數列通項公式的基本原理探析

摘 要：我們知道，等差數列與等比數列是高中數列研究的主線，除了這兩種基本數列外，其他類型的數列求通項公式的方法也為大家所熟知，我們驚訝于這些方法的巧妙，卻不得不需要花費大量時間來記憶、練習、掌握，因為我們很少深究怎么來的，為什么要這樣變形、整理，故本文試圖為讀者厘清其中的基本原理。

關鍵詞：數列；通項公式；基本原理

一、 基本原理探析

首先，我們觀察等差數列定義式：an+1-an=d（n∈N+，d為常數）和等比數列定義式：an+1an=q（n∈N+，q為非零常數），從定義式中把握住它們的特征一個等差，一個等比。從這兩個最基本的遞推關系中，不難發現，等差數列是“加減關系”，an+1，an之間存在一個差值，這個差值d可以推廣至f（n），只要f（n）可求前n項和；等比數列是“乘除關系”，an+1，an之間存在一個比值q，這個比值可以推廣至g（n），只要g（n）可求前n項積。由此，這兩種基本數列形式便包含了“加、減、乘、除”四則運算，若注意到遞推關系中an+1-an=f（n），f（n）它們的系數與次數，就為我們研究未知數列的通項或求和尋找到了一條思路，就是高中階段幾乎所有的遞推數列都可以朝著等差或等比數列的形式進行轉化（比如降次，取對數，構造新數列等），其本質是構造，而后再按照熟悉的模型進行處理。

二、 舉例說明

下面我們重點探究幾種常見的基本方法的處理依據。

類型一 待定系數法：將遞推公式an+1=qan+d（q，d為常數，q≠0，d≠0）構造成（an+1+x）=q（an+x）的方法。其實質是觀察遞推式an+1=qan+d中an+1，an系數不一致，存在一個倍數{an}，繼而引導我們朝著等比數列構造，得a1=1的數列形式。

例1 已知數列{an}中，a1=1，an=2an-1+1（n≥2），求{an}的通項公式。

解：利用（an+x）=2（an-1+x），求得an+1=2（an-1+1）。

∴{an+1}是首項為a1+1=2，公比為2的等比數列，即an+1=2n，∴an=2n-1。

類型二 倒數變換法：將遞推數列an+1=canan+d（c≠0，d≠0），取倒數變成1an+1=dc1an+1c的形式的方法。其實質是注意到遞推式兩側的結構不一致，對于數列而言，我們最希望的是找到它們的結構一致性，第一步右邊為分式結構，左側為整式，要統一結構就只能同時取倒數（分式倒數還是分式，整式倒數為分式）得到{an}的形式，此時將數列（n∈N*）看成一個新的數列，即再利用“待定系數法”來求解。

例2 已知數列{an}（n∈N*）中，a1=1，an+1=an2an+1，求數列{an}的通項公式。

解：將an+1=an2an+1取倒數得：1an+1=2+1an。

∵1an+1-1an=2，∴1an是以1a1=1為首項，公差為2的等差數列。

則1an=1+2（n-1），∴an=12n-1。

類型三 取對數法：形如an+1=parn（p>0，an>0）等式兩邊取對數的方法。

這種類型數列的實質是注意到an+1，an的次數不一致，要將次數調整成一樣就只能對等式兩邊取對數，轉化為an，此時將數列a1=1，an+1=1a·a2n看成一個新的數列再利用待定系數法求解即可。

例3 已知數列{an}中，a1=1，an+1=1a·a2n（a>0），求數列{an}的通項公式。

解：由an+1=1a·a2n兩邊取對數得lgan+1=2lgan+lg1a。

令bn=lgan，則bn+1=2bn+lg1a，再利用構造新數列（待定系數法），

解得：an=a1a2n-1。

本文些許舉例探析，只為說明數列求通項時體現出來的技巧性，其實是有章可循的，是有內在必然的邏輯性的。掌握了推理的基本原理，我們的應用便能得心應手了。

作者簡介：

李興波，四川省綿陽市，綿陽南山中學實驗學校。endprint