用式(7)計算出的最優(yōu)倉位估計值在實際應用時應該慎重。需要說明的是，上述經(jīng)驗結果并沒有考慮交易成本因素的影響，部分結果在實踐中的效果有待進一步考察。

(二)不同倉位下收益率測算與比較

表1的結果只能告訴我們，根據(jù)式(7)計算出的最優(yōu)倉位估計值能夠讓投資指數(shù)的長期收益超過簡單被動的買入持有收益，但是并不能說明該估計值就是最優(yōu)倉位，因為我們并沒有證明該最優(yōu)倉位估計值下周均收益率高于其他倉位下的周均收益率。下面，我們以滬深300指數(shù)為例，考察最優(yōu)倉位估計值下周均收益率是否高于其他倉位下的周均收益率，如果該估計值下周均收益率均高于其他倉位下的周均收益率，則證明該估計值是最優(yōu)倉位，否則不是。為此，我們圍繞滬深300指數(shù)的最優(yōu)倉位估計值(1.8990)，以0.1000為間隔向前向后各選擇9個倉位計算其樣本區(qū)間內(nèi)總收益率和周均收益率，如表2所示。

表2 不同倉位下的收益率測算：基于滬深300指數(shù)周收益 單位：%

從表2可以看出，倉位在1.9000下總收益率(447.7328%)和周均收益率(0.2703%)最高，樣本區(qū)間內(nèi)其他倉位下總收益率和周均收益率均相對較小。這表明，1.9000的倉位具有相對較強的長期收益優(yōu)勢。

為了反映全貌，我們將小于1.0000的倉位下總收益率和周均收益率也進行了計算，如圖1和圖2所示。很明顯，在我們所考察的樣本區(qū)間內(nèi)最優(yōu)倉位是1.9000。因此，結合從表1中得出的結果，我們認為，中國A股市場中存在資產(chǎn)長期增長目標下的最優(yōu)倉位，倉位管理是一件應該考慮和值得去做的事情，投資者應該借助杠桿手段加大倉位，以實現(xiàn)資產(chǎn)的長期高增長。

圖1 總收益率隨倉位大小的變化 圖2 幾何平均收益率隨倉位大小的變化

四、動態(tài)倉位管理策略的經(jīng)驗證據(jù)

上文對最優(yōu)倉位的估計與檢驗中，采用的是固定倉位方法，即整個樣本區(qū)間內(nèi)倉位是固定的，但是這可能會引起前視偏差(Look-Ahead Bias)，在實踐中是行不通的。因此，實際操作中我們必須根據(jù)可獲取的相關數(shù)據(jù)，判斷是否采取動態(tài)調(diào)整倉位的管理策略進行倉位管理。本部分我們檢測簡單動態(tài)倉位管理策略、經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位管理策略、考慮買賣信號的簡單動態(tài)倉位管理策略和考慮買賣信號的經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位管理策略。

(一)簡單動態(tài)倉位管理策略

一種最簡單的動態(tài)倉位管理策略是基于當期已有數(shù)據(jù)估計收益率的期望和方差，根據(jù)式(7)計算最優(yōu)倉位，依據(jù)該最優(yōu)倉位建倉，下一期加入最新數(shù)據(jù)滾動計算新的最優(yōu)倉位，再依據(jù)新的最優(yōu)倉位進行調(diào)倉，以此類推。我們采用過去50周(約一年)的周收益率估計當期期望和當期方差，根據(jù)式(7)計算最優(yōu)倉位，然后計算當期收益率，滾動計算直至樣本期結束，最后計算整個樣本區(qū)間內(nèi)總收益率和幾何平均周收益率。具體測算結果列于表3的左邊。從表3可以看出，簡單動態(tài)倉位管理策略的總收益率基本上等于或接近-100%，這意味著簡單動態(tài)倉位管理策略在實踐中是行不通的，其原因在于短期內(nèi)股價的大幅波動會導致當期期望和當期方差的估計值偏離理論值，進而引起計算出的最優(yōu)倉位遠離真正的最優(yōu)倉位。這種情況下，依據(jù)錯誤的最優(yōu)倉位進行建倉或調(diào)倉就會很容易被短期內(nèi)股價的暴漲暴跌擊穿倉位或者損失殆盡難以恢復。

(二)經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位管理策略

借鑒Barroso和Santa-Clara[18]對動量崩潰(Momentum Crashes)的管理思想，我們的波動率調(diào)整思路是，由于波動率具有較好的預測性，可以采用自回歸模型預測其未來的波動率，因而我們可以用波動率的預測值修正或者調(diào)整最優(yōu)倉位，具體而言，當波動率的預測值較高時調(diào)低倉位，當波動率的預測值較低時調(diào)高倉位。經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位用如下公式進行計算：

fm=1+(Dmax-D)/(Dmax-Dmin)

(8)

其中，D、Dmax和Dmin分別表示當期方差、過去n期內(nèi)最大方差和過去n期內(nèi)最小方差的估計值。

式(8)的含義是，當期方差估計值相對較大的時候倉位增加相對較小，當期方差估計值相對較小的時候倉位增加相對較大。這很容易理解，當期方差估計值相對較大意味著市場波動加大，風險增加，此時應該輕倉；當期方差估計值相對較小意味著市場波動減小，風險降低，此時應該重倉。理論上講，我們應該在最優(yōu)倉位的基礎上根據(jù)波動率變化及其預測的高低進行減倉或加倉的調(diào)整，但是考慮到我們要以滿倉買入持有為比較基準，分析經(jīng)波動率調(diào)整的倉位管理策略的幅度和效果，因而在式(8)中我們用滿倉(即“1”)取代了最優(yōu)倉位，同時也對減倉或加倉的調(diào)整項，即式(8)中等號右邊第二項做出了調(diào)整。

本文中，我們?nèi)為100周(約兩年)，根據(jù)式(8)計算經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位，每周滾動調(diào)整倉位。具體測算結果列于表3的中間。從表3可以看出，第一，除了上證180指數(shù)的收益率為負，總收益率和周均收益率分別為-33.6517%和-0.0448%，其他6個指數(shù)的總收益率和周均收益率均大于零。這表明，經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位管理策略遠遠優(yōu)于簡單動態(tài)倉位管理策略。第二，7個指數(shù)中滬深300指數(shù)、中小板指數(shù)和創(chuàng)業(yè)板指數(shù)的收益率超過買入持有收益率，另外4個指數(shù)沒有戰(zhàn)勝買入持有策略。這表明，相對于簡單動態(tài)倉位管理策略，經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位管理策略盡管有了顯著改善，但是其收益率仍然難以讓人滿意。

表3 動態(tài)倉位管理策略的收益率測算 單位：周，%

經(jīng)過仔細分析，筆者認為，經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位管理策略之所以沒有獲得令人滿意的收益率，是因為我們在式(8)中根據(jù)波動率大小以負線性相關的方式進行了調(diào)整，無論什么原因，只要波動率上升就降低倉位，波動率下降就提升倉位。因此，這種調(diào)整方式?jīng)]有區(qū)分波動率的變動是來源于指數(shù)的大幅上漲還是大幅下跌，從而會引起指數(shù)大幅上漲時降低倉位，進而導致收益率的下跌。為了避免這一缺陷，在下文中我們擬根據(jù)來自技術分析方法的買賣信號增強的經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位管理策略。

(三)考慮買賣信號的經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位管理策略

均線系統(tǒng)顯示出金叉后股價指數(shù)通常會在均線的上方運行，均線系統(tǒng)顯示出死叉后股價指數(shù)通常會在均線的下方運行。借助這一規(guī)律，我們引入來自技術分析方法的買賣信號增強經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位管理策略。具體而言，均線處于多頭排列發(fā)出買入信號時應該增加倉位，均線處于空頭排列發(fā)出賣出信號時應該減少倉位。因此，我們將式(8)調(diào)整為：

fm=1+sign[(Dmax-D)/(Dmax-Dmin)]

(9)

其中，sign表示買賣信號，當股價指數(shù)大于其均線值時sign=1，當股價指數(shù)小于等于其均線值時sign=-1。

式(9)的含義是，當股價指數(shù)在其均線的上方時根據(jù)波動率的相對大小加倉，當股價指數(shù)在其均線的下方時根據(jù)波動率的相對大小減倉。為了便于比較，我們也考慮了買賣信號增強的簡單動態(tài)倉位管理策略，即根據(jù)買賣信號直接確定簡單動態(tài)倉位。具體地，當均線處于多頭排列發(fā)出買入信號時倉位為正(即做多)，均線處于空頭排列發(fā)出賣出信號時倉位為負(即做空)。本文中，我們以5周均線為基準，當股價指數(shù)大于過去5周指數(shù)均值時根據(jù)式(9)加倉，當股價指數(shù)小于等于過去5周指數(shù)均值時根據(jù)式(9)減倉。如表4所示。

表4 買賣信號增強的動態(tài)倉位管理策略的收益率測算 單位：周，%

從表4可以看出，第一，考慮買賣信號增強的簡單動態(tài)倉位管理策略與不考慮買賣信號增強的簡單動態(tài)倉位管理策略一樣，其總收益率全部等于或接近-100%，考慮買賣信號并沒有提高倉位管理的收益率。第二，買賣信號增強且經(jīng)波動率調(diào)整后，7個指數(shù)的總收益率和周均收益率均顯著地高于買入持有的總收益率和周均收益率。這表明，買賣信號增強的經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位管理策略顯著地提高了倉位管理的收益率。第三，相對于經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位管理策略，買賣信號增強的經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位管理策略對于中小板指數(shù)和創(chuàng)業(yè)板指數(shù)的倉位管理效果有所下降。我們認為，其原因可能在于中小板指數(shù)和創(chuàng)業(yè)板指數(shù)頻繁大幅波動，相對于主板指數(shù)而言它們發(fā)出的買賣信號的可靠性較差，由此造成買賣信號增強的經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位管理策略不如不考慮買賣信號的經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位管理策略。

五、結 論

基于Kelly公式及其擴展模型，本文在倉位管理理論分析的基礎上，用中國A股市場7個主要指數(shù)(滬深300指數(shù)、上證指數(shù)、上證50指數(shù)、上證180指數(shù)、深圳成份指數(shù)、中小板指數(shù)和創(chuàng)業(yè)板指數(shù))對最優(yōu)倉位估計和倉位管理策略進行了經(jīng)驗分析。我們的研究結果表明：(1)中國A股市場中存在實現(xiàn)資產(chǎn)長期增長率最大化的最優(yōu)倉位，進行倉位管理是有利可圖的。因此，作為資產(chǎn)管理者和投資者應該重視倉位管理，選擇適當?shù)膫}位管理策略尋求最優(yōu)倉位，以實現(xiàn)資產(chǎn)長期增長的最大化。(2)倉位管理的額外回報源于其高杠桿。交易杠桿具有兩面性，選擇適當?shù)母軛U能夠提高資產(chǎn)的長期增長率，杠桿過高或者過低均會阻礙或損壞資產(chǎn)的長期增長。(3)簡單動態(tài)倉位管理策略無法達到最優(yōu)倉位，會造成資產(chǎn)的重大損失。中國A股市場仍然處于結構變化和逐漸完善之中，投資理念、投資方法和投資者情緒都在發(fā)展變化，這種情況下估計出一個與實際相近的最優(yōu)倉位是較為困難的，因此，我們不能簡單套用理論模型估計最優(yōu)倉位，必須要根據(jù)市場波動規(guī)律調(diào)整最優(yōu)倉位估計值。(4)經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位管理策略能夠顯著提高資產(chǎn)增長率，但不能完全戰(zhàn)勝買入持有策略。大量經(jīng)驗證據(jù)顯示波動率具有預測性，波動率的這種預測性具有一定的應用價值，本文的經(jīng)驗證據(jù)也顯示出波動率可以被用來改善倉位管理。(5)用買賣信號增強的經(jīng)波動率調(diào)整的動態(tài)倉位管理策略能夠完勝買入持有策略，尤其是對偏重于大市值的指數(shù)。

[1] Kelly, J.L.A New Interpretation of Information Rate[J].Bell System Technical Journal, 1956,35(1):917-926.

[2] Thorp, E.O.The Kelly Criterion in Blackjack Sports Betting and the Stock Market[J].Hand-Book of Asset and Liability Management, 2006, 11(1):387-428.

[3] Samuelson, P.A.Lifetime Portfolio Selection by Dynamic Stochastic Programming[J].Review of Economics and Statistics, 1969, 51(3):239-246.

[4] Hakansson, N.H.Optimal Investment and Consumption Strategies Under Risk for a Class of Utilities Functions[J].Econometrica, 1970, 38(5):587-607.

[5] Merton, R.C., Samuelson, P.A.Fallacy of the Log-Normal Approximation to Optimal Portfolio Decision-Making Over Many Periods[J].Journal of Financial Economics, 1974, 11(1):67-94.

[6] Miller, B.L.Optimal Portfolio Decision Making Where the Horizon Is Infinite[J].Management Science, 1975, 22(2):220-225.

[7] Aucamp, D.On the Extensive Number of Plays to Achieve Superior Performance With the Geometric Mean Strategy[J]. Management Science, 1993, 39(9):1163-1172.

[8] Maclean, L.C., Thorp, E.O.，Zhao, W.T.，et al.Medium Term Simulations of the Full Kelly and Fractional Kelly Investment Strategies[J].The Kelly Capital Growth Investment Criterion: Theory and Practice, 2010, 11(2):543-562.

[9] Maslov, S.，Zhang, Y.C.Optimal Investment Strategy for Risky Assets[J].International Journal of Theoretical and Applied Finance, 1998, 1(3):377-387.

[10] Medo, M., Pis’Mak, Y.M., Zhang, Y.C.Diversification and Limited Information in the Kelly Game[J].Physica A Statistical Mechanics & Its Application, 2008, 387(24): 6151-6158.

[11] Medo, M., Zhang, Y.C.How to Quantify the Influence of Correlations on Investment Diversification[J].International Review of Financial Analysis, 2009, 18(1-2):34-39.

[12] Samuelson, P.A.Why We Should not Make Mean Log of Wealth Big Though Years to Act Are Long[J].Journal of Banking and Finance, 1979, 3(4):305-307.

[13] Rotando, L.M., Thorp, E.O.The Kelly Criterion and the Stock Market[J].The American Mathematical Monthly, 1992, 99(10):922-931.

[14] Maclean, L.C., Ziemba, W.T., Blazenko, G.Growth Versus Security in Dynamic Investment Analysis[J].Management Science, 1992, 38(11):1562-1585.

[15] Anderson, J.A., Faff, R.W.Maximizing Futures Returns Using Fixed Fraction Asset Allocation[J].Applied Financial Economics, 2004, 14(15):1067-1073.

[16] 凌士勤.基于最優(yōu)增長路徑的多期投資組合選擇及其動態(tài)調(diào)整研究[D].武漢：華中科技大學博士學位論文, 2006.

[17] 羅勇.風險約束下的Kelly動態(tài)投資組合優(yōu)化[D].成都：電子科技大學博士學位論文, 2015.

[18] Barroso, P., Santa-Clara, P.Momentum Has Its Moments[J].Journal of Financial Economics, 2015,116(1): 111-120.

2017-09-10

遼寧省社會科學規(guī)劃基金項目“金融沖擊、企業(yè)分散度與經(jīng)濟風險分析”(L15CJY005)

王志強(1965-)，男(蒙古族)，內(nèi)蒙古烏海人，教授，博士生導師，主要從事金融學、數(shù)量經(jīng)濟學等方面的研究。E-mail：wangzhiqiang@dufe.edu.cn張 聰(1989-)，男，遼寧大連人，博士研究生，主要從事金融工程研究。E-mail：zhangcongchuck@163.com

F832.1

A

1000-176X(2017)12-0037-08

巴紅靜)