建立數學模型優化學生數學學習

朱 楨

（江蘇常州市武進區星辰實驗學校，江蘇常州 213161）

引 言

在數學教學過程中通過數學建模，可以加深學生對數學知識和方法的理解和掌握，調整學生的知識結構，深化知識層次，同時對培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決現實問題的能力有著重要的作用。那么如何在數學教學中利用數學模型幫助學生準確清晰地理解數學知識、方法和意義，體現數學教學的育人價值呢？我結合幾位老師講授的《乘法分配律》這節課談談自己的一些思考。

一、建立直觀模型促使學生理解新知

⒈建立直觀圖形模型促使學生理解新知

[案例]師：大寶和小寶進行勞動體驗，大寶和小寶都分到了兩塊地（如圖所示）

師：你能提出什么數學問題？

生：大寶的地一共有多少平方米？

師：你能列出綜合算式嗎？

生：（8+3）×5或者8×5+3×5。

師：你能說說是怎么想的嗎？

生：第一種方法先算出兩塊地的面積再相加，第二種方法是兩塊地合并在一起先求出一共的長和寬再相乘。（課件演示）

師：這兩種方法有什么不同之處？

生：一種是分開算，一種是合起來算。

師：這兩題的結果相等嗎？結果相等我們可以用“=”連接成等式。

師：小寶的兩塊地可以分開算嗎？可以合起來算嗎？用兩種方法計算。

師生交流：（4+5）×7或者4×7+5×7。

師：媽媽也有兩塊地：你能算出媽媽的兩塊地的面積嗎？

生：9×8+6×4。

師：媽媽的兩塊地能合起來算嗎？為什么？

生：不能，媽媽的兩塊地沒有相同的邊。

師：乘法分配律我們可以用字母(a+b)×c=a×c+b×c來表示，把a、b、c放到拼成的長方形中（如圖），你能找到它們的位置嗎？

（學生在圖中指出a、b、c的位置）

[思考]本節課中教師利用兩個有一條邊相等的長方形幫助學生初步建立一個直觀模型，借助兩次對比，讓學生明確只有兩個長方形中有一條相同的邊時才能采用分開算和合起來算兩種算法。這一直觀模型初步感知乘法分配律中一個乘數是相同的這一結構特征。在學生提煉出乘法分配律的字母模型之后，教師再次出示直觀的圖形模型，用圖形模型來幫助學生理解字母模型，幫助學生加深對乘法分配律的掌握和理解。

[案例]《乘法分配律》的課前導入。

師：老師第一次來到我們的學校上課，你們也是第一次和老師一起上課，為了我們的第一次合作順利我們一起來握個手。如果老師分別和你們每個人握手時間來不及，所以你們伸出手一起和老師來握3次好嗎？（師生一起伸出手握3次）

師：為了表示對我們聽課老師的歡迎，我們也一起和在座的聽課老師握3次手。（學生和聽課老師一起伸出手握3次）

師：剛才我們握手的時候可以是老師分別和你們每個人握，也可以你們合起來一起伸出手和老師握。

[思考]師生之間的握手有兩種方式，老師分別和每個人握手我們稱為“一般握手”，學生合起來和老師一起握手看成“超級握手”。課前教師利用和學生握手這一直觀動作，不僅和學生產生了很好的互動，調動了學生參與學習的熱情，而且調動了學生已有的生活經驗，在“現場表演”的過程中，幫助學生理解乘法分配律中合起來乘和分別乘的本質特點。構建起乘法分配律的直觀動作模型。

二、建立符號模型發展學生抽象思維

[案例]

師：觀察下面兩組等式有什么特征？

(55+45)×5=55×5+45×5 (5+10)×32=5×32+10×32

生1：有3個不同的數，有÷和×。

生2：都有相乘的乘數。

生3：左邊的算式是合起來算，右邊的算式是分開算。

生4：左邊先算和再算積，右邊先算積再算和。

師：具有這樣特征的算式是不是都相等呢？

生：是的。

師：這只是我們的猜測，我們還要舉例驗證。

師生交流學生舉出的兩個例子：

（6+4）×5=6×5+4×5 （5+5）×12=5×12+5×12

師：（6+80）×3你能猜出它的另一個式子嗎？7×※+3×※呢？

師：你們寫出不相等的例子了嗎？

生：沒有。

師：看來這樣特征的式子都相等不是偶然的，你能把這個規律表示出來嗎？出示學生的表達式，師生交流想法。

師：我們可以用字母式子來表示發現的規律：（a＋b）×c=a×c＋b×c（板書）。這就是我們今天所要學習的乘法分配律。（揭題）

[思考]課中學生經歷了“觀察猜想—舉例驗證—猜出算式—表示規律”的過程，構建了簡單的數學模型。用語言來表達乘法分配律對于學生來說比較困難，所以老師要求學生用自己喜歡的方式表達運算律，這樣學生在對乘法分配律之數學模型的抽象概括的基礎上建立了乘法分配律符號模型。

三、建立思維模型幫助學生提煉方法

[案例]本節課教師通過以下四個環節完成。第一，通過解決“一件上衣65元，一條褲子45元，買5套服裝要多少元？”和“一張墊子長20分米，寬15分米，另一張墊子長15分米，寬10分米，拼成長方形墊子面積有多大？”這兩個實際問題得出兩組等式，讓學生在解決實際問題中初步發現規律。第二，學生舉例驗證自己的猜想，從而得出乘法分配律這個結論，讓學生經歷整個探索過程，從而對這一運算律有了全面的認識。第三，設計多層次的練習，使學生在練習中進一步深入理解規律。第四，通過總結反思對這一規律進行拓展：研究兩個數的差與一個數相乘；研究三個數的和與一個數相乘。并讓學生利用研究乘法分配律的方法進行驗證。最后教師再次引導學生根據乘法分配律，產生相關聯想。

[思考]本節課學生經歷了“解決問題—發現規律—舉例驗證—得出結論—實踐運用—拓展聯想”的探索過程。通過觀察、比較、分析、抽象等活動讓學生透過現象抽象、概括其本質形成數學模型。在最后的拓展聯想中，學生利用這種數學思維模型探究新的分配律的模型，在建模的過程中創生出新的規律。

結 語

小學數學教學中要重視數學建模的教學。在日常的教學中，我們要有意識地創設問題情境，滲透建模思想，還要在實踐、探索、運用中形成建模能力，使學生所學知識更系統、更完整，從而應用數學模型解決實際中的復雜問題。

[1]教育部基礎教育課程教材.義務教育數學課程標準（2011版）解讀[M].北京：北京師范大學出版集團，2012.