數列綜合問題探討

曹逸凡

【摘要】對于等差數列與等比數列混合交匯的綜合問題，突破的關鍵是熟練掌握并靈活應用其定義、性質、通項、前項和，并能熟記相關的“二手結論”。

【關鍵詞】等差 等比 前項和 性質

數列是特殊的函數，是高中數學的重點內容，也是與高等數學內容的接軌之處，因而深受高考命題人青睞，是每年高考的必考內容。

縱觀近幾年的高考數列試題，我們可以看出高考命題主要圍繞以下方面進行考查：

（1）數列自身內部問題的綜合考查（如sn與an與的關系問題、遞推數列問題的考查一直是高考的熱點，求數列的通項與求數列的和是最常見的題目，數列求和與極限等綜合性探索性問題也考查較多）。

（2）構造新數列思想，如“累加、累乘、錯位相減、倒序相加、裂項求和”等方法的應用與創新。

（3）數列與其他知識的交匯綜合考查，如數列與函數、方程、不等式、數學歸納法、三角、解析幾何等知識的綜合。

（4）數列的應用問題，主要是增長率、分期付款等數列模型。

對于等差數列與等比數列混合交匯的綜合問題，突破的關鍵是熟練掌握并靈活應用其定義、性質、通項、前項和，并能熟記相關的“二手結論”。通過幾道考查數列性質的題與高考題目鏈接對比，分析數列在高考中的基本考向。

例1.（人教A版必修5習題2.3B組第2題）已知數列{an}是等差數列，sn是其前n項和，求證s6，s12-s6，s18-s12也成等差數列。

既然等差數列有這樣的結論，類比到等比數列，請問：等比數列是否也有類似的結論呢？通過類比引導學生再回顧課本，可得到等比數列也有類似的結論。

例2.成等差數列的三個正數的和等于15，并且這三個數分別加上1，3，9后又成等比數列，求這三個數。

再啟發引導學生思考：若已知n個數成等比數列并知道其積，又如何設該數列呢？

例3.有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，并且第一個數與第四個數的和是37，第二個數與第三個數的和是36，求這四個數。

參考文獻：

[1]林京榕.數列綜合問題[J].中學數學教學參考，2016，（03）：10.

[2]趙攀峰.“破解”數列綜合問題.2011.endprint