類比 探索 感悟—解析幾何問題的課堂教學(xué)實(shí)錄及教學(xué)反思

周 彬

（浙江省寧波市奉化區(qū)第二中學(xué)，浙江寧波 315506）

一、基本情況

1．授課對(duì)象

授課對(duì)象是浙江省一所省二級(jí)特色重點(diǎn)學(xué)校高二學(xué)生，教材使用普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（人民教育出版社），學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般，有一定的思考、推理能力，部分學(xué)生能大膽地提出假設(shè)、問題。學(xué)生的自主性和思維的嚴(yán)謹(jǐn)性都有待提高和完善。

2．教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是從學(xué)生接觸的一個(gè)基礎(chǔ)題目開始引入的。本題考查直線和圓相切問題中的一個(gè)線段的最小值問題，難度不大，但是學(xué)生的解答結(jié)果不盡如人意。本節(jié)課主要通過(guò)解決本題，讓學(xué)生理解一般方法的重要性，然后讓學(xué)生通過(guò)類比的思想方法，將圓推廣到我們所學(xué)習(xí)的橢圓和雙曲線。在探索解決這一類問題的本源過(guò)程中掌握解決此類問題的一般方法，同時(shí)在分組學(xué)習(xí)討論中，通過(guò)類比的思想方法一起感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性和統(tǒng)一性，感悟雖然考查的內(nèi)容不盡相同，但是解決問題的方法和思路又是完全相同的，更進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)的美，從而自然生成學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

二、教學(xué)過(guò)程

1．給出原題引導(dǎo)學(xué)生探究

直線AB為圓x2＋y2＝4的切線，且與x軸、y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，求AB長(zhǎng)的最小值。

解：設(shè)圓的切線方程為y＝kx＋m，(k存在)

當(dāng)x=0時(shí)，y=m＞0

師：此道題目中，圓的半徑固定的情況下，AB長(zhǎng)有最小值，同學(xué)們思考下，如果半徑也發(fā)生變化，那AB長(zhǎng)的最小值會(huì)和什么有關(guān)系呢？

生1：AB長(zhǎng)的最小值隨著半徑的變化而變化。

師：非常好，那接下來(lái)大家一起探究下。此題改成：

變1.直線AB為圓x2+y2=R2的切線，且與x軸、y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，求AB長(zhǎng)的最小值。

留一定的時(shí)間給學(xué)生思考，教師在教室巡視，然后將其中一位同學(xué)的解答展示給同學(xué)們。

生2：設(shè)圓的切線方程為y=kx+m，(k存在)

當(dāng)x=0時(shí)，y=m＞0

師：大家觀察下，雖然半徑發(fā)生改變，但是解題思路和解題過(guò)程基本是相同的。大家再考慮下，除了半徑發(fā)生改變，我們這里還能怎么變化下？

生3：可以將圓變成橢圓，但是不知道AB長(zhǎng)是否有最小值？

生4：那圓變成雙曲線，AB是否有最小值呢？

師：好，既然不知道能否行得通，那我們一起去嘗試下。下面同學(xué)們分成2組，合作探究，我們分別解決這兩個(gè)問題。

學(xué)生分組討論，氣氛非?；钴S，兩組同學(xué)分別派出代表作以下解答：

第一組：

生5：解：顯然直線斜率是存在的，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+m，聯(lián)立方程

由于Δ=0

化簡(jiǎn)得到m2=4k2+9

在直線AB中，令x=0得到y(tǒng)=m

所以AB長(zhǎng)度的最小值為5。

師：非常好，請(qǐng)同學(xué)們考慮下，與x軸、y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，并且最值情況取到的情況下，k是否能取到？

師：非常好。

第二組：

生6：解：顯然直線斜率是存在的，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+m，聯(lián)立方程

由于Δ=0

在直線AB中，令x=0得到y(tǒng)=m＞0

2．及時(shí)課堂小結(jié)歸納總結(jié)

同學(xué)們回答得都非常好，我們?cè)谇缶€段AB的最小值時(shí)，從特殊的圓變成了圓的一般式，從而得出線段AB的最小值和圓的半徑的線性關(guān)系。大家又通過(guò)類比，將圓變成一個(gè)具體的橢圓，這時(shí)線段AB依然存在最小值，但是同學(xué)們通過(guò)分組、合作、探究后計(jì)算發(fā)現(xiàn)，對(duì)于雙曲線來(lái)說(shuō)這個(gè)最小值又是不存在的。這節(jié)課我們更重要的是在探究過(guò)程中體會(huì)特殊到一般、類比、歸納等思想方法和思維形式。

3．布置課后作業(yè)關(guān)注課堂延續(xù)

那同學(xué)們考慮下，如果這里的橢圓是一般形式又能得到什么結(jié)論嗎？這時(shí)AB是否有最小值呢？

解析：顯然直線斜率是存在的，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+m聯(lián)立方程

由于Δ=0

（2a2km)2-4(a2k2+b2)a2(m2-b2)=0

化簡(jiǎn)得到m2=a2k2+b2

在直線AB中，令x=0得到y(tǒng)=m＞0

三、回顧與反思

1．教學(xué)設(shè)計(jì)的意圖

本節(jié)課是源自于一次模考考試的原題，雖然這道題非常簡(jiǎn)單，但是很多同學(xué)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，也有些同學(xué)雖然能得出答案，但是忽略掉了斜率的取值范圍，從而使解答不夠完善。所以課堂更為關(guān)注知識(shí)的發(fā)生過(guò)程與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的有機(jī)統(tǒng)一，由此為依據(jù)設(shè)置問題情境，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、猜想、特殊到一般的推廣思維活動(dòng)。同時(shí)也發(fā)揮了教師的積極主導(dǎo)作用，從特殊到一般，再推廣到橢圓中的更為一般的情況，適當(dāng)調(diào)節(jié)教學(xué)節(jié)奏，給不同需求的學(xué)生提供不同類別的幫助。

2．教學(xué)反思

（1）類比的思想方法。從特殊到一般的推廣過(guò)程在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，但是如何滲透到平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何讓學(xué)生真正了解和掌握這種方法，訓(xùn)練這種思維，是這節(jié)課設(shè)計(jì)的另一個(gè)初衷。并且通過(guò)圓、橢圓、雙曲線的這些變化使學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些圓錐曲線的有機(jī)統(tǒng)一性的特點(diǎn)，更進(jìn)一步升華。

（2）教學(xué)設(shè)計(jì)從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)。數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)不是單一的教師一廂情愿的活動(dòng)，而是更應(yīng)該考慮到教學(xué)活動(dòng)中占主體地位的學(xué)生，更應(yīng)該關(guān)注到學(xué)生的智力、情緒，積極調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓他們?cè)谔剿骱秃献髦袑ふ覍?duì)數(shù)學(xué)奧妙的感知，更進(jìn)一步促進(jìn)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

（3）更開闊學(xué)生的思維。在本節(jié)課中讓學(xué)生自主去探索、感悟從而理解知識(shí)，感受到數(shù)學(xué)的美。

[1]王潔.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中類比思想的培養(yǎng)[J].華中師范大學(xué)，2008（09）.

[2]葉秀鳳.用數(shù)學(xué)類比思想建構(gòu)數(shù)學(xué)有效課堂教學(xué)的探析[J].學(xué)周刊，2013（28）.

[3]周海芳.例談?lì)惐人枷朐跀?shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].宿州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2001（04）.